2023年12月11日发(作者：四川中考广安数学试卷)

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《高等数学（二）》期末复习题

一、选择题

1、若向量b与向量a(2,1,2)平行，且满足ab18，则b（ ）

（A）

(4,2,4) （B）(2，4,4)

（C）

(4,2,4) （D）(4,4,2).

x2y22、在空间直角坐标系中，方程组z0代表的图形为z1 ( )

（A）直线 (B) 抛物线 （C） 圆 (D)圆柱面

3、设I(x2y2)dxdy，其中区域D由x2y2a2所围成，则I（

D (A)

2da0a2rdra4 (B)

20da00a2adr2a4

(C)

2da0r2dr23a3 (D)

200da10r2rdr2a4

4、 设L为：x1,0y32的弧段，则L6ds （ ）

（A）9 (B) 6 （C）3 (D)

32

5、级数(1)n1n 的敛散性为 （ ）

n1（A） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定

n6、二重积分定义式f(x,y)dlimD0i,i)i中的代表的是（ ）

if(1 （A）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对7、设f(x,y)为连续函数，则二次积分10dx1x0f(x,y)dy等于 ( )

（A）11xf(x,y)dx (B)

11y0dy00dy0f(x,y)dx

(C)1x0dy10f(x,y)dx (D)1dy100f(x,y)dx

8、方程2zx2y2表示的二次曲面是 ( )

（A）抛物面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D） 椭球面

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）

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9、二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)可微是其在该点偏导数存在的（ ）.

（A） 必要条件 （B） 充分条件 （C） 充要条件 （D） 无关条件

10、设平面曲线L为下半圆周

y1x2,则曲线积分L(x2y2)ds( )

(A)

0 (B)

2 (C)

 (D)

4

11、若级数an1nn收敛，则下列结论错误的是 （ ）

(A)2an1收敛 (B)

(an1n2)收敛 (C)n100an收敛 (D)

3an1n收敛

12、二重积分的值与 （ ）

（A）函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关；

（C）函数f及区域D有关； (D) 函数f无关，区域D有关。

13、已知a//b且

a(1,2,1),b(x,4,2),则x = ( )

（A） -2 （B） 2 （C） -3 （D）3

z2x2y214、在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为( )

y1 （A）抛物线 (B) 双曲线 （C）圆 (D) 直线

15、设zarctan(xy)，则z= （ ）

y111sec2(xy)(A) (B) （C） (D)

22221(xy)1(xy)1(xy)1(xy)16、二重积分（A） (C)

dy0x011y2f(x,y)dx交换积分次序为 ( )

y2010dxf(x,y)dy (B)

10dxf(x,y)dy

0x20110dxf(x,y)dy (D)

dx01f(x,y)dy

17、若已知级数un1n收敛，Sn是它的前n项之和，则此级数的和是（ ）

（A）Sn (B)un (C)

limSn (D)

limun

nn18、设L为圆周：xy16，则曲线积分I22L2xyds的值为（ ）

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（A）1 (B) 2 （C）1 (D)

0

xyz，则该直线必 ( )

012（A） 过原点且x轴 （B）过原点且y轴

（C） 过原点且z轴 （D）过原点且//x轴

19、 设直线方程为

20、平面2xyz60与直线x2y3z4的交点坐标为（ ）

112(A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C）（1，2，2） (D)（2，1，1）

21、考虑二元函数的下面4条性质：

①

f(x,y)在点(x0,y0)处连续； ②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续；

③f(x,y)在点(x0,y0)处可微； ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.

若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有 （ ）

（A）②③① (B) ③ ②① (C) ③④① (D) ③①④

22、下列级数中绝对收敛的级数是( )

(A)

(1)n1n11nn1

ln(1) (B)

tan2 (C)(1) (D)22n3

nnn1n1n1n1123、设zxsiny，则zy1,4＝（ ）

（A）

22 （B） （C）2 （D）2

2224、设a为常数，则级数(1)n1na1cos （ ）

n(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a的取值有关

25、设常数k0，则级数(1)n1nkn （ ）

2n(A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与k的取值有关

26、dxeydy0x112( )

(A)1e1e11 (B)e (C) (D)e

2222二、填空题

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1、limx0y0xy1xy1

2、二元函数

zsin(2x3y)，则z

x3、积分Ix2y24xe2y2d的值为

4、若 a,b 为互相垂直的单位向量， 则 ab5、交换积分次序

10dxx20f(x,y)dy

6、级数(2n11n1)的和是

n37、limy024xy

x0xy8、二元函数

zsin(2x3y)，则1z

y9、设f(x,y)连续，交换积分次序10、设曲线L：

xya222，则(2sinx3ycosx)ds

0xLdx2f(x,y)dy

x11、若级数(un1n1)收敛，则limun

n2212、若f(xy,xy)xy则

f(x,y)

13、limy011xy

x0xy14、已知ab且

a(1,1,3),b(0,x,1),则x =

15、设zln(x3y3),则dz(1,1)

16、设f(x,y)连续，交换积分次序10dyyy2f(x,y)dx

17、级数un1nS，则级数unun1的和是

n118、设L为圆周：xyR，则曲线积分I222Lxsinyds的值为

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19、(x,y)(0,0)lim1cos(x2y2)(xy)e22x2y2

20、已知aij,bk, 则ab

21、limsin(xy)

x0xya

22、已知向量a、b满足ab0，a2，则ab

23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(xy)ds

L24、(x,y)(0,0)limx2y2xy1122

25、a3，b4，a与b的夹角是，则ab

226、已知三角形的顶点A(1,1,1),B(2,1,0),C(0,0,2),则ABC的面积等于

27、点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2

28、若a3ij2k,bi2jk,则ab

29、limx0y0xy11=

xy30、函数f(x,y)x2(y3)(x1)exy,求fx(1,3)

三、解答题

1、（本题满分12分）求曲面ze2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程。

z2、（本题满分12分）计算二重积分eDxydxdy，其中D由y轴及开口向右的抛物线

y2x和直线y1围成的平面区域。

3、（本题满分12分）求函数uln(2x3y4z)的全微分du。

2x2y,(x,y)(0,0)4、（本题满分12分）证明：函数f(x,y)x4y2在点（0，0）的两个0,(x,y)(0,0) 专业资料整理 WORD完美格式编辑

偏导数存在，但函数f(x,y)在点（0，0）处不连续。

5、（本题满分10分）用比较法判别级数(n12nn)的敛散性。

2n16、（本题满分12分）求球面xyz14在点(1,2,3)处的法线方程。

7、（本题满分12分）计算I22(xD2y2)dxdy，其中D{(x,y)1x2y24}。

xt8、（本题满分12分）力Fx,y,x的作用下，质点从(0,0,0)点沿Ly2t 移至

2zt(1,2,1)点，求力F 所做的功W。

9、（本题满分12分）计算函数uxsin(yz)的全微分。

10、（本题满分10分）求级数1的和。

n(n1)n122211、（本题满分12分）求球面xyz14在点(1,2,3)处的切平面方程。

（xxyy）12、（本题满分12分）设zln,求x22zzy。

xy22(1xy)dxdy，其中D是由yx，y0，x2y21 13、（本题满分12分）求D在第一象限内所围成的区域。

x014、（本题满分12分）一质点沿曲线yt从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，zt24力F1xiyjk所作的功W。

15、（本题满分10分）判别级数

16、（本题满分20分）

求一条过点A(1,0,4)与一平面:3x4yz100平行，且与直线1nsin 的敛散性。

nn1L:x1y3z相交的直线方程.

112 专业资料整理 WORD完美格式编辑

17、（本题满分20分）

求椭球面x2y3z21上的点M，使直线L:面上.

18、（本题满分12分）计算二重积分I222x6y3z1在过M点的切平212xy1xydxdy。

19、（本题满分12分）已知yzzxxy1，确定的zz(x,y)，求dz。

20、（本题满分12分）设zf(x,y)是由方程ee21、（本题满分10分）计算二次积分xzyz2e所确定的隐函数，求zx、zy.

211210dyycosx2dxdyycosx2dx .

2y22、（本题满分10分）计算函数z2e

sinxy的全微分.

2yd 其中D：0≤x≤1,0≤y≤1 .

1xD24、（本题满分10分）已知向量a(1,1,1),bi2j4k，求ab 和ab.

23、（本题满分10分）计算二重积分25、（本题满分10分）求曲面xxyxyz9在点(1,2,3)处的切平面方程.

《高等数学（二）》期末复习题答案

一、选择题

1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设b(2t,t,2t)，又因

ab18(2,1,2)(2t,t,2t)4tt4t9tt2b(4,2,4)

222、C 解：将z1代入xyz0得到xy1，此时图形为圆。

223、D 解：用极坐标计算方便，

2a11I(x2y2)dxdydr2rdr2a4a4

0042D4、A 解：利用曲线积分的性质，则36ds6ds6(0)9

LL2 专业资料整理 WORD完美格式编辑

11n15、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数(1) 收敛，但(1)nn1n

nn1n1n 发散 ，所以(1)nn11 是条件收敛。

n6、D 解：二重积分定义式f(,)f(x,y)dlimD0iii1ni中的是分割细度，代表的是n个小闭区域直径中的最大值。

7、B 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得

10dx1x0f(x,y)dydy02211y0f(x,y)dx

8、A 解：2zxy在三维空间里表示的是抛物面。

9、B 解：zf(x,y)在点(x0,y0)可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。

10、C 解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周y1x2的曲线积分L(x2y2)ds1dsL12

211、B 解：若级数an1n收敛，由收敛的性质A,C,D三个选项依然是收敛的，而(an1n2)未必收敛，或者排除法选择B。

12、C 解：二重积分母表达没关系。

13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例，a(1,2,1),b(x,4,2),则x=2

2214、B 解：将y1代入zxy得到zx1代表的图形为双曲线。

222的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字15、B 解：对y求偏导时，x看作常数，zarctan(xy)，则1z=

2y1(xy)16、A 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得

10dy1y2f(x,y)dxdx01x0f(x,y)dy

17、C 解：利用级数收敛的定义可得un1nlimSn

n 专业资料整理 WORD完美格式编辑

18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x是奇函数，由对称性，可得则曲线积分IL2xyds0

xyz，则原点坐标(0,0,0)满足方程，该直线必过原点，直线01219、A解：直线方程为

的方向向量为(0,1,2) ，x轴的方向向量为(1,0,0)，又因为(0,1,2)(1,0,0)0，所以直线过原点且x轴。

20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。x2tx2y3z4ty3t代入2xyz60得t1交点坐标为112z42t（1，2，2）

21、A 解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续可微连续；或者

偏导数连续可微偏导数存在

11122、B 解：tan2~2tan2绝对收敛。

nnnn123、B 解：对y求偏导时，x看作常数，zxsinyzxcosy，代入点的坐标yzy1,42

2aa2an(1)1cos24、C 解：1cos~级数绝对收敛。

2n2nnn1knnknnkn1(1)~(1)(1)25、B 解：(1)级数条件收敛

2n2n2nnn1n26、C 解：交换积分次序后计算简单

10dxeydydyeydxeyydyx000121y21211y221y211edyee1

02202二、填空题

1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。

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limx0y0xy1xy1limx0y0xy(1xy1)(1xy1)(1xy1)limx0y0xy(1xy1)lim1xy12x01xy1y02、2cos(2x3y) 解：对x求偏导时，y看作常数，

zsin(2x3y)4z2cos(2x3y)

x3、(e1) 解：用极坐标求解简单

Ix2y24ex2y2d2012r22r22derdr2edre(e41)

02002r24、 0 解： 两个向量垂直，则点积为0ab5、0

10dyx201yf(x,y)dx 解：画出积分域，再确定积分限

11y

10dxf(x,y)dydy0f(x,y)dx

11111336、

解：(nn)23111322

2n1211237、

1解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公4

因子，第四步利用连续性求解极限。

24xy24xy44xy24xylimlimlimx0x0x0xyxy24xyxy24xyy0y0y0

limx0y0124xy1

48、3cos(2x3y)

解：对y求偏导时，x看作常数，

zsin(2x3y)10yyxx2z3cos(2x3y)

y9、0dyf(x,y)dx 解：画出积分域，再确定积分限

f(x,y)dy1dxdy01yyf(x,y)dx

10、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0

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(2sinx3ycosx)ds0

L11、 -1 解：(un1n1)收敛lim(un1)0limun1

nn2212、xy 解：设xyu,xyvxyuv

f(u,v)uvf(x,y)xy

13、1 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因2

子，第四步利用连续性求解极限。

11xy11xy11xy11xylimlimlimx0x0x0xyxy11xyxy11xyy0y0y0

limx0y0111xy12

14、 3 解： 两个向量垂直，则点积为0ab15、

0x30x3

33dxdy 解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点22

333x23y2zln(xy)zx3,zy3又因为dzzxdxzydy

33xyxydz(1,1)33dxdy

22x16、1010dxyy2xf(x,y)dy 解：画出积分域，再确定积分限

dyf(x,y)dx10dxxxf(x,y)dy

17、2Su1unS解：

n1un1n1Su1unun12Su1

n118、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0，则I19、

0 解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代，

Lxsinyds0

(x,y)(0,0)lim1cos(x2y2)(x2y2)ex22y1cos(x2y2)1cos(x2y2)limlim(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)(x2y2)(x2y2)e0

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12(xy2)2

lim220

(x,y)(0,0)(xy2)20、ij 解：本题用到向量积的求解方法

ijkaij,bk, 则ab110ij

00121、a 解：limsin(xy)sin(xy)limy1aa

x0x0xxyyaya22、4 解：ab0ba，又a2，ababcos4

23、2 解：L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，此线段的方程是xy1，此线2，(xy)ds1ds2

LL段的长度是24、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。

(x,y)(0,0)limx2y2xy1122(x,y)(0,0)lim(x2y2)(x2y211)(xy11)(xy11)2222

(x2y2)(x2y211)limx2y2112

lim22(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xy1125、12解：利用向量积的模的求解方法ababsin234112

26、32解：利用向量积的模的几何意义，三角形的面积S1ABAC

2ijkABAC101(1,4,1)113S11218323

ABAC1(4)2(1)22222227、5 解：利用两点间的距离公式

M1M2(22)2(73)2(41)242325

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28、 3 解：利用点积公式ab(3,1,2)(1,2,1)3223

29、1 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因2子，第四步利用连续性求解极限。

xy11lim=limx0x0xyy0y0limx0y0xy11xy1xy11xy11=limx0y0xy11xyxy11

xyxy3xy11limx0y0xy111

230、

e 解：对x求偏导时，y看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标

f(x,y)x2(y3)(x1)exyfx(x,y)2x(y3)exy(x1)yexy代入点的坐标fx(1,3)21(33)e3(11)3e3e3

三、解答题

1、（本题满分12分）

解：设F(x,y,z)ze2xy3

z则Fx2y ，Fy2x ，Fz1e

z对应的切平面法向量

n(Fx,Fy,Fz)(1,2,0)

代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0）

则切平面方程：4(x1)2(y2)0(z0)0

或2xy40

2、（本题满分12分）

解 ：eDxydxdydyedx

001y2xyyedy

001xyy2(yeyy)dy

01 专业资料整理 WORD完美格式编辑

yy2yyee

2011

23、（本题满分12分）

解：因为u2u3u8z ， ，

222x2x3y4zy2x3y4zz2x3y4zduuuudxdydz

xyz238zdxdydz

2222x3y4z2x3y4z2x3y4z所以du4、（本题满分12分）

解：fx(0,0)limx0f(0x,0)f(0,0)0lim0

x0xx同理

fy(0,0)0

所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。

x2kx2klim2f(x,y)lim4

2x0xk2x4ykx1kx0limf(x,y)不存在

x0y0因此函数在（0，0）点不连续

5、（本题满分10分）

解：

(nnn1)()n()n，

2n12n2而

1n()是收敛的等比级数

2n1原级数收敛

6、（本题满分12分）

解：设F(x,y,z)xyz14

则Fx2x ，Fy2y ，Fz2z

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222 WORD完美格式编辑

对应的法向量

n(Fx,Fy,Fz)(1,2,3)

代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）

则法线方程：x1y2z3

1237、（本题满分12分）

解：I02d2d

121224

4115

28、（本题满分12分）

WFds

L

Lxdxydyxdz

101tdt4tdt2t2dt

(2t23t)dt

05

69、（本题满分12分）

uxsinyz，uyxzcosyz

uzxycosyz

duuxdxuydyuzdz

sin(yz)dxxzcos(yz)dyxycos(yz)dz

10、（本题满分10分）

解：

111

n(n1)nn1 专业资料整理 WORD完美格式编辑

Sn111...

1223n(n1)11111(1)()...()

223nn111

n11)1

n1limSnlim(1nn所以级数

1的和为1

n1n(n1)

11、（本题满分12分）

解：设F(x,y,z)xyz14

则Fx2x ，Fy2y ，Fz2z

222对应的切平面法向量

n(Fx,Fy,Fz)(1,2,3)

代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）

则切平面方程：2(x1)4(y2)6(z3)0

或x2y3z140

12、（本题满分12分）

解：因为z2xyzx2y2；

xxxyy2yx2xyy2zz2x2xyxy2y2所以

xy2

22xyxxyy13、（本题满分12分）

解：令xcos，则D(,)0,01，

4ysin22401所以2(1xy)dxdyd0(1)dD16

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14、（本题满分12分）

WFdsL

L11x4dxydydz(t2t)dt010

tdt

1

215、（本题满分10分）

解： 设unnsin1

nsin于是

limunlimnn1n1n10

故un1n发散。

16、（本题满分20分）

xt1解：直线L的参数方程为yt3

z2t所求直线的方向向量为s(t,t3,2t4)与平面的法向量n(3,4,1)垂直，即

3t4(t3)(2t4)0得t16

s(16,19,28)

所求直线为x1yz4

16192817、（本题满分20分）

解：设点M(x0,y0,z0)为所求的点，则椭球面在M点处的法向量n(2x0,4y0,6z0)，

切平面的方程为x0x2y0y3z0z21

直线L的方向向量s(2,1,2)，由已知条件得ns，即

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ns(2x0,4y0,6z0)(2,1,2)4x04y012z00

而直线L上的点(6,3,1)必在切平面上，因此6x06y03z021，

222222而点M(x0,y0,z0)在椭球面x2y3z21上，即x02y03z021

解得x00,y03,z01 和

x04,y01,z01，即点M为(0,3,1) 或

(4,1,1).

18、（本题满分12分）

解：记D1为积分区域在第一象限的部分，则由奇偶对称性，

I4xydxdy=4xdxD111x001(1x)21ydy4xdx2(x2x2x3)dx

0026119、（本题满分12分）

Fxzy设Fyzzxxy1，则有Fyzx

FzyxFzzyx

xFzyxFyzzx

yFzyxdz1[(yz)dx(xz)dy]

xy20、（本题满分12分）

解：等式两端求微分得：

zdyydzzdxxdzze0

e22zzxzy于是dzzexzxzyzdxzexzyzyzdy

xeyezexzxzyzxeyezexzyzyz所以zx，zy

xeyexeye21、（本题满分10分）解：交换积分次序可得102x1dxcosx2dysin1

x2 专业资料整理 WORD完美格式编辑

22、（本题满分10分）

sinxysinxycosxy，z解：z2xecosxy

x2yeysinxydzzcosxy(ydxxdy)

xdxzydy2e23、（本题满分10分）

解： 原式=11dx2ydy=ln2

101x024、（本题满分10分）

解：

ab1112147

ijk

ab11111i1111242414j1(2,3,1)

25、（本题满分10分）

解：对应的切平面法向量

n(Fx,Fy,Fz)(1,2,3)

设F(x,y,z)xxyxyz9

则Fx1yyz ，Fyxxz ，Fzxy

代入（1，2，3）可得法向量：（9，4，2）

则切平面方程：9(x1)4(y2)2(z3)0

或9x4y2z23

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12k


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