大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

2023年12月2日发(作者：中招数学试卷讲解教案视频)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）

班别 姓名 成绩

一、选择题

2221．已知二次型fx1x25x32tx1x22x1x34x2x3,当t取何值时，该二次型为正定？（ ）

A.

444441t0 B.t C.0t D.t

5555521421232.已知矩阵A034,B0x6,且A~B，求x的值（ ）

043005

A.3 B.-2 C.5 D.-5

3．设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）

A.

A0 B.

A

4．过点（0，2，4）且与两平面x2z1和y3z2的交线平行的直线方程为（ ）

A.10 C.r(A)n D.A的行向量组线性相关

xy2z4xy2z4 B.

231232xy2z4xy2z4 D.

231232 C.

315．已知矩阵A51,其特征值为（ ）

 A.12,24 B.12,24

C.12,24 D.12,24

二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上

6．三阶行列式aij的展开式中，a32a11a23前面的符号应是 。 1237．设A221,Aij为A中元aij的代数余子式，则

343A11A12A13 。

8．设n阶矩阵A的秩r(A)n1，则A的伴随矩阵A的元素之和Aij 。

i1j1nn9．三阶初等矩阵E1,2的伴随矩阵为 。

10．若非齐次线性方程组是 。

AXB有唯一解，则其导出组AX0解的情况a1b1a1b111．若向量组1a2,1b2线性相关，则向量组2,2

a2b2ab33 的线性关系是 。

12．设矩阵A的特征多项式为EA(1)2(2)，则行列式

2A1A3E 。

13．如果n阶方阵A的各行元素之和均为2，则矩阵A必有特征值 。

a114．设Ab1c1a2b2c2a3b3为正交矩阵，则其逆矩阵A1 。

c322215．二次型f(x1,x2,x3)2x1x2x32x1x2的正惯性指数为 。

三、计算题

0 3 4 516．计算行列式-3 4 1 0 0 2 2 -2 6 -2 7 2的值。

11117．设A 011 ,且A2 ABE,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B。

001

xx

18．a取何值时，方程组xxx有解？在有解时求出方程组的通解。

 xxa

19．设向量组a1,a2,a3线性无关。试证明：

向量组1a1a2a3,2a1a2,3a3线性无关。

20．试证向量组a1(1,0,1),a2(1,1,0),a3(0,1,1)为R3的一组基，并求向量x(2,2,2)在该组基下的坐标。

答案

一、选择题

1.A

解析：

由题可知，该二次型矩阵为1t1t12125，而1t11t411,1t20,t125t24t0，可解得t0。此时，该二次型t15125正定。

考查知识点:二次型正定的判断

难度系数

2.C

解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。

考查知识点:n阶矩阵特征值的性质

难度系数:

3.D

解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。 考查知识点:n阶可逆矩阵的性质

难度系数:

4.A.

解析：由题可知，两平面法向量分别为n1(1,0,2),n2(0,1,3)，则所求直线的方向向量为sn1n22i3jk。所以所求直线为xy2z4。

231 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程

难度系数:

5.C.

13 解析：由AE可解得特征值为12,24

2280，51 考查知识点:求解矩阵的特征值

难度系数:

二．填空题

0106．负号； 7．1； 8．0； 9．100，或E(1,2)； 10．唯一解（或001a1只有零解）； 11．线性相关； 12．-27； 13．2； 14．a2a3

三、计算题

b1b2b3c1c2； 15．3.

c3034516.

D32 2 -2…………4分

96.

02226 9 20 6922234103 4 517. 解:由于A ABE,因此ABA E,又A 10,故A可逆,

111111022所以BAA1 011011002

00100100018．

A0 -1

,故当且仅当a=2时，有解。

1 -20 0 0 a-231 2 0 当a2时，得x132x2，

(x是任意）x32x232所以x0k1 (k是任意常数) 或

21x112x312 即 (x任意),2k1 (k是任意常数).

3xx22x30119．证一：设有一组数x1,x2,x3使x11x22x330,

即(x1x2)a1(x1x2)a2(x1x3)a30

由a1,a2,a3线性无关，有

0x1x2

 0…………2分

x1x2

x x301该方程组只有零解x1x2x30故1,2,3线性无关。

证二：因a1,a2,a3线性无关，1,2,3用a1,a2,a3线性表出的系数行列式

1 1 11 -1 00 0 11 11 -120故线性无关。（若只证明△≠0，不强调a1,a2,a3线

性无关这一条件,就得出1,2,3线性无关的结论，扣2分）。故命题得证。

20．证明：令

110002011，则01101120，故向量组

a1(1,0,1),a2(1,1,0),a3(0,1,1)为R3的一组基，

x1x22又设xx11x22x33，得线性方程组xx2

23 xx231解之得向量x(2,2,2)在该组基下的坐标为x(1,1,1)。

线性代数期末考试题

班别_________ 姓名___________ 成绩_____________

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

小时。

要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.52、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。

4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。

6、不可以使用普通计算器等计算工具。

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分，共25分）

1. 若x，则__________。

x1x2x302．若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足 。

xxx02313．已知矩阵A，B，C(cij)sn，满足ACCB，则A与B分别是 阶矩阵。

4．已知矩阵A为33的矩阵，且|A|3，则|2A| 。

15．n阶方阵A满足A3AE0，则A 。

2

二、选择题 （每小题5分，共25分）

2226．已知二次型fx1x25x32tx1x22x1x34x2x3,当t取何值时，该二次型为正定？（ ） A.

444441t0 B.t C.0t D.t

5555521421237．已知矩阵A034,B0x6,且A~B，求x的值（ ）

043005

A.3 B.-2 C.5 D.-5

8．设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）

A.

A0 B.

A10 C.r(A)n D.A的行向量组线性相关

9．过点（0，2，4）且与两平面x2z1和y3z2的交线平行的直线方程为（ ）

2z4xy2z4 B.

231232xy2z4xy2z4 D.

231232 C.

10．已知矩阵A31,其特征值为（ ）

51 A.12,24 B.12,24

C.12,24 D.12,24

三、解答题 （每小题10分，共50分）

1011.设B00X(CB)E

T21000110C,00110001， 求。

134213021且矩阵满足关系式002112a21112.问a取何值时，下列向量组线性相关？1,2a,3。

2211a22

x1x2x3313.

为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方xxx2231程组有无穷多解时求其通解。

121349010,

3,

4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，14.设1,

211370317并将其余向量用该极大无关组线性表示。

15.证明：若A是n阶方阵，且AAI， 证明

AI0。其中I为单位矩阵

A1，

线性代数期末考试题答案

一、填空题

1. 5.

解析:采用对角线法则,由15(2)3x0(5)2x00有x5.

考查知识点:行列式的计算.

难度系数:

2.1.

解析:由现行方程组有D1111212(1),要使该现行方程组只有零1121解,则D0,即1.

考查知识点:线性方程组的求解

难度系数:

3.ss，nn

解析;由题可知C(cij)sn,则设ACCBD,可知D的行数与A一致,列数与B一致,且A与B均为方阵,所以A为ss阶矩阵,B为nn阶矩阵.

考查知识点:n阶矩阵的性质

难度系数:

4. 24

解析:由题可知,A为3阶矩阵且A3,则2A2A24.

3

考查知识点:矩阵的运算

难度系数:

5.

A3E

解析:由A3AE0有A(A3E)E,此时A考查知识点:求解矩阵的逆矩阵

难度系数:

21A3E.

二、选择题

6. A

解析：

由题可知，该二次型矩阵为1t1t12125，而1t11t411,1t20,t125t24t0，可解得t0。此时，该二次型t15125正定。

考查知识点:二次型正定的判断

难度系数

7. C

解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。

考查知识点:n阶矩阵特征值的性质

难度系数:

8. D

解析：由题可知，A为n阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。

考查知识点:n阶可逆矩阵的性质

难度系数:

9. A.

解析：由题可知，两平面法向量分别为n1(1,0,2),n2(0,1,3)，则所求直线的方向向量为sn1n22i3jk。所以所求直线为xy2z4。

231 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程

难度系数:

10. C.

13 解析：由AE可解得特征值为12,24

2280，51 考查知识点:求解矩阵的特征值

难度系数:

三、解答题

11. 解：

1234000CB0123T121000012，(CB)3210000143211000[(CB)T]12100，XB)1E[(CT]121210012110 考查知识点:矩阵方程的运算求解

难度系数:

12.解：

a1122

|A|a1，a12，a312a218(2a1)2(2a2)

1122a 当|A|=0时即a12或a1时，向量组a1，a2，a3线性相关。

考查知识点:向量组的线性相关性

难度系数:

13.解：

①当1且2时，方程组有唯一解；

②当2时方程组无解

211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c20

001 考查知识点:线性方程组的求解

难度系数:

001021120001

14.解：

由题可知

13121312490142010A(a1，a2，a3，a4)11370341003170317

310021210142010200161600110013130000 则ra1，a2，a3，a43，其中a1，a2，a3构成极大无关组,且线性关系为

a42a12a2a3

考查知识点:向量组的秩与 最大无关组

难度系数:

15.证明：

由题可知,

AIAAAAIAIATTTIA

∴2IA0,即IA0

考查知识点:n 阶方阵的性质

难度系数: