2012年安徽高考理科数学试题及答案

2023年12月3日发(作者：广东初中学业考试数学试卷)

2012年安徽理科数学试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。．．．．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必．．．须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

如果事件A与B互斥；则P(AB)P(A)P(B)

如果事件A与B相互独立；则P(AB)P(A)P(B)

如果A与B是事件，且P(B)0；则P(AB)P(AB)

P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足：(zi)(2i)5；则z（ ）

(A)22i

(B)22i

(C)i

(D)i

【解析】选D

(zi)(2i)5zi55(2i)zi22i

2i(2i)(2i)（2）下列函数中，不满足：f(2x)2f(x)的是（ ）

(A)f(x)x

(B)f(x)xx

(C)f(x)x

(D)f(x)x

【解析】选C

f(x)kx与f(x)kx均满足：f(2x)2f(x)得：A,B,D满足条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

(A)3

(B)4

(C)

(D)

【解析】选B

x

1

1

2

2

4

3

8

y

4

4.公比为32等比数列{an}的各项都是正数，且a3a1116，则（ ）

(A)4

(B)5

(C)

(D)

【解析】选B

2a3a1116a716a74a16a7q932log2a165

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

(B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

(C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

(D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选C

x甲11(45678)6,x乙(5369)6

5522甲的成绩的方差为(2212)2，乙的成绩的方差为(1331)2.4

151522

（6）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm

则“”是“ab”的（ ）

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 即不充分不必要条件

【解析】选A

①,bmbba ②如果a//m；则ab与bm条件相同 （7）(x2)(211)5的展开式的常数项是（ ）

2x

(A)3

(B)2

(C)

(D)

【解析】选D

第一个因式取x，第二个因式取2114得：1C5(1)5

2x55第一个因式取2，第二个因式取(1)得：2(1)2 展开式的常数项是5(2)3

（8）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转 则点Q的坐标是（ ）

(A)(72,2)

(B)

(72,2)

(C)

(46,2)

(D)(46,2)

【解析】选A

【方法一】设OP(10cos,10sin)cos则OQ(10cos(3后，得向量OQ

434,sin

5533),10sin())(72,2)

443【方法二】将向量OP(6,8)按逆时针旋转后得OM(8,6)

2 则OQ21(OPOM)(72,2)

2（9）过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF3；

则AOB的面积为（ ）

(A)232

(B)

2

(C)

(D)22

22【解析】选C

设AFx(0)及BFm；则点A到准线l:x1的距离为3

得：323coscos123 又m2mcos()m31cos21132232

AOB的面积为SOFABsin1(3)22232（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品

的同学人数为（ ）

(A)1或3

(B)1或4

(C)

2或3

(D)2或4

【解析】选D

C621315132

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

．．．．．．．．．．．．．．．．．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

x0（11）若x,y满足约束条件：x2y3；则xy的取值范围为_____

2xy3【解析】xy的取值范围为_____[3,0]

约束条件对应ABC边际及内的区域：A(0,3),B(0,),C(1,1)

则txy[3,0]

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____

【解析】表面积是_____92

该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱

几何体的表面积是321S2(25)4(25442(52)2)492

2（13）在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线【解析】距离是_____

3

圆4sinx(y2)4的圆心C(0,2)

226(R)的距离是_____ 直线l:6(R)x3y0；点C到直线l的距离是02323

（14）若平面向量a,b满足：2ab3；则ab的最小值是_____

【解析】ab的最小值是_____9

8

2ab34ab94ab94ab4ab4ab94ab4abab82222（15）设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是_____

①若abc；则C33323 ②若ab2c；则C3

③若abc；则C222222 ④若(ab)c2ab；则C2

⑤若(ab)c2ab；则C【解析】正确的是_____①②③

3

a2b2c22abab1C ①abccosC2ab2ab232a2b2c24(a2b2)(ab)21C ②ab2ccosC2ab8ab23 ③当C2时，cabcacbcab与abc矛盾

22232233333 ④取ab2,c1满足(ab)c2ab得：C222222

⑤取ab2,c1满足(ab)c2ab得：C

3

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

设函数f(x)2cos(2x)sin2x

24 （I）求函数f(x)的最小正周期； （II）设函数g(x)对任意xR，有g(x)g(x)，且当x[0,]时，

22g(x)1f(x)；

2 求函数g(x)在[,0]上的解析式。

【解析】f(x)211111cos(2x)sin2xcos2xsin2x(1cos2x)sin2x

24222222

211 （2）当x[0,]时，g(x)f(x)sin2x

222 （I）函数f(x)的最小正周期T 当x[2,0]时，(x)[0,]

2211g(x)g(x)sin2(x)sin2x

2222当x[,11)时，(x)[0,)

g(x)g(x)sin2(x)sin2x

22221sin2x(x0)22得：函数g(x)在[,0]上的解析式为g(x)

1sin2x(x)22（17）（本小题满分12分）

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后

该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用

的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有nm道

试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试

题库中A类试题的数量。

（Ⅰ）求Xn2的概率；

（Ⅱ）设mn，求X的分布列和均值（数学期望）。

【解析】（I）Xn2表示两次调题均为A类型试题，概率为nn1

mnmn21（Ⅱ）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为p

2 随机变量X可取n,n1,n2

P(Xn)(1p)21112，P(Xn1)2p(1p)，P(Xn2)p

424 X

P

n

n1

1

2n2

1

41

4111EXn(n1)(n2)n1

424nn1答：（Ⅰ）Xn2的概率为

mnmn2 （Ⅱ）求X的均值为n1

（18）（本小题满分12分）

平面图形ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC2,BB14，ABAC2，

A1B1C1所在平面都

BCA1B1AC115。现将该平面图形分别沿BC和11折叠，使ABC与与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答

下列问题。

。

（Ⅰ）证明：AA1BC； （Ⅱ）求AA1的长；

（Ⅲ）求二面角ABCA1的余弦值。 【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,AO1,AO11

则ABACAOBC，面ABC面BB1C1CAO面BB1C1C

同理：A1O1面BB1C1C 得：AO//AO11A,O,A1,O1共面

又OO1BC,OO1AOOBC面AOO1A1AA1BC

（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1DOA 得：O1D//OAAD//OO1

OO1BC，面A1B1C1面BB1C1COO1面A1B1C1AD面A1B1C1

AA1

AD2DA242(21)25

BCAOA1是二面角ABCA1的平面角 （Ⅲ）AOBC,AO1 在RtOO1A1中，A1OOO1AO1122422225

2AO2AOAA1251 在RtOAA1中，cosAOA1

2AOAO51 得：二面角ABCA1的余弦值为（19）（本小题满分13分）K]

设f(x)aex5。

51b(a0)

aex （I）求f(x)在[0,)上的最小值；

（II）设曲线yf(x)在点(2,f(2))的切线方程为yx3x；求a,b的值。

211a2t21bya2【解析】（I）设te(t1)；则yat

atatat21b在t1上是增函数

at1 得：当t1(x0)时，f(x)的最小值为ab

a1b2b ②当0a1时，yatat1x 当且仅当at1(te,xlna)时，f(x)的最小值为b2

a ①当a1时，y0yat （II）f(x)aex11x

bf(x)aeaexaex122aeb3af(2)3ae2e2 由题意得：

3131f(2)ae2b22ae22（20）（本小题满分13分）

x2y2 如图，F1(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:221(ab0)

ab 的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，

a2过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q；

c（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程；

（II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

x2y2b2【解析】（I）点P(c,y1)(y10)代入221得：y1

abab2040a

PF1QF21 ①

cc4ca24 ②

c2a2b2(a,b,c0)③ 又cx2y21 由①②③得：a2,c1,b3 既椭圆C的方程为43b20y0a221y22a （II）设Q(,y2)；则PF1QF2a2cccacc 得：kPQb2b22x2ab22cx2y22aa2

221yb2xy

2aabaabcb22x2caxc 过点P与椭圆C相切的直线斜率kyckPQ

a 得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

2* 数列{xn}满足：x10,xn1xnxnc(nN)

（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

（II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

【解析】（I）必要条件

2 当c0时，xn1xnxncxn数列{xn}是单调递减数列

充分条件

22 数列{xn}是单调递减数列x1x2x1x1ccx10

得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0

（II）由（I）得：C0

①当c0时，ana10，不合题意

2 ②当c0时，x2cx1,x3c2cx2c0c1

22

xn1xncxn0xnc10x1xnc

22

xn2xn1(xn1xn)(xn1xn)(xn1xn)(xn1xn1)

当c11时，xncxnxn110xn2xn1与xn1xn同号，

42由x2x1c0xn2xn0xn1xn

limxn1lim(xnxnc)limxnnnn2c

当c11时，存在N，使xNxNxN11xN2xN1与xN1xN异号

42与数列{xn}是单调递减数列矛盾

得：当0c

1时，数列{xn}是单调递增数列.

4