2020考研数学二知识点结构图总结

2024年4月5日发(作者：数学试卷订正反思)

2020考研数学二知识点结构图总结

第一部分

第一章

高等数学

函数、极限与连续性

函数基本概念

函数的性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）

函数

复合函数与反函数

常见的函数形式（初等函数、分段函数、隐函数等）

函

数

、

极

限

与

连

续

基本初等函数的性质及图形

极限的定义与性质、极限存在与否的判别方法

直接用运算法则

函数极限

（“

未定式

极限

其他未定式（转化为“

分别求左右极限

（四则运算、幂指数运算、代入法）

0

”型或“

∞

”型

0∞

0

0

）

”，或“

∞

∞

”）

求

极

限

的

方

法

数列

极限

递归数列

n项积数列

n项和数列

一般情形

(x

n+1

=f(n))

（恒等变形，转化为

（恒等变形，转化为

n项和）

n项和）

（转化为函数极限、夹逼定理、恒等变形）

定义与性质

无穷小

无穷小阶的比较与

无穷小阶的确定方法

连续性与间断点的定义

连续性连续函数的性质

（最大值和最小值定理，零点定理，介值定理）

判断连续性与间断

点类型的方法

（初等函数连续性连续函数运算性质，间断类型判别）

24

第二章导数与微分

定义

几何意义与物理意义

相互关系可微

?

可导

?

连续

导数、微分与可微概念

?

奇偶函数与周期函数的导数性质

定义法

基本导数表

导数与微分的四则运算法则

幂指数函数

f(x)

g(x)

求导法

求导方法

微分法则

复合函数求导法

反函数求导法

导

由复合函数求导法导出的微分法则

数

隐函数求导法

与

微

变限积分求导法

分分段函数求导法

参数式求导法

求某些n阶导数表达式的方法

函数的可导性及导函数的连续性的判断

平面曲线的切线与法线

平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径

简单应用

判断函数的凹凸性

某些物理量的描述

25

第三章不定积分

原函数

基本概念

定义

不定积分

不定积分

几何意义与物理意义

原函数的存在性

∫

kf(x)dx=k

∫

f(x)dx

（

基本性质

∫

f(x)+g(x))dx=

∫

f(x)dx+

∫

g(x)dx

?

?

∫

f(x)dx

?

′

?

=f(x)

∫

F

′

(x)dx=F(x)+c

基本积分表

分项积分法

积

分

积

计分

分段积分法

算

法

凑微分法

则

换元积分法

常用的变量代换

分部积分法

有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分

26

第四章定积分的计算及其应用

定义

基本概念

定积分

几何意义与物理意义

函数的可积性

积分法则+极限运算法则

反常积分

定义计算

若干基本的反常积分

牛顿—莱布尼茨公式

基本公式

变限积分所定义的函数的连续性、可导性及可导公式

定积分中值定理

积

分

的

等式表示的与不等式表示的

计

算

定积分的性质

及

奇偶函数与周期函数的积分性质

其

应

用

非负连续函数的积分性质

积

基本积分表

分

分项积分法

的

积

计

分

算

法

分段积分法

则

换元积分法

分部积分法

平面图形的面积与旋转体的体积

几何应用

平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、平行截面面积、已知的立体体积

应

用

物理应用

变力做功、引力、压力、质心（形心）、函数平均值

27

第五章多元函数的微分与应用

多元函数、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上连续函数的性质

基本概念

偏导数、可微性与全微分的定义

基本概念之间的关系

两个偏导函数函数

连续

?

?

可微

?

?

函数存在偏

导数

?

?

函数连续

求初等函数的偏导数与全微分

计算

多

元

全微分四则

函

运算法则

数

求带函数记号的复合函数的全微分

的

及一、二阶偏导数

微

微分法则

分

求隐函数的一、二阶偏导数或全微分

与

复合函数求导法

应

变量替换下方程的变形

用

与一阶全微分形

式不变性

最值问题

简单极值问题的解法

应用

条件极值问题的解法

二元函数极值判别法

28

第六章二重积分

基本概念

基本性质

在直角坐标系中化二重积分为二次定积分公式

计算公式

（先y后x与先x后y的情形）

二重积分的极坐标变换

二

计算

重

积

分块积分法，选择积分顺序（交换积分顺序）、是否

分

怎样用计算公式

及简化计算问题

选择极坐标、利用几何意义、利用区域对称性与被

积函数奇偶性

计算公式的应用

（累次积分的交换与转换）

29

第七章常微分方程

基本概念（解、阶、通解、特解、初值问题）

解的叠加原理

一、二阶线性微分方程的性质

通解（即所有解）的结构

变量可分离的方程

基本类型

一阶微分方程

一阶线性微分方程

常

微

分

方

程

解

法

可化为基本类型的

齐次微分方程

齐次

二阶线性常系数微分方程

非齐次

二阶微分方程（含某些高价的情形）

可降阶的类型

可化为求解微分方程的情形

（含变限积分的方程）

利用定积分的几何意义、

变化率满足的规律

利用导数的几何意义、利用

简单应用及如何列方程

利用牛顿第二定律、质点运动的轨迹、微分分析法

30

第二部分

第一章

线性代数

行列式

不同行，不同列的几个元素的乘积

概念

三要素

展开式中项的符号

展开式中所有项的项数为n！

经转置的行列式的值不变

互换行列式的两行（列），行列式变号

性质

行列式的某一行（列）所有元素都同乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式于零

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和

把行列式的某一行（列）的各元素同乘以常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

n

展开式

代数余子式

(第i行展开)

展开公式

A=

∑

α

ij

A

ij

j=1

n

A=

∑

α

ij

A

ij

(第j行展开)

j=1

定义法

行

公式法

列

数字型

式

递推法

用行列式的性质

抽象型

用矩阵的性质

n

用特征值（

A=

∏

λ

i

）及相似性质

λ

=1

A=-A

证明

A=0

反证法

r(A)

＜n

0是A的一个特征值

克莱姆法则

应用

伴随矩阵求逆

判定线性无关

计算特征值

计算特征值求解线性方程组

31

第二章矩阵

概念

m×n个数排成的n行n列的数表

行矩阵

列矩阵

零矩阵

单位矩阵

特

对角矩阵

殊

a

ij

≠

0(

i≠j

)

矩

正交矩阵

AA

T

=A

T

A=E?A

-1T

阵

伴随有矩阵

AA

*

=A

*

=A

A=AE

可交换矩阵

AB=BA

共轭矩阵

A

为

A

的共轭矩阵

反对称矩阵

A

T

=-A?a

ij

=-a

ji

，a

ii

=0

运算A+B，kA, AB,A

T

→方阵的幂A

n

定义法

AB=E

(或

BA=E

)，则

A

可逆，

A

-1

=B

伴随矩阵法

A

-1

=

1

*

A

A

矩

求法

→

行

阵

初等变换法

(AE)→(EA

-1

)

?

A0

?

-1

?

A

-1

?

-1

-1

分块矩阵法

逆矩阵

?

?

0B

?

=

?

?

?

0B

-1

?

，

?

0A

?

?

0A

?

?

?

?

B0

?

=

?

?

?

B

-1

0

?

?

定义法

A≠0

证法

r(A)=n

特征值法

反证法

概念

初等矩阵

P

左（右）乘

A

所得

PA

（

AP

）就是

初等矩阵

性质

A

作3次与

P

同样的行（列）变换

初等变换

E

-1

=E

ij

，

E

-1

iji

(k)=E

i

(

1

k

)

，

E

-1

ij

(k)=E

ij

(-k)

等价

A?B?PAQ=B

，其中

P

与

Q

可逆

概念

矩阵的秩

初等变换求矩阵的秩

32

第三章向量

n维向量、向量线性组合

概念

运算加法、数乘、内积

Schmidt正交化

概念方程组

α

1

x

1

+

α

2

x

2

++

α

n

x

n

=

β

有解

线性表出

充要条件

判定

r(

α

1

,

α

2

,,

α

n

)=r(

α

1

,

α

2

,,

α

n

,

β

)

充分条件

α

1

,

α

2

,

α

n

，线性无关，

α

1

,

α

2

,,

α

n

,

β

线性相关

向量组等价

α

1

,

α

2

,,

α

s

与

β

1

,,

β

t

可互相线性表出

概念

齐次方程组（

α

1

,

α

3

,,

α

s

）

x

=0有非零解

向

线性相关

量

充要条件

r(

α

1

,

α

2

,,

α

s

)

＜S

判别

某

α

i

(

i=

1,2,,

s

)

可由其余S-1个向量线性表出

n

+1个

n

维向量

充分条件

多数向量可由少数向量线性表出

概念

齐次方程组（

线性无关

α

1

,

α

3

,,

α

s

）

x

=0只有零解

充要条件

r(

α

1

,

α

2

,,

α

判别

s

)

=S

向量

α

i

(

?

i

)

不能由其余向量线性表出

充分条件阶梯形向量组

概念

极大线性无关组

求法

概念

向量组的秩

求法

33

第四章线性方程组

矩阵形式

初等行变换

阶梯形

导出组

通解

Ax

=b

r(

有解判定

A

)=r

A

解的结构

α

有非0解

1

x

1

+

α

2

x

2

++

α

n

x

n

=0

＜＞

α

1

,

α

2

,,

α

n

线性表出

线

向量形成

性

方

α

1

x

1

+

α

解

2

x

2

++

α

n

x

n

=

β

＜＞

β

可由

α

1

,

α

2

,,

α

n

线性表出

程

组

特解，通解

解的结构

自由变量

若

η

1

,

η

2

都是

Ax

=

b

的两个解，则

η

1

-

η

2

是

Ax

=0的解

解的性质

若

ξξ

1

,

2

是

Ax

=0的两个解，则

k

ξ

1

+k

2

ξ

2

是

Ax

=0的解

若

ξ

是

Ax

=

b

的解，

η

是

Ax

=0的解，则

ξ

+

η

是

Ax

=

b

的解

34

第五章矩阵的特征值与特征向量

定义

不同特征值的特征向量线性无关

性质

n

重特征值至多有

n

个线性无关的特征向量

nn

n

∑

λ

i

=

∑

a

ii

,

∏

λ

i

=A

i=1i=1i=1

定义法

特征值

特征多项式法

λ

E-A=0

求法

定义法

特征向量

矩阵的特征值与特征向量

基础解系法

(

λ

E

-

A)x

=

0

定义

P

-1

AP=B

λ

E-A=

λ

E-B

nn

相似

∑

a

ii

=

∑

b

ii

i=1i=1

r(A)=r(B)

性质

A

T

=B

T

A=B

A

-1

～B

-1

（若

A

，

B

均可逆）

A～B,B～C

，则

A～C

A有n个不同的特征值

充分条件

A是实对称矩阵

可对角化

A有n个线性无关的特征向量

实对称矩阵

充要条件

r(

λ

E-A)=n-n

i

，其

与对角矩阵相似

特性

可用正交矩阵对角化

特征值全是实数

不同特征值的特征向量相互正交

r(

λ

i

E-A)=n-n

i

i

为

n

i

重特征值

35

λ

第六章二次型

矩阵表示

xAx

T

二次型的秩

r

(

f

)

正交变换法

化标准形

配方法

定义

（

C

T

AC=B

，

C

可逆；

A

，

B

实对称

A

≌

B

）

标准形

合同充分条件

（

A～B

）

充要条件

（

x

7

Ax

与

x

T

Bx

有相同的正负惯性指数）

二

次

型

惯性定理正、负惯性指数

定义

x

T

Ax

＞0（

?x≠0

）

A

为正定矩阵

正定

a

ii

＞0

充分条件

A

＞0

正惯性指数

P

=

n

λ

i

＞0（

i=1,,n

）

充要条件

A=C

T

C

，其中

C

可逆

顺序主子式全大于0

C

T

AC=E

，其中

C

可逆

36