2023年12月4日发(作者：小学毕业期末数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）

数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合M={x/x4}，N={x3x1}，则MIN=

A.

{x|0x2}

C.

{x|3x16}

1B.

{x|x2}

31D.

{x|x16}

3

2. 若i(1−z)=1，则z+z=

A.

−2 B.

−1 C.

1 D.

2

uuuuuuuuurrr3. 在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记CA=m，CD=n，则CB=

A.

3m−2n B.

−2m+3n C.

3m+2n D.

2m+3n

4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位韦海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180km2.

将该水库在两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）

A.

1.0109 m3 B.

1.2109 m3 C.

1.4109 m3 D.

1.6109 m3

5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互为质数的概率为

1

6

A. B.

1

3C.

1

2D.

2

3

数学试题第1页 （共4页） 2ππ6. 记函数f(x)=sin(x+)+b(0)的最小正周期为T. 若Tπ，且y=f(x)的图象关于点34(3ππ，2)中心对称，则f()=

22 A.

1

7. 设a=0.1e0.1，b=B.

3

2C.

5

2D.

3

1，c=−ln0.9，则

9 A.

abc B.

cba C.

cab D.

acb

8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各点都在同一球面上. 若该球的体积为36π，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是

A.

[18,81]

4B.

[2781,]

44C.

[2764,]

43D.

[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则

A. 直线BC1与DA1所成的角为90

B. 直线BC1与CA1所成的角为90

C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45

D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45

10. 已知函数f(x)=x3−x+1，则

A.

f(x)有两个极值点

1)是曲线y=f(x)的对称中心 C. 点(0，B.

f(x)有三个零点

D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

−1)的直线交C于P，Q两11. 已知O为坐标原点，点A(1, 1)在抛物线C:x2=2py(p0)上，过点B(0，点，则

A.

C的准线为y=−1

C.

OPgOQOA

2B. 直线AB与C相切

D.

BPgBQBA

2

312. 已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若f(−2x)，g(2+x)均为偶函2数，则

A.

f(0)=0

1B.

g(−)=0

2C.

f(−1)=f(4) D.

g(−1)=g(2)

数学试题第2页 （共4页） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y13.

(1−)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为__________（用数字作答）.

x14. 写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程__________.

15. 若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________.

x2y2116. 已知椭圆C:2+2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为. 过F1且垂ab2直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE=6，则△ADE的周长是__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）

记Sn为数列{an}是前n项和，已知a1=1，{（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：111++L+2 .

a1a2anSn1}是公差为的等差数列.

3an18. （12分）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若C=2π，求B；

3cosAsin2B.

=1+sinA1+cos2Ba2+b2（2）求的最小值 .

c219. （12分）

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值.

20. （12分）

一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中

数学试题第3页 （共4页） 随机调查了100人（称为对照组）. 得到如下数据：

病例组

对照组

不够良好

40

10

良好

60

90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中人选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，记该指标为R .

（i）证明：R=P(A|B)P(A|B)；

g

P(A|B)P(A|B)P(B|A)P(B|A)与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，P(B|A)P(B|A)（ii）利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

n(ad−bc)2附：K=，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2k)

k

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

21. （12分）

x2y2已知点A(2,1)在双曲线C:2−2=1(a1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜aa−1率之和为0 .

（1）求l的斜率；

（2）若tanPAQ=22，求△PAQ的面积 .

22. （12分）

已知函数f(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

数学试题第4页 （共4页）


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