2023年12月10日发(作者：武珞路九年级数学试卷)
专题4、
锥曲线与外心问题:
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.
三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点
知识储备：
（1）、。是A43C的外心=1 / 1=1
而
1=1芯1（或3
=OB~ =OC~）x
（2）、若点。是八48。的外心，则（ZS +无）而=（而+ 反）灰=（3+
反）衣=0.
（3）、若。是
A43C的外心，则sin2A•厉+sin2B•丽+
sin2c•反=6；
（4）、多心组合：”3。的外心。、重心G、垂心”共线，即玄〃而
经典例题
22
例L已知坐标平而X。），中，点A分别为双曲线C:「—y2 = l
（。＞0）的左、右焦点，点M在双
a-
曲线C的左支上，加心与双曲线C的一条渐近线交于点O,且。为M玛的中点，点/为△公名的外心，
若。、/、。三点共线，则双曲线C的离心率为（）
A. 72
【答案】C
B. 3 C.
y/5 D. 5
/
m + c
n
【分析】由题意得：直线8
:分MF?,设点M（肛〃），后（「0）,则。下―,不,可得方程组:
I z
乙）
n
\' ，求得〃
C2 = 1
竺把
I C cj I C
W-C将\"2\"二\"代入双曲线方程得（2\'厂—「）_4小
府
c2
2 a 2
化简可得：€ =小
【详解】不妨设点M在第二象限,设“（九〃），r（c,o）,
由。为M巴的中点，0、I、。三点共线知直线8庇直平分姐.则O0:y = -x
,,..n 1 1
m + c 以… cr -1
2a
故（ -----
= -〃• k -・〃 = — ・
，解得〃? = -----
, n = ——
m-c 2
a 2 c c
M1-I
2a、 c
2a
\' J
\'不,
代入双曲线的方程可得
=「化简可得不=51,
即6
=有，当点M在第三象限时，同理可得6=6.故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出 “我8垂直平分A/工，并用小C表示出点河的坐标是解决此题的难点，属于中档题.
例2.设/（c,0）为双曲线E:二一二=1（。>0/>0）的右焦点，以尸为圆心，Z?为半径的圆与双曲线在
cr iy
第一象限的交点为。，线段EP的中点为0,的外心为/,且满足而=
207（2 W0）,则双曲线E
的离心率为（）
A.夜
【答案】D
B.6 C. 2 D. 75
【分析】先由历=丸5（丸。0）可确定。、0、/三点共线，则根据外心的性质可得ODJ■尸产.再由点。为
焦点的中点,根据中位线性质可得P尸\'〃
OD,则PF± PF,进而在RsPFF\'中利用勾股定理求解.
【详解】由题，因为0力=2。/（义工0）,所以。、D、/三点共线，
因为点D为线段FP的中点，\"OF的外心为/ .所以DI ± PF ,即ODLPF.
设双曲线的左焦点为F（-c,0），则点。为线段F\'F的中点，
则在△尸中.刊\'〃。。,即尸9_LP?所以\"尸产\'是直角三角形，所以「户「=|广尸『+|尸歼.
因为|产用二〃,由双曲线定义可得|尸尸|一|尸川=2人所以|尸尸| =%+\"
则（2c『=（2a +炉+〃,因为ijJ+A整理可得力=2,所以c
=\"，厕6
= （=不故选:口
【点睹】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义的应用.
例3. （2020•四川高三月考）已知点耳（一GO）,居（c,0）（c＞0）是椭圆［十二=1（。＞〃＞0）的左、右焦点，
cr b~
点P是这个椭圆上位于工轴上方的点,点、G是的外心,若存在实数2，使得GR+GF2+ AGP = 6,
则当△户\"鸟的而积为8时，〃的最小值为（）
7rA. 4
【答案】A
B.
46 C. 2瓜 D.
4小+2
【解析】由于外心在FIF2的垂直平分线上，故外心在y轴上，而西+%方向朝着y轴的负半轴，故尸点位
「椭圆的上顶点，此时三角形面积为;・2c•匕=8,反=8.所以〃=由寿之^; =
4、故选A
【点睛】本小题主要考查椭圆的基本性质，考查与焦点三角形有关的概念，考查三角形外心的几何性质,考查向
量运算的几何意义.本题的突破口在如何确定G *的位置.首先根据G点是鸟的外心，外心是三角形各
\"正直平分线的交点，再结合向量运算的几何意义可以判断出G点恰好就是椭圆上顶点一
例4.已知椭圆工+t二1和双曲线二一_= 1,其中0＜团＜12,若两者图像在第二象限的交点为,4,
16
m 4 12—
〃？
椭圆的左右焦点分别为从C, T为A/C的外心，则后・有。的值为.
【答案】16.
【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设5（—c,o）,c=jmr,利用椭圆和双曲线的定义求出।Asi,用 利用两点间的距离公式求出A点的横坐标，因为。为BC中点，A4BC的外心丁在y轴上，将 方=诙一次，代入所求式，即可求解.
2
2 2 2
【详解】已知椭圆［+二=i和双曲线三一-Z—= i, 16
m 4 12-m
焦距相等所以焦点相同，设4（—c・,0）,C（c,0）,c = 716^7 .
!照十四| =
8
A为两曲线在第二象限的交点，I ABH ACI,
位8HAe1 = 4
।阴一2,
设 ＜一2,），：=加一乡£,
loI A81= J（Xo+c），+ y； = V x： +
2cx0+c2+m =白 x： +
2cx0 +16 = J（： / +
守=：/ + 4 = 2 , 8
・・・司=一一，因为。为8。中点，△K3C的外心7在V轴上， = 0.
c
布•宽=（0下一。淀）・83=一。了8弓=一（一9,凡）,（2.0） = 16
c
【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.
2
例5.已知点片，入分别为双曲线—
2
的左、右焦点，点$ 8在。的右支上，且
点F?恰好为的外心，若（瓯+丽）•祈=0,则C的离心率为-
【答案】五担
2
【分析】取\";的中点为C，连接BC、A0、BF2,由垂直向量的数量积关系推出BCJ_A耳，再利用双曲 线的定义求;I； \"； =8耳=2。+
2。即可推出448耳为等边三角形，求出BC, （i^CBF.中利用勾股定理列 出关于。、c的齐次式即可求解离心率.
【详解】取力”的中点为C，连接3。、AF2. BR,如图所示：
因为（8耳+B4）・AF； =-BC A^ =0
.所以8CLA片，
又C为AK的中点，所以AAB”为等腰三角形且8\" =84.
因为点工恰好为△1A8的外心，所以点工在直线3。匕且AE=BE=EE=2c,
由双曲线的定义知
AF} - AF2 = BF「BF2
= 2a，则
AF[=BFl= 2a + 2c
9
3
所以AABG为等边三角形，则BC
=
：BFL 3c，
在ACM中，。炉+。斤=町2即如+（4 + 0）2=（勿+勿）2,化简得3/+64°-6?=0,
同时除以小可得及2-2e-l=0,解得e =
或上正（舍去）.故答案为：史E
2 2 2
【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向 量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题
2 2
例6. （2020.广东省高三期末）已知椭圆二+二二1的下顶点为A,若直线X =
） +
4与椭圆交于不同的
16 4
两点M、N,则当\"时，AAMN外心的横坐标最大.
【答案】2-272
【分析】由已知可得力、M的坐标，求得AM的垂直平分线方程，联立已知直线方程 「椭圆方程，求得MN
的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得AAMN外心的横坐标，再由导数求最值.
由一知条件可知4（0,-2）,不妨设M（4,0），则A4AW外心在期 的垂直平分线上, 即•在直线y+l = -2（x—2）.也就是在直线y=-2x+3・
Ix = ty +4
X ），2_，得y = 0或丁 = 一1三（fvO）,」.MN的中点坐标为［言］,一1三 正十丁一 十
24/
（ 16
、
把）,=3+3代入上式，得\"左三
则脑V的垂宜平分线方程为），+千=-卜-『
»3r+ 6
令g（，）= 7-->
，+4
3（J_4f_4） _
= ---- 由
g\'（，）=。•川=
2 + 2应（舍）或］=2-2四.
（广
+4）-
_
当f<2-2应时，g\'（，）>。，当2-2点 币=2-2点时,函数y = g（，）取极大值,亦为最大值.故答案为：2-242 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题. 例7. (2019年成都七中半期16题)居分别为双曲线二一二=1 (〃/>0)的左、右焦点，点夕在双 cr lr 曲线上，满足夕6二夕町=0,若鸟的内切圆半径与外接圆半径之比为41,则该双曲线的离心率 为. 【答案】JJ+I 【解析】•••尸耳\"/< = 0，.।・/¥；」尸片，即APEK为直角三角形， 1 ， I ， ，阀f+熙f=|耳用J5 |附|一照|卜力, 则2附卜|叫=附『+|「目\'(附曰明『=402-叫， 出用十 |户用\"(|尸耳一|尸尸灯+4附H”| = 8C2_4/2. 所以△尸\"八内切圆半径r =「用+ \"‘用-％用=J2c2 —力—c,外接圆半径H = c, 2 由题意，得曲二士1£ =三二1,整理得［二］=4 + 26，，双曲线的离心率6 = 6+1. c 2 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方 程的思想，考查运算求解能力，属于中档题. 2 2 例8. (2018全国高中数学联赛(湖北预赛))已知点P在离心率为72的双曲线三-* = (a>。力> 0)上, 片、鸟为双曲线的两个焦点，且丹；•尸户2=0,则耳用的内切圆半径「与外接圆半径R之比为一. 【答案】见一1 2 【解析】由府一*=0,知N阜第=90。.设归周=见归闾=〃, 又比马= 2c,则可得R = c/ =，(〃? + 〃 — 2c), 2 nr + n2 = 4c, 2① m-n = 2a ② »• i 设一=A , PIO r = kR = kc = — (〃? + 〃-2c)，即有/〃 + 〃 = (24 + 2)c. ③ R 2 由①②®可得（2% + 2『。2+4/=8<・2,所以化+ 1『=二二£ = 2 —\'=3 c〜 e- 2 解得左=包一 1 .故相3的内切圆半径r与外接园半径R之比为YG -1 2 - 2 例9. （2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆工+t=1的左、右焦点分别为\",凡，过F）的直 4 3 线/交椭圆。于A3两点，过乂作x轴的垂线交椭圆C与另一点。（。不与A3重合）.设AA3Q的外心 、 M ,、 为G,则7——।的值为 GF2 【答案】4 【解析】由题意知，囿线的斜率存在,且不为0,设直线为1 =叼+ 1, 代入椭圆方程得（362 +4））尸+6/ny-9 = 0 设4（百,）1）,3（々,%），则 X+）\'2 = -6/7? -9 3〃『+4\'\"）2-3〃/+4 ’ 所以A5的中点坐标为 4 一3加 < 3m2+4 3m2+4J 1271 Wx + nr 12（1 + 办厂） 3〃?2 +4 3m2 +4 因为G是AA8Q的外心，所以G是线段43的垂直平分线与线段A。的垂直平分线的交点,回的垂直平分线方程为\"5冷=一〃? . 4 ） 「3m2 +4） 令丁 = 0,得工=-T—,即G 1 1 । 3m2+3 3m +4 I.E，。｝所以叫= 3病+4 -1 =——；3\" +4 12（m2+l） 所以手!= 3〃?：+4 =口 = 4,所以，詈值为4. GF2 3二 + 3 3 |GF?| 3病+4 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线打椭圆的位置关系，属于难题. ， 例10 （2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设尸（c0）为双曲线石：二-二的右焦点， cr lr 以厂为圆心，Z;为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,线段EP的中点为D, AP。尸的外心为/, 且满足而= /lO7（4wO）,则双曲线石的离心率为（） A. V2 B. 6 C. 2 D.逐 【答案】D 【解析】由题,因为历=/07（丸。0）.所以。、D、/三点共线， 因为点D为线段FP的中点，APOF的外心为I,所以D/上PF，即ODLPF. 设双曲线的左焦点为F\'（「c,O），则点O为线段F\'F的中点， 则在△尸\"\'中.即尸k_LP「所以△尸F尸是直角三角形，所以甲歼=尸邛+|PF「， 因为|尸耳=。由双曲线定义可得|PF|-|P尸］ = 2公所以|PF| = 2+\" 则（24=（24+4+〃,因为02=42+火整理可得/?=2,所以°=\"“,则\" = （ = 6.故选心 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义的应用. 2 例11.（2019年衡水中学联考12题）己知坐标平面X。），中，点g ,居分别为双曲线C :二一 / = 1 0 ） a- 的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF］与双曲线。的一条渐近线交于点。，且。为M玛的中点，点/为△QMB的外心，若。、I、。三点共线，则双曲线C的离心率为（） A. 72 B. 3 C.小 D. 5 【答案】C 【解析】不妨设点M在第二象限，设加。几〃），」（c,0）, 由。为M泾的中点，0、/、。三点共线知直线8垂直平分MF?，则OO:），= （x, …〃 ,, 1 1 〃7 + c 以… a2 -1 2a 故有----- =一\"，解得，7 = ------------------------ , n =——， m-c 2 a 2 c c 将“ cr -1 2a 丁‘不 ，、双曲线的方程可得（242一百 4aI],化简可得/=5/，即e = \". 〃 > （，） c厂厂 7 L 1 当点“在第三象限时,同理可得e = >/不故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线8 垂直平分/鸟，并用口 C表示出点M的坐标是解决此题的难点，属于中档题. 2例12. （2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线y = 4.x・交于A, B两点，若AOAB的 AB ,, 外心为M（。为坐标原点）’则当局最大时\' 【答案】4M. 【解析】由题意知，M。为AOAB外接圆的半径, 在AOAB中，由正弦定理可知， 网 =2R （R为△OA3外接圆的半径）, sin ZAOB 当sin ZAOB = 1,即NAO8 = 90°时，取得最大值AB 2. MO 设 8（々》2），易知）*。，%。0， 则内々+）‘。2 =°,得\"$~+）力=o,即b）\'2+16=。. 16 设直线AB的方程为）\'=x+，，即x =,代入产=4x得，y2-4y + 4r = 0, 则X+X=4,凹为=小，所以41 + 16 = 0,解得1 = 故卜用=&四一%| = >/^5/1不由=4加.故答案为：4M 【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.1A8| = 课后训练： 2 2 L (2020•四川棠湖中学高三(理))己知点£(-c,O),玛(c,0)(c＞0)是椭圆t +:=15＞力＞0)的左、 a- b- 右焦点，点P是这个椭圆上位于工轴上方的点，点G是AP\"用的外心，若存在实数几，使得 G£+G£+;GP=0,则当△尸斗鸟的面积为8时，a的最小值为. 【答案】4 【分析】根据向量的共线定理，即可求得则P，G, 0三点共线，则P位于上顶点，则bc=8,根据基本不等 式的性质，即可求得a的最小值. 【详解】由G是APFR的外心，则G在y轴的正半轴上，GF.+GF+AGP = O, 1 __ ____ 2 ______ 则方=一一(西+ 3月)=一三前，则P, G, 0三点共线，叩P位于上顶点， 4 A 则APRF2的面枳S二;xbx2cWjc=8,由a2=b?+c2之2bc=16,则也4,当且仅当b=c=2 时取等号， __ ・・・a的最小值为4,故答案为4. 【点睛】(D本题主要考查平而向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析 一 1 ___________ 2一 推理能力。)解答本题的关键是分析出GP =一一(GF}+GF2) = 一一GO,得到P, G, 0三点共线，即P位 A A 于上顶点- 2 .已知点A(2,0), B、C在丁轴上，且忸C|=4,则AABC外心的轨迹S的方程： 【答案】 y2 = 4x 【解析】设AABC外心为G,且G(x,y), B(0,«), C(0,a+4) 由G点在BC的垂直平分线上知y = a + 2 由 GA[=|GB|,得(x — 2) + y =x+(y-a) 故(x — 2) + j =X + 2 即点 G 的轨迹 S 为:y? = 4x 2222222222 3 .在平而直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为— + /=1,设经过点尸（2,0）的直线/交椭圆。于A , 2 B两点,点。（，几0）.设点尸为椭圆C的左焦点，若点。为的外心，则实数〃?的值. + =（1一附~ +y 【分析】由I 」 得为+々=4加，XAX2 = -4m,所以 8k2 + 8K - 2 z 2 ---- r，解谷攵=一, 1 + 2/ 8 即可求出m值. 【详解】设自线的方程为尸Mx —2）.代入椭圆C的方；,消去》得（1 + 2%2卜2-8公丹8二一2 = 0. 因为直线/交椭圆C于两点，所以△ = （一8父）2-4（1 + 2公）（8公—2）＞0, 设A（XM，8（再,y2），则有％+1= 8k2 l + 2k2 MW 8k2-2 \"l + 2k2 2k 设48中点为\"（%,%）， 则有% = y0=k(x0-2) = 1 + 2? 当kwO时，因为QA = Q8,所以。即的川・％ = OL2 4k2 ---- r 一〃？ 1 + 2K 2Ob QL2 l + 2k2 解得〃 ？=上二.当&=0时，可得〃 2 = 0,符合机因此加=上二 1 + 2父 1 + 2 父 一户 m 1 1 由=可匚帚＜5,解得°金〃＜于 ②因为点。为M45的外心，且尸（一 1,0），所以QA = Q8 = QF. m + y + y, v2 , —+ /=1, 2 2消去丁，得4〃a—4/〃 = 0,所以X6，也是此方程的两个根. 所以％+工2=4〃7, x1x2 = -4/H . 乂因为X +x2 = 8k2—2 1 所以〃 7 = J^ = _L 1 + 2K 5 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 2 k2 4.设点M、N分别是不等边^ABC的重心与外心，己知4。，1）、8（0,-1）,且须=彳通. 则动点C的轨迹E 【答案】? + y2 = ］（寸。0） 【分析】设点c（x, y）,由重心坐标和外心坐标，；r网的几何性质以及丽=丸而列方程，化简后求得 轨迹E的方程. 【详解】设点C（x，y）,则AABC的重心•.•△村（：是不等边三角形，・・・x\"0. 打咬zsABC的外心N（〃，0）「・•已知丽 =%而，.・.MN〃AB, ・•・〃=? ,・,点N是4ABC的外心，.」惘=附，即 化简整理得轨迹七的方程是土 + =1 （移W 0）. ，动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）. 【点睹】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归 与转化的数学思想方法，属于难题. 5. （2019•广西高三期末（理））在直角坐标系xOy中直线y = x + 4与抛物线c： / = 4）,交于A, B两点.若 D为直线y = x + 4外一点，且AABD的外心M在C上，则M的坐标为 【答案】（4,4）或（—8,16）. t分析】三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段A5的中 垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M. x? = 4y 【详解】（1）联立〈 ，得/一4X一16 = 0，设A（X]，X）,3（x）,y）则为+占=4,不八=一16. y = x + 4 设线段 AB W中点为 N（升）,%）, X。== 2，%=% + 4 = 6. 2 则线段A8的中垂线方程为y — 6 = —（X—2）,即y = -X + 8. [x2 =4v 联立＜ c得小+4%-32 = 0,解得x = —8或4. [y = -x+8 从而AABD的外心M的坐标为（44）或（-8,16）. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键, 同时考查向量知识和三角形外心的应用. 2 6 .如图，椭圆G：；+y2=i,抛物线。2：犬=2〃），（〃＞0）,设G，02相交于，4、8两点，。为坐标原点. 若△.铝。的外心在椭圆上，则实数P的值 【答案】上/ 【详解】由抛物线、椭圆和圆的对称性可知,2U5的外心为椭圆的上顶点M（0, 1）.则有,忆公小四二M。=1.设 X； = 2py° 2 号+片=1 ,解得, （玉）＞°），则有＜ xo +(%T) =1 4(2屈-5) 9 -1 + V13 3 7-V13 7 .（2020•福建高三月考（理））设椭圆。：二+t=1的右焦点为尸，过尸的直线/与C相交于48两点. 4 3 AB 设过点A作％轴的垂线交C于另一点P,若用是△尸48的外心，则岛的值为 【答案】4 【分析】求得A5的中点坐标为（启了品I），利用弦长公式求出WM，根据题意可得AS的垂直I 线方程卜+不£ = 一（“一手用〉求出点M的坐标，进而求出进而可求解• 【详解】由题意知，直线45的斜率存在，且不为0,设宜线x = ty + . 2 代入；+ 千=1 得（3 /+4）/+6。-9 = 0, 2 i殳\'她 M + ”=—5 \" » 乃乃7 3r+4 则AB的中点坐标为二； 3〃+4 V3r +4 3r + 4} 所以= g…=型叁 1| = gx为叵1 3 厂+4 3 广+4 因为\"是△243的外心，所以M是线段45的垂直平分线与AP的垂直平分线的交点, 四的垂直平分线为，+/=—卜一目）：令…，得、=出，即M：芽g°} 12（产+1） 所以, 1=3/士卜用_卞丁 J2 3入4明日 3r+3 3 3r+4 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题. 8 .在平面直角坐标系xQv中，己知圆0：/+丁=，&>0）,点M I 3、 , N（—1,-3）,点A在 ， 乙） 圆。： / +），2=5上，直线x = 2与圆。交于E,/两点（E点在x轴上方）, 抛物线），2=2x上的动点，点。为的外心，则线段。。长度的最大值为,当线段。。长 度最大时，则△包户外接圆的标准方程为 【答案】。。的最大值为3-6： (x+V3-3)\'+/=5-25/3 【分析】由x = 2得到E、尸的坐标 表示出线段尸石的中垂线/,令y = 0,得到△座尸的外心。的坐标, / 、 个 〜 nr + 2m - 5 illP(稀冷在抛物线V =2x上得〃2 =2m，从而得到工=下嬴^-，再由基本不等式，得到其最大值, 确定出。点坐标，再求出所外接圆的半径，得到所求圆的方程. 【详解】把x = 2代入圆。的方程得y = ±l，所以E(2』)，F(2,-l), 作出线段PE的中垂线/，则△尸所 的外心Q为直线/与x轴的交点. 直线/的方程为：了 in+ 2 x- ------ \"广+ 〃〜一5 .\'当时\'\"而二分. 因为点尸(〃7,〃)在抛物线V=2X上，所以〃2=2〃1所以彳= 2(/7?-2) m1 +2/7z-5 八 由°c〃<5得所以0Q= 1 八八 \"+2〃？ 一 5 2(帆-2)1 2) —— 2 - /// + 3 _ 2( 当且仅当2— 〃?=—时，即〃? = 2 — JJ时取到最大值3 —6. 2 - tn J;;;:;; 5 + 3x2」(2-〃?) •二—+ 3 = 3-/. 2 V ) 2-〃7 此时。点坐标为(3 — 0,0),所以，EF外接圆的半径r = QE =，5一2的， 所以外接圆的标准方程为1+ 0-3丫 + /=5-2有. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，求三角形外接圆的方程，利用基本不等式求最值，属于中档题. 9.。为双曲线C: 厂)广 屋卞 2 B. 2 上一点，耳,K分别为c的左、右焦点，尸鸟，耳鸟，若△尸百尸2 ) 外接圆半径与其内切圆半径之比为大，则C的离心率为( C. R或小 D. 2 或 3 【答案】D 【解析】不妨设P为右支上的点，则|尸用—I尸用= 27.i 2双曲线的半焦即为c ,则|尸周=2，归用=£ +勿, b2 五 又RM尸与鸟外接网半径为卜 •△P”巴内切圆的半径为.- + 2L亍-2“_2。一2。, / = = = c ~ n 2 2 5 b- 因为AP4居外接阅半《力其内切网半径之比为一，故五十 \"_5 , 2 7^一， 故/-54C + 64 =0，所以c = 〃 或c = 3。，即e = 2或e = 3 .故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于\"消\"的一个等式关系.而离心率的取 值范惘，则需要利用坐桁的;仁国、儿何量的范围或点的位置关系构建关于。也C的不等式「或不等式组. 210. （2018上海市高三模拟）已知椭圆二十二=1和双曲线三-」- = 1,其中0＜用＜12,若两者图像在 16 m 4 12-/7? 第二象限的交点为,4,椭圆的左右焦点分别为3、C, T为△J5C的外心，则行•配的值为. 【答案】16. 2 2 2 16 m 2 4 12 - 777 【解析】已知椭圆二+22 = 1和双曲线工一」— = 1, 焦距相等所以焦点相同，设4(—c0),C(c,0),c = , ]AB + AC = S 一〜c A为两曲线在第二象限的交点，IA8HACI, V J ]AB-AC = -4 1481=2, 〃7 -» M 4(工0，〉\'o)，< “0 v —2， y()= 〃，一 ■—%» 1O I A81= 7(o )>o J16 \" X； + 2cx0 +c2+ m = \"x： + 2cv0 + 16 = ./(^-x0+4) = ：/ + 4 = 2 \' V 16 V16 V 4 4 x+c2 +=2Q 一，因为。为BC中点,AJBC的外心丁在y轴上，OT BC = O＞ - - 一 । । । • ・ ・ • । 9 . • X A7・8C = (OT - QA)・8C = —QA-8C = —(——,yo)(2cO) = 16 c 【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题. 2 11.2为双曲线C：3-; = 1仅＞0力＞0)右支上的一点，耳吊分别为左、右焦点，PFH 若 2 APGE的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线。的离心率为() A. 3-忘 【答案】C 【解析】•.•\"!，£用，，点Q的坐标为(c,生\'；—,5!iJPF.= —+ 2« V ) . a a aB. 4-V3 C. 3 + &或3-忘 D. 4 + VJ或4一6 APf；居的外接圆半径4=\", =二+ 〃 2 2a 其内切圆半径_ %.一工一工一2。_ r2 = ------- - ------ = c-a 乙 •••△尸片居的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，=3G,即，L + “ = 3(C —〃) 2a 化简可得/ 一 6ac - 7/ = 0即/ 一 6e — 7 = 0解得e = 3 土 \"故选C 【点暗】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量 关系求出结果，属于中档题. 12. (2018年四川省棠湖中学三诊16题)已知点”(一。,0), A(c,O)(c＞。)是椭圆二+二=1(。＞人＞0) CT b\" 的左、右焦点，点尸是这个椭圆上位于X轴上方的点，点G是鸟的外心，若存在实数丸，使得 2 2 G6+GE + XGP = 0,则当△尸EF?的面积为8时，。的最小值为. 【答案】4 【解析】由G是△PFE的外心，则G在y轴的正半轴上，西+碣+痂 =6,则帝=一一（西+ 质）=一三而，则P, G, 0三点共线，即P位于上顶点. A A 则△PB&的面枳s=； xbx2c=bc=8,由a2=b2+c2>2bc=16t则於4,当且仅当b=c=2⑪ 时取等号, 1 o •・.a的最小值为4,故答案为4. 【点睛】（1）本题主要考查平而向量的共线定理和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析 ■能力<2■本题的关键是分析出GP = -：（GK+GK） =—=GO,得到尸，G,。三点共线，即P 几 A 位于上顶点. 2 2 13. B,乃分别为双曲线二一二=1（。，A0）的左、右焦点，点尸在双曲线上，满足PE .PF；=0,若 cr 1厂 - △尸尸1尸2的内切圆半径与外接圆半径之比为！，则该双曲线的离心率为 3 【答案】m 2 【解析】•••西.电=0，PF1 1 PF2. ・•.的内切圆的半径为5. 3 设尸2的内切圆的圆心为M,过/作X轴的垂线连接“月，MF〉则MN、， 设 NK=，\"，NF2 = n ,则〃 [ + 〃 = 2r,① 不妨设尸在第一象限,由双曲线的定义可知明一桃=小一〃 = 2/.② 由①②可得川= 〃 + c, n = c-a, •； PF1工PF?,且“再，加工分别是NP£K，的角平分线，.•./峭人+乙06耳=£, &PFR的外接网半径为:枢=c , l MN c / tan ZME F、= - =——= ------ . ZA/RF = ----- = ------- , NF13m 3(a+ c) - NF2 3(c-o) 。 + 。 八,ll MN c c 3(c + a) 3(c-“) ， ，，，，9 3K/2 3>/2 二 ： =1，化简可f j =2r-，嘏e =7, :.e = ------- ・故C案为： ----- ・ 1 — —S— 2 2 2 29(c-tr) 【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题 14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的 距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线.已知A45C的顶点4（2,0）,8（0,4）, 若其欧拉线方程为x — y+ 2 = 0,则顶点。的坐标是 【答案】（-4,0） 【解析】设C（/几〃），由重心坐标公式得，AA5C的重心为 (2 + 〃？ 4 + 〃、 亍 > 代入欧拉线方程得： ±1-±+ 2 = 0,整理得：〃?一〃+4 = 0 ① 3 3 1 , 48的中点为（1,2）, kAB = ----- = 一2, 48的中垂线方程为y-2 = -（x-l）,即x-2y + 3 = 0. 0 — 2 2 x-2y+3=0 x-联立＜ 4-0 x = -l y+2=0 ・・.A4BC的外心为（一1,1）. 22则・・.(〃? + 1『+(〃-1)2=32 + 12,整理得：m+n+2m-2n = S ② 联立①②得：m = -4, 〃 = 0或m = 0, ” = 4. 当加=0,〃 = 4时&C重合，舍去.，顶点C的坐标是（-4,0）. 考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心. 15.已知月、鸟分别为双曲线。。-芸=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G、/分别为△耳”的 重心、内心.若G/〃x轴，则△片尸入的外接圆半径氏=. 【答案】5 【解析】不妨设尸（如为）在第一象限，|阿|=乙，|尸图=弓.依题意，4一0=4,阳同=8. 由G、/分别为AFIPF?的重心、内心，G/||x轴，得用的内切圆半径 所以%%=1（怛/| +上用+ |尸2叩，・=；（4+，2+8）［），。. 乙 乙 J 又 S“心=；• |耳周• % = 4yo .所以］«+4+8）•: % = 4%. 乙 乙 J 故4+々=16,结合弓一々=4,得4=10, 々=6. 由此得到，忻尸「=|耳用「+I&P「.因此夕入，耳鸟.所以△\"尸鸟的外接圆半径R = 51GP| = 5. 乙 2 2 16.已知椭圆C：工+:=1的左、右焦点分别为耳，K,点尸是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）， 4 3 过F?的直线/交椭圆C于A8两点，过A作x轴的垂线交椭圆。与另一点。（。不与48重合）.设 AB △48。的外心为G ,则 pT|的值为. 【答案】 t分析】由题意知，直线A3的斜率存在，且不为0,设直线A5为工=帆＞ + 1,代入椭圆方程得 （3〃/+4万+6〃少-9 = 0.设4不凹）,8（孙为），利用弦长公式求得I AB I,利用AB的垂直平分线方 AB 程求得G的坐标，两个都用加表示，代入而有中、即可， GF2 【详解】由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0,设直线AB为％ =小一+ 1, 代入椭圆方程得（3〉+4）r+6/Hy-9 = 0 -6〃？ 一9 设 A（%, X ），8（/, % ）•则必 + % = 3〃/+4，、跖=3〃,+4 \' ‘ 4 所以A8的中点坐标为「-―， —3/77 、 13〃? +4 3m + 4 J 一回片311^零二等鲁 因为G是△AB。的外心,所以G是线段45的垂直平分线与线段A0的■平分线的交点,A8的垂直 平分线方程为y+&f卜-藐片］ 令k°‘得\"茄匕’即《煮’斗所以|64=高一1=彩 12（/rr + l） 所以产\'=3〃?：+4 =U = 4. GF2 3\" + 3 23/n+4 3 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数，方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为关于变埼川的表达式，进 而求证得到定值.
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