2023年12月3日发(作者：初一数学试卷在线答题)

2011年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕

理科数学

一、选择题 〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

x,x0,1.设函数f(x)2

若f()4,则实数= 〔 〕x,x0.A.4或2 B.4或2 C.2或4 D.2或2

【测量目标】分段函数.

【考查方式】已知分段函数的解析式，给出定值求出此时自变量的值.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】当0时，f()4,4； 当0时，f()24,2.

2.把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，假设z1i,则(1z)z= 〔 〕

A.3i B.3+i C.1+3i D.3

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】给出复数，结合共轭复数的特点，求出关于复数的代数运算.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】∵z1i，∴z1i，∴(1z)z(11i)(1i)3i.

3.假设某几何体的三视图如下图，则这个几何体的直观图可以是 〔 〕

第3题图

A B C D

【测量目标】平面图形的直观图与三视图.

【考查方式】直接给出三视图，求其直观图.

【难易程度】容易

【参考答案】D

【试题解析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项.

4.以下命题中错误的选项是

( )

A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

C.如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面

D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

【测量目标】面面垂直的判定和面面平行的判定.

【考查方式】已知面面之间的关系，判断结果正误.

【难易程度】中等

【参考答案】D

【试题解析】假设这条线是平面和平面的交线l，则交线l在平面内，明显可得交线l在平面内，所以交线l不可能垂直于平面，平面内所有直线都垂直于平面是错误的.

x2y5＞05.设实数x,y满足不等式组2xy7＞0,假设x,y为整数，则3x4y的最小值是

x0，y0.〔 〕

A.14 B.16 C.17 D.19

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】已知不等式组，求出目标函数的最值.

【难易程度】中等

【参考答案】B

【试题解析】可行域如下图

第5题图 联立x2y50x33，解之得，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为，42xy70y1∴当z3x4y过点〔4，1〕时，有最小值16.

6.假设0＜＜π3πππ1，＜＜0，cos()，cos()，则cos()42322432

A.33536 B. C. D.3399

【测量目标】两角和与差的余弦.

【考查方式】给出两个余弦角的值和角度的范围，通过与所求角余弦的关系，求出结果.

【难易程度】中等

【参考答案】C

【试题解析】∵cos(π22π3π1π∴sin()，又∵cos()，)，0，43423432π6πππ〔步骤1〕∴cos()cos[()()]＝0，∴sin()423224421322653ππππ＝.〔步骤2〕

cos()cos()sin()sin()＝333394424427.假设a,b为实数，则“0＜ab＜1”是a＜或b＞1b1的 〔 〕

aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【测量目标】充分、必要条件.

【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.

【难易程度】容易

【参考答案】A

1成立；〔步骤1〕 当b111a0,b0时，两边同除以a可得b成立，∴“0ab1”是“a或b”的充分条aba11件，由a或b得不到0ab1.〔步骤2〕

ba【试题解析】当a0,b0时，由0ab1两边同除b可得ax2y2y221有公共的焦点，C2的一条渐8.已知椭圆C1:221(a＞b＞0)与双曲线C2:xab4近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，假设C1恰好将线段AB三等分，则 〔 〕 A.a2131 B.a213 C.b2 D.b22

22【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.

【考查方式】给出双曲线的方程，通过与椭圆的几何关系，求出椭圆的长轴和短轴.

【难易程度】中等

【参考答案】C

y2【试题解析】由双曲线x＝1知渐近线方程为y2x，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，

4222∴椭圆方程可化为bx＋b25y2＝b5b，联立直线y2x与椭圆方程消y得，

22x2b5b2b25b22a2，〔步骤1〕又∵C1将线段AB三等分，∴122，5b22035b22022解之得b1.〔步骤2〕

29.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.假设将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

〔 〕

A.1234 B. C. D.5555

【测量目标】古典概型和组合数的应用.

【考查方式】根据题目不同书的摆放条件，通过组合的应用，求出概率.

【难易程度】中等

【参考答案】B

223222A2AAA22233A2A2【试题解析】由古典概型的概率公式得P1.

5A55（)cxbx1).记集合10.设a，b，c为实数，f(x)(xa)(xbxc),g(x)(ax1S=xf(x)0,xR,Txg(x)0,xR,假设S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则以下结论不．可．能．的22是

〔 〕

A.S=1且T=0 B.S1且T=1

C.S=2且T=2 D.S=2且T=3

【测量目标】集合的表示〔描述法〕和判断含参一元二次方程的解.

【考查方式】给出两个集合，参数不同的情况下，求出集合含有元素的个数.

【难易程度】较难

【参考答案】D 【试题解析】当abc0时，S1且

|T|0；〔步骤1〕 当a0且b4ac0时，2〔步骤2〕 当a0,b4ac0且bac(例如a=1 c=3,b=4)时，

S2S1且T1；2且T2. 〔步骤3〕

非选择题部分〔共100分〕

二、填空题：〔本大题共7小题，每题4分，共28分〕.

11.假设函数f(x)x2xa为偶函数，则实数a .

【测量目标】偶函数.

【考查方式】给出函数的解析式，利用偶函数的性质，求参数.

【难易程度】容易

【参考答案】0

【试题解析】∵f(x)为偶函数，∴f(x)f(x)，

即x|xa|(x)|xa|xaxa,∴a0.

12.假设某程序图如下图，则该程序运行后输出的k的值是 .

22

第12题图

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】已知程序框图，运行得出结果.

【难易程度】容易

【参考答案】5

【试题解析】k3时，a4＝64，b3＝81，ab；〔步骤1〕

〔步骤2〕

k4时，a44＝256，b44＝256，ab；34k5时，a45＝2564，b54＝625，ab.〔步骤3〕

13.设二项式(x是 .

a6)(a0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B，假设B=4A，则a的值

x【测量目标】二项式定理.

【考查方式】给出二项式，通过二项式定理和某项系数与常数项的关系，求出参数.

【难易程度】中等

【参考答案】2

36kakk6kk2【试题解析】由题意得Tk1C6x，

aC6xx24 ∴AaC6，BaC6，又∵B4A，〔步骤1〕

42∴aC6，解之得a4，又∵a0，∴a2.〔步骤2〕

4aC64224k214.假设平面向量α，β满足|α|1，|β|1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1，2则α与β的夹角的取值范围是 .

【测量目标】平面向量的夹角问题.

【考查方式】已知两个向量的模和它们在几何体中的关系，求出它们的夹角范围.

【难易程度】容易

【参考答案】

[,π5π]

661，∵2【试题解析】由题意得：sin1，1，∴sin121，

2又∵(0,π)，∴[,π5π].

6615.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得2，得到乙丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互31独立的.记X为该毕业生得到面试得公司个数.假设P(X0)，则随机变量X的数学期望12到甲公司面试的概率为E(X) .

【测量目标】离散型随机变量的期望.

【考查方式】题目给出已知条件，求出随机变量的数学期望.

【难易程度】中等

【参考答案】5

32211p，∴p.〔步骤1〕

31222【试题解析】∵

PX01221111∴PX12，

3232321115PX22，

323212211〔步骤2〕

PX3，326∴EX022211515123.〔步骤3〕

.设x,y为实数，假设4xyxy1,则2xy的最大值是 .

【测量目标】函数的最值.

【考查方式】利用给出的函数方程，求未知函数的最值.

【难易程度】中等

【参考答案】210

52222【试题解析】∵4xyxy1，∴(2xy)3xy1，即(2xy)32xy1，

2210.

5〔步骤1〕

∴(2xy)〔步骤2〕

232xy2()221，解之得：(2xy)22108，即552xyx2y21的焦点，点A,B在椭圆上，假设F1A5F2B;则点A的坐17.设F1,F2分别为椭圆3标是 .

【测量目标】椭圆的简单几何性质.

【考查方式】给出椭圆的标准方程和关于焦点向量的等式，求出坐标.

【难易程度】较难

【参考答案】0,1

【试题解析】设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B，又∵F1A5F2B，由椭圆的对称1，设Ax1,y1，Bx2,y2，性可得F〔步骤1〕

1A5BFx2c26y21的a3,b1,c2，e由于椭圆,F1(2,0).

3a33又∵F1A632632，

F1B，

x1x23232从而有：632632=5 〔步骤2〕

x1x23232x1,x23,x132320,x20,

22由于3即632632(x1)=5(x2) 〔步骤3〕

32323232x15(x2). ①

22又1 三点A,F1,B共线，F1A5BF(x1(2),y10)5(2x2,0y2)x125(2x2). ②

由①+②得：y11,∴点A的坐标为(0,1)或（0，-1）.〔步骤4〕

三、解答题;本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.〔此题总分值14分〕在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c.

已知sinAsinCpsinBpR,且ac〔Ⅰ〕当p12b.

45,b1时，求a,c的值；

4(Ⅱ)假设角B为锐角，求p的取值范围；

【测量目标】余弦定理、正弦定理.

【考查方式】给出三角形的角的相互关系和边的相互关系，利用正弦定理和余弦定理，求出题中未知量.

【难易程度】中等

51aca1a4 【试题解析】〔Ⅰ〕由题设并利用正弦定理，得解得

4.〔步骤1〕1或1cac4c14〔Ⅱ〕由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(ac)2ac2accosB

=p2b22121231bbcosB,即p2cosB,

2222 因为0cosB1,得p(,2)，由题设知p0，所以2326p2.〔步骤2〕

219.〔此题总分值14分〕已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(aR),设数列的前n项和为Sn，且111，，成等比数列.

a1a2a4； 〔1〕求数列{an}的通项公式及Sn〔2〕记An与Bn的大小.

11111111...，Bn，当n...S1S2S3Sna1a2a22a2n2时，试比较An【测量目标】等差数列和等比数列的性质与前n项和、不等式的性质和分类讨论思想.

【考查方式】已知等差数列的首项和前几项的关系，通过等差数列和等比数列的性质与前n项和公式，求出结果.

【难易程度】较难

【试题解析】〔Ⅰ〕设等差数列{an}的公差为d,由(1211),

a2a1a42 得(a1d)a1(a13d).因为d0,所以da1a

所以anna,Sn〔Ⅱ〕因为

Snan(n1)，〔步骤1〕

21211an(n1)(), ， 所以Snann12121(1).〔步骤2〕

Snan1An111S1S2S3n1因为a2n12a,所以

11()n1111122(11).

Bn...a1a2a22a2n1a11a2n2当nn012n2时，2CnCnCn...Cnn1，即1111n,

n12所以，当a＞0时，AnBn；当a＜0时，AnBn.〔步骤3〕

20.(此题总分值15分〕如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

〔Ⅰ〕证明：AP⊥BC；

〔Ⅱ〕在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？

假设存在，求出AM的长；假设不存在，请说明理由.

第20题图

【测量目标】空间向量的应用、二面角、余弦定理和线面垂直和面面垂直的判定.

【考查方式】已知三棱锥的棱长和三棱锥内有关线面的关系，利用线面垂直和面面垂直的判定和空间向量的应用，证明线线垂直和判断二面角为直二面角.

【难易程度】较难

【试题解析】方法一：

〔Ⅰ〕证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz

则O〔0,0,0〕，A〔0,3,0〕，B〔4,2,0〕，C〔4,2,0〕P〔0,0,4〕AP(0,3,4),BC(8,0,0),由此可得APBC0所以AP⊥BC，即AP⊥BC.〔步骤1〕

〔Ⅱ〕解：设PMPA,1,则PM(0,3,4),

BMBPPMBPPA

(4,2,4)(0,3,4)

(4,23,44),

AC(4,5,0),BC(8,0,0). 〔步骤2〕

设平面BMC的法向量n1(x1,y1,z1),

平面APC的法向量

n1(x2,y2,z2),

BMn10,由

BCn10,得4x1(23)y1(44)x10,

8x10,x10,23即可取n(0,1,),〔步骤3〕

23144z1y1,445xy2,2APn0,3y4z0,4222由即得可取n2(5,4,3),

ACn20,4x25y20,z23y2,4由n1n20，得43×2320解得，故AM=3

445综上所述，存在点M符合题意，AM=3.〔步骤4〕

第20题图 (1)

方法二：

〔Ⅰ〕证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,

又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.

因为PO∩AD=O，所以BC⊥平面PAD

故BC⊥PA.〔步骤1〕

〔Ⅱ〕解：如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM.

由〔Ⅰ〕中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.

又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.

在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=41

在Rt△POD中, PD2=PO2+OD2,

在Rt△PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.〔步骤2〕

在Rt△POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

PA2PB2AB21, 又cosBPA2PAPB3从而PMPBcosBPA2,所以AMPAPM3

综上所述，存在点M符合题意，AM=3.〔步骤3〕 第20题图〔2〕

221.〔此题总分值15分〕已知抛物线C1:x＝y，圆C2:x(y4)1的圆心为点M.

22〔Ⅰ〕求点M到抛物线C1的准线的距离；

〔Ⅱ〕已知点P是抛物线C1上一点〔异于原点〕，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，假设过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.

第21题图

【测量目标】抛物线和圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系.

【考查方式】已知抛物线和圆的方程、直线与圆的相切关系，利用直线与抛物线的位置关系和椭圆的几何性质，求出某点到抛物线的距离与直线的方程.

【难易程度】较难

【试题解析】〔Ⅰ〕由题意可知，抛物线的准线方程为：y距离是1,所以圆心M〔0,4〕到准线的417.〔步骤1〕

42 〔Ⅱ〕设P(x0, x02)，A〔x1,x1〕,B〔x2,x2〕，由题意得x00,x21,x1x2设过点P的2圆C2的切线方程为yx0=k(xx0)

2 即ykxkx0x0， ①

2 则|kx04x02|1k21〔步骤2〕

22222 即(x01)k2x0(4x0)k(x04)10. 设PA，PB的斜率为k1,k2(k1k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以

2x0(x024)(x024)21

k1k2，k1k2〔步骤3〕

22x01x01222 将①代入yx得xkxkx0x00，

由于x0是此方程的根，故x1k1x0,x2k2x0,

所以kAB2x0(x024)x024x12x22

x1x2k1k22x02x0，kMP2x1x2x01x0232x0(x024)x024x，解得

(2x)()1005x021x0〔步骤4〕

由MP⊥AB,得kABkMP即点P的坐标为(23233115,)，所以直线l的方程为yx4.〔步骤5〕

55115222.〔此题总分值14分〕设函数f(x)＝(xa)lnx，aR.

〔Ⅰ〕假设x＝e为yf(x)的极值点，求实数a；

〔Ⅱ〕求实数a的取值范围，使得对任意的x∈〔0,3e]，恒有f(x)注：e为自然对数的底数.

【测量目标】不等式的性质、利用导数求函数的极值，不等式的恒成立问题.

【考查方式】给出函数的解析式和某点的极值，利用不等式的性质和导数的性质，得出参数和证明不等式恒成立.

【难易程度】较难

4e成立.

2(xa)2a【试题解析】〔Ⅰ〕求导得f(x)=2(xa)lnx+=(xa)(2ln x+1).

xx 因为x=e是f(x)的极值点，所以f(e)=

ea3a0，解得ae

e或a3e，经检验，符合题意，所以ae 或a3e.〔步骤1〕

〔Ⅱ〕①当0x ②当1x1时，对于任意的实数a,恒有f(x)04e2成立，

4e2，

3e，由题意，首先有f(3e)(3ea)2ln(3e)解得3e2eln(3e)a3e2e〔步骤2〕

ln(3e)由〔Ⅰ〕知f(x)(xa)(2lnx1)，

axah(x)2lnx1，则h(1)1a0，h(a)2lna0，

xa3e3e2ln(3e)12eln(3e)

3e且h(3e)2ln(3e)1=2(ln3e1)0.〔步骤3〕

3ln(3e)又h(x)在〔0，+∞〕内单调递增，所以函数h(x)在〔0，+∞〕内有唯一零点，记此零点

为x0，则1x03e，1x0a.

从而，当x(0,x0)时，f(x)0；当x(x0,a)时，f(x)0；当x(a,)时，

f(x)0，即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减，在(a,)内单调递增.

所以要使f(x)4e2对x(1,3e]恒成立，只要

f(x0)(x0a)2lnx04e2,(1)

22f(3e)(3ea)ln(3e)4e,(2)成立.〔步骤4〕

h(x0)2lnx01a0，知a2x0lnx0x0〔3〕

x04e2，又x01，注意到函数x2ln3x在[1,+∞)内单调递增，23将〔3〕代入〔1〕得4x0lnx0故1x0e.再由〔3〕以及函数2xlnx+x在〔1,+∞)内单调递增，可得1a3e.〔步骤5〕由〔2〕解得，3e2eln(3e)a3e,

a3e2e.

ln(3e)所以,3e2eln(3e)综上，a的取值范围为3e2eln(3e)a3e.〔步骤6〕


更多推荐

平面,目标,方式,考查