组合数学第四版答案

2023年12月9日发(作者：下载免费初中数学试卷)

组合数学第四版答案

组合数学第四版答案

【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】

>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-

b|=5；（2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。所以这样的序列有90对。（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4

或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a-

b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。当此类推当

|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，

当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a

和b之间正好有3个女生的排列是多少？

所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若

(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为

pp

n

n

n?1m

(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m

个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。因此，共有n!?(m?1)!种可能。

(c)男生a和女生b排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此

有2！种可能，a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。共有组

合数为2!?(m?n?1)! 1.4题 26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数解：c（24，5）*13！

1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

1.7题试证：(n?1)(n?2)?(2n)被2n除尽。

n

证明：因(2n)!?2n!(2n?1)!!

(n?1)(n?2)?(2n)n!(n?1)(n?2)?(2n)(2n)!

(2n?1)!! nnn

2n!2n!2

因为(2n-1)!!是整数所以(n?1)(n?2)?(2n)能被2n除尽。

1．8题求10和20的公因数数目。

4

解：因为10?2*5?2*5*520?2*5?2*2*5

4030

它们最大公因子为2*5转化为求最大公因子能除尽的整数个数，能

除尽它的整数是 2a*5b,0??a??40,0??b??30

根据乘法法则，能除尽它的数个数为41*31=1271

2

1.9题试证n的正除数的数目是奇数。

2

证明：设有0?a?n,n?b?n2, 则一定有表达式n?a?b，

则可知符合范围的a和b必成对出现，所以为偶数。

22

又当a=b=n时，表达式n=a?b仍然成立。所以n的正除数的数目是―偶数?1‖为奇数。 1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:

证：对n用归纳法。

,0≤ai≤i,i＝1,2,…。

40

30

由假设对n-k!,命题成立，设

，其中ak≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设

, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}

(aj?bj)?j(bi?ai)?i!?ji?ibi?ai?i(bi?ai)?i! 矛盾，命题成立。

1.11题证明nc(n-1,r)= (r+1)c(n,r+1),并给予组合解释.

证：nc(n?1,r)?n

(n?1)!(r?1)?n!(r?1)?n!

(r?1)c(n,r?1)

r!?(n?r?1)!(r?1)?r!?(n?r?1)!(r?1)!?(n?r?1)!

所以左边等于右边

组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；

等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数相同。 1.12题证明等式： kc(n,k)?n2

k?1

n

n?1

n?1?n?n?1?n?1?n?1?n?1

n?n?nc(n?1,0)?c(n?1,1)?l?c(n?1,n?1)?n2?右边 ?? 证明：等式左边??n

k?1?k?1?k?1?k?1?s?0?s?

n

1.13题有n个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。

解题思路：（取法由大到小）

第1步：从n个数由大到小取一个数做为第一组，其它n-1个数为第二组，

组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}

第2步：从n个数由大到小取两个数做为第一组，其它n-2个数为第二组，

组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)} …

第n-2步：从n个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)} 第n-1步：从n个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c

（n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：

c(n,1)?{c(n?1,1)?c(n?1,2)c(n?1,n?1)}?c(n,2)?{c(n?2,1)?c(n?

2,2)c(n?2,n?2)}

c(n,n?2)?{c(2,1)?c(n,n?1)?c(1,1)}

1.14 题 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？

解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有c(3,1)种取法，

第2步从特定引擎一边的2个中取1个有c(2,1)种取法，

第3步从特定引擎对面的2个中取1个有c(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。所以共有c(3,1)?c(2,1)?c(2,1)=12种方案。

1.15题求1至1000000中0出现的次数。

解：当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；

当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为

10000，这样共有9999*10+1=99991个0；

同理第三位为0时，共有99901个0；第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；

第六位为0时，只有1个0；

这样总共的0数为：

100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。

1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。

解：如果用―o‖表示球，用―|‖表示分界线，就相当于用r-1个―|‖把n个―o‖分成r份，要求是每份至少有一个球。如下图所示：

00|00000000|00000000|00000|000000……

对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=c(n-1,r-1)。 1.18题 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？

5

解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有p5?5!。所以共有8*5！种排列。 8

a)1 111

b) 1 111

在a)中剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有8种 1.17题 n和r都是正整数，而且r?n，试证

下列等式： (a)p?np

rn

n?1r?1

(b)

1

pp

r

(n?r?1)p?r!?r(p

1

1

(c)

n?1r?1

p

nn?r

p

n?1r

,r?n

(d)

p

n?1r

p?rp

(e)

n?1

p

l? p

r

r?1

)

解：(a) n

(n?1)!n!

pr?1?n?(n?r)!?(n?r)!?

n?1

n

p

等式成立。

nn!n!

等式成立。 ??pr?1pr(n?r?1)!(n?r)!

n?1nnn(n?1)!n!

(c) pn?r(n?r?1)!(n?r)!pr等式成立。

n?rr

(b) (n?r?1)?(n?r?1)?

(d)

n!n!n!(n?r?1)n!(n?1)!?n!?r?r?n!(n?1)!

pr?rpr?1?(n?r)!?r?(n?r?1)!?(n?r?1)!?r?(n?r?1)!?(n?r?1)!?(n?1 ?r)!?

n

n

p

n?1r

(e)利用(d)的结论可证明本题。

r!?r(p

1

p n?1r?1

l?

p

r

r?1

)?

p

p?rp?rp?rp?l?rp?rp?p?rp?rp?l?rp?rp?p

r

r?1

r?1

r?1

rr

r

r?1r?1

r?2r?1

n?1r?1

n

r?1

r?1r

r?1r?1

r?2r?1

n?1r?1

1

r

rp

n

rp

n?1

l?rp r

n?1r

r?1

1.19题 n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试

问不存在两个1相邻的符号串的数目。解：m个0进行排列，留出

m+1个空挡，任选n 个空挡放1，共有c(m+1,n)种方案.

1.21题一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球，每次

从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的，试问

取第6个球是白球的概率。

解：c（6,2）*c(5,2)*c(5,3)/c(5,3)c(7,3)c(6,3)=3/14

1.20 题甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位

占4人，而且7人中男同志占5人，试问有多少中方案？

解：1.甲单位出4个男同志，乙单位出1个男同志，从乙单位出2

个女同志c(10,4)*c(15,1)*c(10,2)=141750 2. .甲单位出3个男同志，乙单位出2个男同志，从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。 c(10,3)*c(15,2)*c(4.1)*c(10,1)=504000

3. .甲单位出2个男同志，乙单位出3个男同志，从甲单位出2个女

同志. c(10,2)*c(15,3)*c(4,2)=122850 1+2+3即为所求，总的方案数

为768600 1.22题求图1-22中从o到p的路经数: (a) 路径必须经

过a点; (b) 路径必须过道路ab; (c) 路径必须过a和c(d) 道路ab

封锁(但a,b两点开放) 解: (a)分两步走o(0,0)→a(3,2)

a(3,2)→p(8,5)，根据乘法法则: ?3?2??3?5? n2??3560

3?2??4?3?(b)分两步走o(0,0)→a(3,2), b(4,2)→p(8,5)，根据乘法

法则:n350

2??3?

3?2??3?1??2?2?

(c)分三步走: o(0,0)→a(3,2), a(3,2)→c(6,3), c(6,3)→p(8,5), 根据

乘法法则: n?? ??2?1?2???240

（d）ab封锁路径数加必经ab路径数即o(0,0)→p(8,5)的

所有路径数有加法法则可得：

5?8??3?2??4?3?

n??

523???1287?350?937?

1.23题令s={1,2,…,n+1},n≥2,t={(x,y,z)|x,y,z∈s, xz, yz}, 试证 :|t|? ?n?1??n?1?2

k2?? k?1?2??3?

n

证明：要确定x,y,z的取值，有两种方法，

2

2

2

k

k?1

n

2

种可能。故|t|?

k

k?1

n 2

。

(2)由xz, yz，可以分为三种情况：

①x=yz,x,y可看作一个元素，这种情况等价于从1,2,…,n+1中取2

个进行组合，然后比较大小，小者为x(y),大者为z,其组合数为?

n?1?

； ?2?

n?1?

②xyz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合，然后比较大小可得x,y,z,其组合数为；

3?n?1?

③yxz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合，然后比较大小可得x,y,z,其组合数为。

3??

n?1??n?1??n?1?

所以满足题意的x,y,z的组合数为?n?1?+?n?1?+?

＝2??。 3??3?

2??32??

n?1??n?1?

由于这两种方法是等价的，故可得|t|??k22??。证毕。

k?1?2??3?

n

1.24题 a={(a, b)|a, b∈z, 0≤a≤9,0≤b≤5} (a) 求x-y平面上以a作顶点的长方形的数目. (b) 求x-y平面上以a作顶点的正方形数目.

解(b)：如下图(b)，网格左边是b的取值，下面是a的取值。网格里是x-y平面上对应每个顶点a(a,b)所得的正方形的数目。

1.26题s={1,2,……，1000}，a,b∈s,使ab≡0 mod 5,求数偶{a,b}的数目

解：根据题意，ab可以整除5，2*c（200，1）*1000=400000

1.25题平面上有15个点p1,p2。。。Ｐ15，其中p1p2p3p4p5共线，此外不存在3点共线的。(1)求至少过15个点中两点的直线的数目(2)求由15个点中3点组成的三角形的数目

解：1)由题意知：p1p2p3p4p5共线，此外不存在3点共线的，所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为：5*10=50。另外十个点两两相连得直线数目为：c102=45

又因为p1p2p3p4p5共线，所以可算作一条至少2点相连的直线所以至少过15个点中两点的直线的数目=50+45+1=96

2)有三种情况 a：没有p1p2p3p4p5这五个点的三角个数：

c103=120

b：有这五个点的其中一个点：5*c102 225 c：有着五个点的两个点：10*c52=100 由15个点中3点组成的三角形的数目=425 故数目为c(15,2)-c(5,2)+1

(b) c(5,0)c(10,3)+c(5,1)c(10,2)+c(5,2)c(10,1)

1.27 题 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，（1）女宾不相邻有多少种方案？（2）所有女宾在一起有多少种方案？（3）一女宾a和两位男宾相邻又有多少种方案？

解：（1）若5位女宾不相邻，先考虑6位男宾围圆桌而做的方案数，然后女宾插入 q（6，6）*6*5*4*3*2=86400（2）把5位女宾看成一个整体，然后插入 q（6，6）*6*p(5,5)=86400（3）c（5，1）*c（6，2）*q（8，8）=194000

c(5,1)*c(6,2)*c(5,2)*p(4,2)*7！

1.28题 k和n都是正整数，kn位来宾围着k张圆桌而坐，试求其方案数。

解：若每个圆桌的的人数相等，则每个桌子有n个人。因为圆周排列的个数为因此本题的结果为

p

r

(kn)!(kn)!

k。

n?n?nn 1.29 题从n个对象中取个r做圆排列，求其方案数目。1=r=n 解：c(n,r)*q（r,r）=c(n,r)*(r-1)!

1.31题试证任意r个相邻数的连乘：(n?1)(n?2)?(n?r) 被r！除尽.

【篇二：组合数学+卢开澄版++答案第四章】

x是群g的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m 为x

m

n

m?n

m

,等式右边x x＝x

nmm?n

，?ab?ba，即所有

的阶，试证：

c=｛e,x,x2, …,xm-1｝证：

x是g的元素，g满足封闭性所以，xk是g中的元素 c∈g

再证c是群：

xa∈c, (xa)-1= xb=xm-a

4.3设g是阶为n 的有限群，则g的所有元素的阶都不超过n.

证明：设g是阶为n 的有限群，a是g中的任意元素，a的阶素为k，则此题要证k?n

首先考察下列n+1个元素

a,a,a,a,..a..

234n?1

由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于g,，而g中仅有n 个元素，所

以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不

妨设为

a i

i

a

i

i?j

（1?j?n）

j

a

a?a

j

j

由群的性质3可知，a是单位元，即a=e，又由元素的阶数的定义

可知，当a为k阶元素时a=e，且k是满足上诉等式的最小正整数，由此可证k?j?n

k

4.4 若g是阶为n的循环群，求群g的母元素的数目，即g的元素

可表示a的幂：

a,a2……..an

所以群g中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个. 4.5

证明循环群的子群也是循环群

证明：设h是g=a的子群，若h=e,显然h是循环群，否则取h中

最小的正方幂元am，下面证明am是h的生成元,易见am?h，只要证明h中的任何元素都可以表成am的整数次方，由除法可知存在q

和r,使得l=qm+r,其中0?r?m-1,因此有ar=al?qm，因为am是h中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出

a l

=amq?{am}证明完毕。

4.6 若h是g的子群，x和y是g的元素，试证xh?yh或为空，或xh?yh 4.7若h是g的子群,|h|=k,试证：

|xh|=k 其中x?g.

证明：∵h是g的子群，x?g ∴|xh|≤k

如果|xh|k,则必存在a,b?h,使得xa=xb, 因为且x?g所以存在逆元x-1xa=x-1xb ∴a=b ∴|h|k 又∵|h|=k ∴|xh|=k

.4.8 有限群g的阶为n，h是g的子群，则h的阶必除尽g的阶。答案：已知|g|=n, |h|=|g|

m

r

设g={a0,an?1}， h={b0,bn?1}

因为h是g的子群，所以在h中的一个(bm)r一定在g中对应一个am使得

m

(b)?a

，

所以有brm?am，则rm一定是m的倍数，所以则h的阶必除尽g 的阶。

4．9 g是有限群，x是g的元素，则x的阶必除尽g的阶。

解：证：设|g|=g,则x,x2,x3,?,xg?1中必有相同元。设xk?xl,

1?k?l?g?1，则xl?k?e，1?l?k?g。

对于给定的x，存在最小的正整数r，使得xr?e。于是

h?{x,x2,x3,?,xr}是g 的子群，

若h?g，则?a?h，显然，h?ha??，h?ha?2r。若h?ha?g，则

2r?g,r|gr(k?1)?g

，否则?b?h?ha，hb?(h?ha)??。于是h?ha?hbg，，r|g。证毕。

4.10 若x和y在群g作用下属于同一等价类，则x所属的等价类ex，y所属的等价类ey有

|ex| = |ey|

解：因为x和y在群g作用下属于同一等价类，所以x和y在群g

作用下存在置换p1使x和y互相转变，即

ex = ey={x,y}

所以|ex| = |ey|。

置换群: 格式: (1)9 ,1个.(1)3(2)3,4个.(1) (4)2,2个.(1)(2)4,1个

=(36+24+4)/8=8

其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案.

4.12：试用burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。解：

图一

c1

……………………………………

如图： n个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共n!个。…………………………

旋转360/i，i={n,n-1,n-2,……1}；得到n种置换

当且仅当i=1的置换（即顺时针旋转360/1度：

p1=(c1)(c2)……(cn!);）

时有1阶循环存在（因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对

位置都发生了变化，所以不可能有1阶循环存在）。

不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据burnside引理，

所以一共有(n-1)!种排列。

4.13 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案，旋转使之重合作为相同处理

解：首先对每个顶点进行编号，分别为1，2，3，4，5，6，根据旋转的角度不同，共可以旋转6次，得到不同的旋转方式

c(1)=6 4??5? 6旋转0度： 1??1??23 旋转60度： 2??123456? c(1)=1 旋转120度：3??135??246?

c(1)=2 旋转180度：4??14??25??36? c(1)=3 旋转240度：

5??153??264? c(1)=2 旋转300度：6??165432? c(1)=1 所以g=6，根据polya定理，m=5，

l?11g

mc(1)?mc(2)?...?mc(6)?

612321

5?5?5?5?5?5??6

2635

故一共2635种涂色方案

4.15 对一个正六面体的8个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y，其余3个顶点用色r，求其方案数。

解：相当于4.7节中例2中求b5r3的系数，为

[c(8,5)+8c(2,1)]/24=3

【篇三：李凡长版组合数学课后习题答案习题4】1. 求下列数列的生成函数：（1）{0,1,16,81,…,n4,…}解：g{k}=

4

x(1?11x?11x2?x3)

5

（1?x）

3??4??n?3??（2）,??,?, 333??

n?3??1解：g??=??(1?x)4 n

（3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：a(x)=1+2x2+3x4+4x6+…=（（4）{1,k,k2,k3,…}

解：a(x)=1+kx+k2x2+k3x3+…=

1

. 1?kx12

）. 2 1?x

2. 求下列和式：（1）14+24+…+n4

解：由上面第一题可知，{n4}生成函数为

x(1?11x?11x2?x3)?k

axa(x)==， ?k5

（1?x）k?0

此处ak=k.令bn=1+2+…+n，则bn=?ak，由性质3即得数列{bn}的生

4

4

4

4

k?0n

i?5?i

x. 成函数为 b(x)= ?bnx==(x?11x?11x?x)i1?xi?1?n?0?

n

a(x)

234

比较等式两边xn的系数，便得

n?1?5??n?2?5??n?3?5??n?4?5?444

1+2+…+n=bn=11?n?2??11?n?3n?4? n?1 30

1

n(n?1)(6n3?9n2?n?1)

2x(1?x)

解：{ n(n+1)}的生成函数为a(x)=

kax=，此处ak= n(n+1). ?k3

k?0n k?0

函数为b(x)=

bnx=

n

n?0

a(x)1?x

=

2x(1?x)4

=2x??

k?3?k

x. ?k?k?0?

n

比较等式两边xn的系数，便得

24

n?2?n(n?1)(n?2)

n?13??

3. 利用生成函数求解下列递推关系：

f(n)?7f(n?1)?12f(n?2)（1）?;

f(0)?2,f(1)?7解：令a(x)=?f(n)xn

n?0?

则有a(x)-f(0)-f(1)x=

f(n)x=?(7f(n?1)?12f(n?2))x

n

n?2?

n?2

n

=7x?f(n)x?12x n

n?1

2

f(n)x

n?0

n

=7x(a(x)-f(0))-12xa(x).

将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得 ?

2?7x11nn

a(x)(3?4). ?2

1?7x?12x1?3x1?4xn?0

2

f(n)?3f(n?1)?5?3n

（2）?;

f(0)?0

解：令a(x)=?f(n)xn，则有

n?0?

a(x)-f(0)=

(3f(n?1)?5?3

n?1

n

)x=3x?f(n)x?15x?3nxn

n

n

n?0

n?0

15x(1?3x)2 11?3x

.

a(x)=

f(n)?2f(n?1)?f(n?2)（3）?;

f(0)?0,f(1)?1

解：令a(x)=?f(n)xn，则有

n?0?

a(x)-f(0)-f(1)x=?(2f(n?1)?f(n?2))x=2x?f(n)x?x

n

n

n?2

2

=2x(a(x)-f(0))+xa(x).

将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得a(x)?4. 设序列{an}的生成函数为：

x1?2x?x

2

2

n?1

f(n)x

n?0

n

.

4?3x

,但b0?a0,b1?a1?a0, 3

(1?x)(1?x?x)

……,bn?an?an?1,……,求序列{bn}的生成函数. n

解：由b0?a0,b1?a1?a0,……,bn?an?an?1,得?bk?an，所以

a(x)=

k?0

b(x)1?x

.

25

4?3x

，亦即序列{bn}的生成函数。 3

1?x?x3?9x

5. 已知生成函数,求对应的序列{an}. 2

1?x?56x

由此得b(x)=(1-x)a(x)= 解：

3?9x

2

1?8x1?7x1?x?56x8x?17x?1

nn

6. 有红,黄,蓝,白球各两个,绿,紫,黑球各3个,从中取出10个球,试问有多少种

不同的取法？

解：mr=my=mb=mw={0,1,2}，mg=mp=mh={0,1,2,3}，所以该取法的个数为

(1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3中x10的系数，为678.

7. 口袋中有白球5个,红球3个,黑球2个,每次从中取5个,问有多少种取法？解：mw={0,1,2,3,4,5}，mr={0,1,2,3}，mb={0,1,2}，所以从中取5个的取法个

数为(1+x+x2)(1+x+x2+x3) (1+x+x2+x3+x4+x5)中x5的系数，为12。

8. 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数,要求其中3和7出现的次数位 偶数,其它数字出现的次数无限制.

解：m1=m5 =m9={0,1,2,3,…}，m3 =m7={0,2,4,…}

该排列的生成函数为

)(1?x??...)3=(ex+e-x)2e3x=(e5x+e3x+ex)

2!4!2!44

xn1?nn

=?(5?2?3?1)

n!4n?0

=

5

2

=?5?

1

2?

1

所以an=

14

(5n?2?3n?1).

9. 用3个1,2个2,5个3这十个数字能构成多少个偶的四位数？

解：因要组成偶的四位数，所以个位必为2，然后确定其它三位的

排列即可.

m1={0,1,2,3}，m2 ={0,1}，m3={0,1,2,3,4,5}，故生成函数为

x2x3x2x5

(1?x)(1?x??)(1?x).

2!3!2!5!

x3

其中的系数为20，即可以组成20个偶的四位数。

3!

10. 求由a,b,c,d组成的允许重复的排列中ab至少出现一次的排列数目. 解：可把ab看作一个整体，用e表示，则

ma=mb=mc=md={0,1,2,…}，me={1,2,…}

x2x24

)(x)=e(4x)(e(x)-1)=e(5x)-e(4x)=5n-4n. 故有(1?x?2!2!

11. 从{n?a,n?b,n?c}中取出n个字母,要求a的个数为3的倍数,b

的个数是

偶数,问有多少种取法?

解：由题意可知，ma={0,3,6,…}，mb=mc={0,1,2,…}，该取法的生成函数为

1?x42136232

1?x1?x

12. 把正整数8写成三个非负整数之和，要求n1≤3,n2≤3,n3≤6.问有多少种

26

不同的方案？

解：由题意可知，m1=m2 ={0,1,2,3}，m3={0,1,2,3,...,6}，则生成函数为(1+x+x2+x3)2(1+x+x2+x3+ (x6)

1?x421?x71

1?x1?x(1?x)

8?2??4?2??1?2?

符合题意的方案数为x的系数，为2?22??1=13. 2

13. 在一个程序设计课程里,每个学生的每个任务最多可以运行10次.教员发

现某个任务共运行了38次.设有15名学生,每个学生对这一任务至

少做一次.求观察到的总次数的组合数.

解：m1=m2 =…=m15={1,2,3,…,10}，生成函数为

8