2024年1月23日发(作者：湖北省中职考试数学试卷)
七年级上册压轴题数学考试试卷及答案
一、压轴题
1．某商场在黄金周促销期间规定：商场内所有商品按标价的50%打折出售；同时，当顾客在该商场消费打折后的金额满一定数额，还可按如下方案抵扣相应金额：
说明：a,b表示在范围a～b中，可以取到a，不能取到b．
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠：打折优惠与抵扣优惠．
例如：购买标价为900元的商品，则打折后消费金额为450元，获得的抵扣金额为30元，总优惠额为：900150%30480元，实际付款420元．
(购买商品得到的优惠率请问：
购买商品获得的总优惠额100%)，
商品的标价1购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是多少元？
2购买一件商品，实际付款375元，那么它的标价为多少元？
3请直接写出，当顾客购买标价为______元的商品，可以得到最高优惠率为______．
2．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE的度数.
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．
3．阅读下列材料，并解决有关问题：
x(x0)我们知道，x0(x0)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如x(x0)化简式子|x1||x2|时，可令x10和x20，分别求得x1，x2（称1、2分别为|x1|与|x2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x1和x2可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：（1）x1；（2）1≤x2；（3）x≥2．从而化简代数式|x1||x2|可分为以下3种情况：
（1）当x1时，原式x1x22x1；
（2）当1≤x2时，原式x1x23；
（3）当x≥2时，原式x1x22x1
2x1(x1)综上所述：原式3(1x2)
2x1(x2)通过以上阅读，请你类比解决以下问题：
（1）填空：|x2|与|x4|的零点值分别为 ；
（2）化简式子x32x4．
4．如图，在数轴上从左往右依次有四个点A,B,C,D，其中点A,B,C表示的数分别是0,3,10，且CD2AB.
(1)点D表示的数是
；（直接写出结果）
(2)线段AB以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求t的值;
②线段AB上是否存在一点P，满足BDPA3PC?若存在，求出点P表示的数x；若不存在，请说明理由.
5．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c-7）2=0．
（1）a=______，b=______，c=______；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同
时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t的代数式表示）.
（4）直接写出点B为AC中点时的t的值.
6．如图，AB12cm，点C是线段AB上的一点，BC2AC.动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s 的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为ts. 当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动.
（1）求AC，BC；
（2）当t为何值时，APPQ；
（3）当t为何值时，P与Q第一次相遇；
（4）当t为何值时，PQ1cm.
7．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，b(a 请你用以上知识解决问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点． （1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒． ①当t=2时，求AB和AC的长度； ②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 8．如图，已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=30，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度； (3)动点Q从点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度? 9．已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB． （1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论； （2）设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）． 10．如图，数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)． 1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______； 2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； 3求当t为何值时，PQ1AB？ 24若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长． 11．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN． （1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数； （2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数； （3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小． 12．如图1，线段AB的长为a． （1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．） （2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数 恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长． （3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数． 13．已知：OC平分AOB，以O为端点作射线OD，OE平分AOD. （1）如图1，射线OD在AOB内部，BOD82，求COE的度数. （2）若射线OD绕点O旋转，BODα，（α为大于AOB的钝角），COEβ，其他条件不变，在这个过程中，探究α与β之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明. 14．已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为-2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC=n，则称点C叫做点A、B的“n节点”．例如图1所示：若点C表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C为点A、B的“4节点”． 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为-4，求n的值； （2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为______； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足BE=点”，求n的值． 1AE，且此时点E为点A、B的“n节2 15．问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ 探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律. 探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ 如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看： 边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有边长为2的正三角形一共有1个. 个； 探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ 如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有2的正三角形共有个. 个；边长为 探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ （仿照上述方法，写出探究过程） 结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ （仿照上述方法，写出探究过程） 应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个. 16．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列 x1，x2，x3．计算|x1|，x1x22，x1x2x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，212=12134=，所以，323数列2，-1，3的最佳值为1． 21；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研2东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳1．根据以上材料，回答下列问题： 2（1）数列-4，-3，1的最佳值为 值的最小值为（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）； （3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值． 17．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上。点A表示的数为—2，点B表示的数为1，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t（t>0）秒. （1）长方形的边AD长为 单位长度； （2）当三角形ADP面积为3时，求P点在数轴上表示的数是多少； （3）如图2，若动点Q以每秒3个单位长度的速度，从点A沿数轴向右匀速运动，与P点出发时间相同。那么当三角形BDQ，三角形BPC两者面积之差为间t 的值. 1时，直接写出运动时2120 (本题中的角均大于0且小于180) 18．已知AOB＝(1)如图1，在AOB内部作COD，若AOD＋BOC＝160，求COD的度数； (2)如图2，在AOB内部作COD，OE在AOD内，OF在BOC内，且DOE＝3AOE，COF3BOF，EOF7COD，求EOF的度数； 2 (3)射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6的速度旋转，时间为t秒(0t50且t30)．射线OM平分AOI，射线ON平分BOI，射线OP平分MON．若MOI3POI，则t 秒． 19．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数． 特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等． （1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为 °．图3中∠MON的度数为 °． 发现感悟 解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论： 小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数． 小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数． （2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数． 类比拓展 受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出 ∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数． （3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由． 20．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）设运动时间为t（t＞0）秒，数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；（2）若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题 1．(1)230元;(2) 790元或者810元;(3) 400，55%. 【解析】 【分析】 1可对照表格计算，500元的商品打折后为250元，再享受20元抵扣金额，即可得出实际付款； 2实际付款375元时，应考虑到20037520400与40037530600这两种情况的存在，所以分这两种情况讨论； 3根据优惠率的定义表示出四个范围的数据，进行比较即可得结果． 【详解】 解：1由题意可得：顾客的实际付款500500150%20230 故购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是230元． 2设商品标价为x元． 20037520400与40037530600两种情况都成立，于是分类讨论 1①抵扣金额为20元时，x20375，则x790 21②抵扣金额为30元时，x30375，则x810 2故当实际付款375元，那么它的标价为790元或者810元． 3设商品标价为x元，抵扣金额为b元，则 1xb1b 优惠率2100%x2x为了得到最高优惠率，则在每一范围内x均取最小值，可以得到20304050 40当商品标价为400元时，享受到最高的优惠率故答案为400，55% 【点睛】 1155% 220本题考查的是日常生活中的打折销售问题，运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量，明确等量关系列出方程是关键． 2．（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°. 【解析】 【分析】 （1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数； （2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度； （3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°． 【详解】 （1）如图，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°， ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=1∠BOC=35°， 2∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°； （2）∠DOE的大小不变，理由是： ∠DOE=∠COD+∠COE=1111∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=45°； 2222（3）∠DOE的大小发生变化情况为：如图③，则∠DOE为45°；如图④，则∠DOE为135°， 分两种情况：如图3所示， ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD=11∠AOC，∠COE=∠BOC， 221（∠AOC﹣∠BOC）=45°； 2∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD=11∠AOC，∠COE=∠BOC， 2211（∠AOC+∠BOC）=×270°=135°． 22∴∠DOE=∠COD+∠COE= 【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 3x5(x4)3．(1) x2和x4 ;(2) x11(4x3) 3x5(x3)【解析】 【分析】 （1）令x+2=0和x-4=0,求出x的值即可得出|x+2|和|x-4|的零点值, （2）零点值x=3和x=-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x＜-4、-4≤x＜3和x≥3．分该三种情况找出x32x4的值即可． 【详解】 解：（1）x2和x4, （2）由x30得x3,由x40得x4, ①当x4时,原式x32x43x5, ②当4≤x3时,原式x32x4x11, ③当x≥3时,原式x32x43x5, 3x5(x4)综上所述：原式x11(4x3), 3x5x3【点睛】 本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法. 4．（1）16；（2）①t的值为3或【解析】 【分析】 （1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D表示的数为16， （2）①当运动时间是t秒时，在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t, C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=AB上的点对x的值的限制. 【详解】 （1）16 （2）①在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t,C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t. 当BC＝2，点B在点C的右边时， 1431秒；②存在，P表示的数为. 3414秒时，满足BDPA3PC的点P, 注意P为线段310-t）2， 由题意得：BC32t-（解得：t＝3， 当AD=2，点A在点D的左边时， 由题意得：AD16-t-2t2， 解得：t＝14． 314秒 3综上，t的值为3或②存在，理由如下: 当t=3时，A点表示的数为6，B点表示的数为9，C点表示的数为7，D点表示的数为13. 则BD13-94，PAx-6，PC|x-7|， BD-PA3PC， 4-x-6|x-7|， 解得：x又3111或， 42P点在线段AB上，则6x9 x当t数为31. 414283716，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的时，A点表示的数为333334. 337343816-1，PAx-，PC|x-|， 3333则BDBD-PA3PC， ∴ 1-x-2816|x-|， 337917， 或126解得：x又2837x， 3331. 4 x无解 综上，P表示的数为【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t秒时点A、B、C、D所表示的数,(2)根据BDPA3PC列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程． 5．（1）-2；1；7；（2）4；（3）3+3t；9+5t；6+2t；（4）3. 【解析】 【分析】 （1）利用|a+2|+（c﹣7）2＝0，得a+2＝0，c﹣7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整 数，可得b＝1； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）分别写出点A、B、C表示的数为，用含t的代数式表示出AB、AC、BC即可； （4）由点B为AC中点，得到AB=BC，列方程，求解即可． 【详解】 （1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得：a＝﹣2，c＝7． ∵b是最小的正整数，∴b＝1． 故答案为﹣2，1，7． （2）（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4． 故答案为4． （3）点A表示的数为：－2－t，点B表示的数为：1+2t，点C表示的数为：7+4t，则AB＝t+2t+3＝3t+3，AC＝t+4t+9＝5t+9，BC＝2t+6． 故答案为3t+3，5t+9，2t+6． （4）∵点B为AC中点，∴AB=BC，∴3t+3=2t+6，解得：t=3． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 6．（1）AC=4cm, BC=8cm；(2)当t4时，APPQ；(3)当t2时，P与Q第一次相5 当t为，，时，PQ1cm. 遇；(4) 【解析】 【分析】 （1）由于AB=12cm，点C是线段AB上的一点，BC=2AC，则AC+BC=3AC=AB=12cm，依此即可求解； （2）分别表示出AP、PQ，然后根据等量关系AP=PQ列出方程求解即可； （3）当P与Q第一次相遇时由APACCQ得到关于t的方程，求解即可； （4）分相遇前、相遇后以及到达B点返回后相距1cm四种情况列出方程求解即可． 【详解】 （1）AC=4cm, BC=8cm. (2) 当APPQ时，AP3t,PQACAPCQ43tt, 即3t43tt,解得t所以当t35192244. 54时，APPQ. 5(3) 当P与Q第一次相遇时，APACCQ,即3t4t,解得t2. 所以当t2时，P与Q第一次相遇. 1cm,所以4t3t1或3t4t1，(4)因为点P,Q相距的路程为 解得t35或t， 2219， 4当P到达B点后时立即返回，点P,Q相距的路程为1cm， 则3t4t1122,解得t3519所以当t为，，时，PQ1cm. 224【点睛】 此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键． 7．（1）详见解析；（2）①16；②在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变 【解析】 【分析】 （1）根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可； （2）①当t=2时，先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长即可； ②先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长，代入3AC－4AB即可得到结论． 【详解】 （1）A，B，C三点的位置如图所示： ． （2）①当t=2时，A点表示的数为－4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴AB=5－(－4)=9，AC=12－(－4)=16． ②3AC－4AB的值不变． 当移动时间为t秒时，A点表示的数为－t－2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t＋6，则：AC=(3t＋6)－(－t－2)=4t＋8，AB=(2t＋1)－(－t－2)=3t＋3，∴3AC－4AB=3(4t＋8)－4(3t＋3)=12t＋24－12t－12=12． 即3AC﹣4AB的值为定值12，∴在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变． 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题．表示出对应点所表示的数是解答本题的关键． 8．（1）-20，10-5t；（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．（3）13秒或17秒 【解析】 【分析】 (1)根据已知可得B点表示的数为10-30；点P表示的数为10-5t； (2)分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN． (3) 分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可； 【详解】 解：（1））∵点A表示的数为10，B在A点左边，AB=30， ∴数轴上点B表示的数为10-30=-20； ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数为10-5t； 故答案为-20，10-5t； （2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时， ∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点， ∴MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=15； ②当点P运动到点B的左侧时： ∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点， ∴MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP）=AB=15， ∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为15． （3）若点P、Q同时出发，设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度． ①点P、Q相遇之前， 由题意得4+5t=30+3t，解得t=13； ②点P、Q相遇之后， 由题意得5t-4=30+3t，解得t=17． 答：若点P、Q同时出发，13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4； 【点睛】 本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 9．（1）见解析；（2）∠OQP=180°+【解析】 【试题分析】（1）分下面两种情况进行说明； ①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°， ②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， （2）分两种情况讨论，如图3和图4. 【试题解析】 （1）分两种情况： ①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°， 证明：∵四边形AOBP的内角和为（4﹣2）×180°=360°， 1111x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°． 2222 ∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO； ②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， 证明：延长AP交ON于点D， ∵∠ADB是△AOD的外角， ∴∠ADB=∠PAO+∠AOD， ∵∠APB是△PDB的外角， ∴∠APB=∠PDB+∠PBO， ∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO； （2）设∠MON=2m°，∠APB=2n°， ∵OC平分∠MON， ∴∠AOC=∠MON=m°， ∵PQ平分∠APB， ∴∠APQ=∠APB=n°， 分两种情况： 第一种情况：如图3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°① ∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°， ∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②， ①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°， ∴∠OQP=180°+x°﹣y°； 第二种情况：如图4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO， 即∠OQP+n°=m°+x°， ∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①， ∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， ∴2n°=2m°+x°+y°②， ①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°， ∴∠OQP=x°﹣y°， 综上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°． 10．（1）20,6；（2）43t，162t；（3）t2或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由数轴上两点距离先求得A，B两点间的距离，由中点公式可求线段AB的中点表示的数； （2）点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，向右为正，所以-4+3t； Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t. （3）由题意,PQ1AB表示出线段长度，可列方程求t的值； 2（4）由线段中点的性质可求MN的值不变． 【详解】 解：1点A表示的数为4，点B表示的数为16， A，B两点间的距离等于41620，线段AB的中点表示的数为故答案为20，6 4166 22点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点P表示的数为：43t， 点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 点Q表示的数为：162t， 故答案为43t，162t 3PQ1AB 243t162t10 t2或6 答：t2或6时，PQ1AB 24线段MN的长度不会变化， 点M为PA的中点，点N为PB的中点， PM11PA，PNPB 22 MNPMPN1PAPB 2MN1AB10 2【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键． 11．（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α． 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可． （2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题． （3）分两种情形分别讨论求解． 【详解】 （1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF ∴∠NEF＝11∠AEF，∠MEF＝∠BEF 221111∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB 2222∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∵∠AEB＝180° ∴∠MEN＝1×180°＝90° 2（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG ∴∠NEF＝11∠AEF，∠MEG＝∠BEG 221111∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG） 2222∴∠NEF+∠MEG＝∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30° ∴∠NEF+∠MEG＝1（180°﹣30°）＝75° 2∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105° （3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°， 若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α． 【点睛】 考查了角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 12．（1）详见解析；（2）35；（3）﹣5、15、11【解析】 26、﹣7． 37 【分析】 （1）根据尺规作图的方法按要求做出即可； （2）根据中点的定义及线段长度的计算求出； （3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置． 【详解】 解：（1）如图所示； （2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有 点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35 （3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则 t＝2MN235＝35（秒） 22那么甲在总的时间t内所运动的长度为 s＝5t＝5×35＝175 可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为 175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位． ①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有 5t1＝2t1+15，t1＝5（秒） 而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5 这时甲和乙所对应的有理数为﹣5． ②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2，有 5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒） 此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15 这时甲和乙所对应的有理数为15． ③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3，有 5t3﹣2t3＝20，t3＝20（秒） 3202202﹣15）＝11，乙的位置：20﹣（2×﹣5）＝11 33332 3此时甲的位置：30﹣（5×这时甲和乙所对应的有理数为11④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为t4，有 5t4﹣112216﹣30﹣15+2t4＝11，t4＝9（秒） 332126261616﹣45﹣11＝﹣7，乙的位置：11﹣2×9＝﹣7 373721216这时甲和乙所对应的有理数为﹣7． 7此时甲的位置：5×9 四次相遇所用时间为：5+10+（秒） 2016334+9＝31（秒），剩余运行时间为：35﹣31＝33777214525＝＝77当时间为35秒时，乙回到N点停止，甲在剩余的时间运行距离为5×3176． 766+17＝10，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、77位置在﹣71126、﹣7． 37 【点睛】 本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键． 13．(1)41°;(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得AOC∠COE=11AOB，AOEAOD，进而可得221AOBAOD，即可得答案；（2）分别讨论OA在∠BOD内部和外部的2情况，根据求得结果进行判断即可. 【详解】 （1）∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB，AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ====11AOBAOD 221AOBAOD 21BOD 21820 2=41° （2）与之间的数量关系发生变化， 如图，当OA在BOD内部， ∵射线OC平分AOB、 射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB,AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ===11AOBAOD 221AOBAOD 21 2 如图，当OA在BOD外部， ∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB,AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ====11AOBAOD 221AOBAOD 213600BOD 213600 20=1801 2 ∴与之间的数量关系发生变化. 【点睛】 本题考查角平分线的定义，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 14．（1）n= 8；（2）-2.5或2.5；（3）n=4或n=12． 【解析】 【分析】 （1）根据“n节点”的概念解答； （2）设点D表示的数为x，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答； （3）需要分类讨论：①当点E在BA延长线上时，②当点E在线段AB上时，③当点E在AB延长线上时，根据BE=【详解】 （1）∵A表示的数为-2，B表示的数为2，点C在数轴上表示的数为-4， ∴AC=2，BC=6， ∴n=AC+BC=2+6=8． （2）如图所示： 1AE，先求点E表示的数，再根据AC+BC=n，列方程可得结论． 2 ∵点D是数轴上点A、B的“5节点”， ∴AC+BC=5， ∵AB=4， ∴C在点A的左侧或在点A的右侧， 设点D表示的数为x，则AC+BC=5， ∴-2-x+2-x=5或x-2+x-（-2）=5， x=-2.5或2.5， ∴点D表示的数为2.5或-2.5； 故答案为-2.5或2.5； （3）分三种情况： ①当点E在BA延长线上时， ∵不能满足BE=1AE， 2∴该情况不符合题意，舍去； ②当点E在线段AB上时，可以满足BE=1AE，如下图， 2 n=AE+BE=AB=4； ③当点E在AB延长线上时， ∵BE=1AE， 2∴BE=AB=4， ∴点E表示的数为6， ∴n=AE+BE=8+4=12， 综上所述：n=4或n=12． 【点睛】 本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般． 15．探究三：16,6；结论：n²,【解析】 【分析】 探究三：模仿探究一、二即可解决问题； 结论：由探究一、二、三可得：将边长为边对应的等分点，边长为1的正三角形共有的正三角形共有应用：根据结论即可解决问题. 【详解】 解：探究三： 如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个； 边长为2的正三角形有结论： 连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个. 个； 的正三角形的三条边分别等分，连接各个；边长为2 ;应用：625，300. 个； 边长为2的正三角形，共有应用： 边长为1的正三角形有边长为2的正三角形有故答案为探究三：16,6；结论：n²,【点睛】 本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 16．（1）3；（2）【解析】 【分析】 （1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可； （2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|−3＋2|＝1，由此得出答案即可； （3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可． 【详解】 （1）因为|−4|＝4，=625（个）， （个）. ;应用：625，300. 个. 1；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10． 2-4-32＝3.5，-4-312＝3， 所以数列−4，−3，1的最佳值为3． 故答案为：3； （2）对于数列−4，−3，2，因为|−4|＝4，所以数列−4，−3，2的最佳值为432＝7|43＋2|5，＝， 2225； 2对于数列−4，2，−3，因为|−4|＝4，所以数列−4，2，−3的最佳值为1； 对于数列2，−4，−3，因为|2|＝2，|4＋2||43＋2|5＝1，＝， 222242＝1，|43＋2|5＝， 22所以数列2，−4，−3的最佳值为1； 对于数列2，−3，−4，因为|2|＝2，所以数列2，−3，−4的最佳值为232＝1|43＋2|5，＝， 2221 2 ∴数列的最佳值的最小值为232＝1， 2数列可以为：−3，2，−4或2，−3，−4． 故答案为：（3）当1，−3，2，−4或2，−3，−4． 2＝1，则a＝0或−4，不合题意； 2＋a2当9＋a2＝1，则a＝11或7； 当a＝7时，数列为−9，7，2，因为|−9|＝9，9＋72＝1，9＋722＝0， 所以数列2，−3，−4的最佳值为0，不符合题意； 当9＋7a2＝1，则a＝4或10． ∴a＝11或4或10． 【点睛】 此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键． 17．（1）4；（2）－3.5或－0.5；（3）t的值为【解析】 【分析】 （1）先求出AB的长，由长方形ABCD的面积为12，即可求出AD的长； （2）由三角形ADP面积为3，求出AP的长，然后分两种情况讨论：①点P在点A的左边；②点P在点A的右边． （3） 分两种情况讨论：①若Q在B的左边，则BQ= 3-3t．由|S△BDQ－S△BPC |=即可；②若Q在B的右边，则BQ= 3t－3．由|S△BDQ－S△BPC |=【详解】 （1）AB=1－（－2）=3． ∵长方形ABCD的面积为12，∴AB×AD=12，∴AD=12÷3=4． 故答案为：4． （2）三角形ADP面积为：解得：AP=1.5， 点P在点A的左边：-2-1.5=-3.5，P 点在数轴上表示-3.5； 点P在点A的右边：-2+1.5=-0.5，P 点在数轴上表示-0.5． 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5． （3）分两种情况讨论：①若Q在B的左边，则BQ=AB－AQ=3-3t． 11131311、、或． 1616881，解方程21，解方程即可． 211AP•AD=AP×4=3， 22 S△BDQ=1111BQ•AD=(33t)4=66t，S△BPC=BP•AD=t4=2t， 222211311，68t0.5，解得：t=或； 16162②若Q在B的右边，则BQ=AQ－AB=3t－3． (66t)2tS△BDQ=1111BQ•AD=(3t3)4=6t6，S△BPC=BP•AD=t4=2t， 222211311，4t60.5，解得：t=或． 88211131311、、或． 161688(6t6)2t综上所述：t的值为【点睛】 本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式． 18．（1）40º；（2）84º；（3）7.5或15或45 【解析】 【分析】 （1）利用角的和差进行计算便可； （2）设AOEx，则EOD3x，BOFy，通过角的和差列出方程解答便可； （3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可． 【详解】 解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD 又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120° ∴CODAODBOCAOB 160120 40 （2）DOE3AOE，COF3BOF 设AOEx，则EOD3x，BOFy 则COF3y， CODAQDBOCAOB4x4y120 EOFEODFOCCOD 3x3y4x4y120120xy EOF7COD 27(4x4y120) 2120(xy)xy36 EOF120(xy)84 （3）当OI在直线OA的上方时， 有∠MON=∠MOI+∠NOI=111（∠AOI+∠BOI））=∠AOB=×120°=60°， 2221×60°=30°， 2∵∠MOI=3∠POI， ∠PON=∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30）， 解得t=15或15； 2当OI在直线AO的下方时， 11（360°-∠AOB）═×240°=120°， 22∵∠MOI=3∠POI， 6t1206t120-60°）， ∴180°-3t=3（60°-）或180°-3t=3（22解得t=30或45， 15综上所述，满足条件的t的值为s或15s或30s或45s． 2【点睛】 ∠MON═此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的 应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解． 19．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣（45°﹣【解析】 【分析】 （1）由题意可得，∠MON＝得出答案； （2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案； （3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案. 【详解】 解：（1）图2中∠MON＝1x°）+x°+21x°）＝135°. 2111×90°+90°，∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD，即可2221×90°+90°＝135°；图3中∠MON＝21111∠AOC+∠BOD+∠COD＝（∠AOC+∠BOD）+90°＝90°+90°＝135°； 2222故答案为：135，135； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°， ∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线， ∴∠MOC+∠NOD＝111AOCBOD∠+∠＝（∠AOC+∠BOD）＝45°， 222∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°； （3）同意， 设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°， ∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线， ∴∠MOC＝∠BON＝111∠AOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°， 222111∠BOD＝（90°﹣x°）＝45°﹣x°， 22211x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°． 22∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣【点睛】 本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解. 20．（1）﹣4，6﹣5t；（2）①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【解析】 【分析】 （1）根据题意可先标出点A，然后根据B在A的左侧和它们之间的距离确定点B，由点P从点A出发向左以每秒5个单位长度匀速运动，表示出点P即可； （2）①由于点P和Q都是向左运动，故当P追上Q时相遇，根据P比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点P追上点Q之前，第二种是点P追上点Q之后. 【详解】 解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为5t， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣5t， 故答案为﹣4，6﹣5t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得5t＝10+3t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+3a﹣5a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+3a+8＝5a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点睛】 在数轴上找出点的位置并标出，结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解.
更多推荐
表示,数轴,长度,运动,问题,线段,情况
发布评论