2024年4月18日发(作者：诚信中学的数学试卷)
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５４ 数学通报 ２００８年 第４７卷 第７期
与魔方有关的数学问题
王怀昌
（山东省枣庄市第三中学 ２７７１００）
１ 问题
近日在教学过程中发现２００６全国百校联盟
高考调研卷中有这样一道题目
Ｈ ／ 。 ／ 厂 ／。
Ｃ
／ ／
／ ／ Ｅ
Ｂ／
，／
／ ／
Ｄ
／
Ｃ
７丘
圈１
如图１是电视广告中出现的一个魔方，魔方
由２７个单位小立方体组成，把魔方的中间一层
ＥＥ ＧＧ 一ＦＦ ＨＨ 转动ａ后，则魔方的表面积最
大值是 ．
本题目从实际人手，考查学生的视图能力、立
体感，以及转化问题的能力．
２ 问题解决
观察魔方，如图２一ｌ，它是由２７个单位小立
方体组成，它的表面积是５４．如果把魔方的中间
层转动ａ后，如图２—２，当ａ一４５。时，如图２—３，
“多出”的面积最多，“多出”的是一些全等的等腰
直角三角形，所以猜想此时面积最大．
■■■
图２
从正视图人手，如图３是两个中心重合边长
都为３的正方形，旋转４５。后，ＡＤ Ｊ＿ＢＣ，ＡＤ一
图３
ＤＥ一 ３
所以ＡＥ－－ 一号．
／ｋＡＢＣ为等腰直角三角形，所以其面积Ｓ—
ＡＥｚ一 ，
“多出”的面积是１６×ｓ一１０８—７２√２．
故魔方的表面积最大值是５４＋１０８—７２√２—
１６２—７２ ．
３ 推导过程
如图４—１，为了更好的理清关系，增加两个辅
助圆，无论怎么旋转，正方形的外接圆、内切圆固
定不变，如图４—２，进一步可以缩小研究空间，只
考虑一“角”的情况，如图５．
图４
问题可以转化为：
已知正方形ＡＢＣＤ，以Ｂ为圆心、ＢＣ为半径
在正方形中作圆弧，Ｅ为圆弧上的一点，过点Ｅ
的切线交ＡＤ于点Ｆ、交ＣＤ于点Ｇ，证明：当Ｅ
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２００８年 第４７卷 第７期 数学通报 ５５
ｏ＜ ≤萼，解得当且仅当。一３ 半时，ｓ（ｎ）取
到最大值．
４探究推广发现结论
＼
图５
／
为弧的中点时．△ＤＧＦ的面积最大．
＼
＼ ＼ ／
由切线的知识可以得到ＡＦ—ＥＦ、ＣＧ—ＥＧ，
ＦＧ＝ＥＦ＋ＥＧ－－ Ｆ＋ＣＧ．所以直角三角形周长
图６ 图７
为ＡＤ＋ＣＤ一３．转化为周长是定值３的何种直
三块底面边长为３高为ｌ的正三棱柱，上下
角三角形的面积最大．
底面的中心穿到一起作为旋转轴，如果中间一层
可以设两直角边长分别为“、ｂ，其中０＜ｎ≤
转动ａ后，则它的表面积最大值是 ．（猜
则斜边为３一ａ—ｂ．利用勾股定理可以得到ｎ
想旋转６Ｏ。，如图６、图７．）
和ｂ的关系．（３一ｎ一６）。＝“。＋ｂ。整理可
类似地，将问题转化为，一个角为６Ｏ。周长为
３的哪种三角形面积最大．
得６一
设６Ｏ。角的两边长分别为ａ、６，则第三边为
三角形的面积ｓ＝ １ ｃｚ×６一 １ ｎ ｘ 三 ：
￣／ｎ ＋ｂ 一２ａｂｃｏｓ６０。＝￣／ｎ。＋６ 一ａｂ，
。＋６＋￣／口 ＋ｂ －－ａｂ一３，利用基本不等式
寻×
４
２ａ
ｎ
２－
一
－
０
３ａ，求Ｓ的最大值．
口＋６≥２￣／口６，＆。＋ｂ。≥２ａｂ（当且仅当ａ—ｂ
时．“：”成立）
２“ 一３ｎ
————— ＿
ｎ一０
３一ｎ＋ｂ＋￣／ｎ ＋ｂ。一ａｂ≥２√ｎ６＋
０
ｊ×［２（ａ
３）＋
Ｉ＿＝ ＝３
Ⅱ一Ｊ
ａｂ≤１
１
由于ｏ＜＆≤昙，Ⅱ一３＜ｏ，３一“＞ｏ
ｓ＝÷ｎ×ｂｓｉｎ６０。≤ （当且仅当正三角形
利用基本不等式得到２（３一 ）＋ ９＿ｌ≥
时，等号成立，此时面积最大）．
经过上面的讨论，有这样的结论：
２ ２／ （３ 毒 ６√２ｑ 一
１．如果三角形的周长为定值，且其中一角固
定值为Ａ，则当三角形是以Ａ为顶角的等腰三角
形时，面积最大．
则２（ 一３）＋— ≤一６ ，
２．如果等腰三角形的周长为定值，则当三角
ｓ㈩≤导×［９～６衄一 ．
形为等边三角形时，面积最大．
不等式中等号成立需要２（３一 ）一 ９
（上接第５３页）
在计算机上进行模拟实验、测量是数学实验
参考文献
的一种新的有效方法，这种方法简单，易于操作，
１杜锡录．初等数学能力训练，济南：山东科学技术出版
社，１９８７
效果好，它是我们探究、发现的重要途径之一．用
２郭璋，邱继勇．计算机辅助几何教学的三个原理．中学数学，
解析法证明几何题的优点是不必一题一法，而是
２００５。ｌｌ
多题一法，事半功倍．
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