2024年3月16日发(作者：番禺初中数学试卷)

大学数学公式

导数公式：

(tgx)

sec

2

x

(ctgx)

csc

2

x

(secx)

secxtgx

(cscx)

cscxctgx

(a

x

)

a

x

lna

1

(log

a

x)

xlna

基本积分表：

1

1x

2

1

(arccosx)



1x

2

1

(arctgx)

1x

2

1

(arcctgx)



1x

2

(arcsinx)

tgxdxlncosxC

ctgxdxlnsinxC

secxdxlnsecxtgxC

cscxdxlncscxctgxC

dx1x

arctgC

a

2

x

2

aa

dx1xa

x

2

a

2

2a

ln

xa

C

dx1ax

a

2

x

2

2a

ln

ax

C

dxx

arcsinC

a

2

x

2

a



dx

2

sec

cos

2

x

xdxtgxC

dx

2

csc

sin

2

x

xdxctgxC

secxtgxdxsecxC

cscxctgxdxcscxC

a

x

adx

lna

C

shxdxchxC

x

chxdxshxC

dx

ln(xx

2

a

2

)C

x

2

a

2

2

n

2

n1

I

n

sinxdx

cos

n

xdxI

n2

n

00

x

22

a

2

2222

xadx

2

xa

2

ln(xxa)C

x

22

a

2

2222

xadx

2

xa

2

lnxxaC

2

2

x

2

dx

x

a

2

x

2

a

arcsin

x

Ca

22a

三角函数的有理式积分：

2u1u

2

x2du

sinx，　cosx，　utg，　dx

2

1u

2

1u

2

1u

2

1

一些初等函数： 两个重要极限：

ee

2

e

x

e

x

双曲余弦:chx

2

shxe

x

e

x

双曲正切:thx

chx

e

x

e

x

双曲正弦:shx

arshxln(xx

2

1）

archxln(xx

2

1)

11x

arthxln

21x

xx

sinx

lim1

x0

x

1

lim(1)

x

e

x

x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

sin cos tg

-tgα

ctgα

ctg

-ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

tgα

-ctgα

ctgα

-sinα cosα

cosα

cosα

sinα

sinα

-sinα -ctgα -tgα

-cosα -tgα

-sinα -cosα tgα

-cosα -sinα ctgα

-cosα sinα

-sinα cosα

sinα cosα

-tgα

tgα

-ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(

)sin

cos

cos

sin

cos(

)cos

cos

sin

sin

tg

tg

tg(

)

1

tg

tg

ctg

ctg

1

ctg(

)

ctg

ctg

sin

sin

2sin

22



sin

sin

2cossin

22



cos

cos

2coscos

22



cos

cos

2sinsin

22

cos

2

·倍角公式：

sin2

2sin

cos

cos2

2cos

2

112sin

2

cos

2

sin

2

ctg

2

1

ctg2

2ctg

2tg

tg2

1tg

2

·半角公式：

sin3

3sin

4sin

3

cos3

4cos

3

3cos

3tg

tg

3

tg3

13tg

2

sin

tg

2





1cos



1cos

　　　　　　　　　　　　cos

222

2

1cos

1cos

sin



1cos

1cos

sin

　　ctg

1cos

sin

1cos

21cos

sin

1cos

·正弦定理：

abc

2R

·余弦定理：

c

2

a

2

b

2

2abcosC

sinAsinBsinC

·反三角函数性质：

arcsinx

2

arccosx　　　arctgx

2

arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)k(nk)(k)

C

n

uv

k0

n

u

(n)

vnu

(n1)

v

n(n1)

(n2)

n(n1)

(nk1)

(nk)(k)

uv



uv

uv

(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f

(

)(ba)

f(b)f(a)f

(

)

柯西中值定理：

F(b)F(a)F

(

)

曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

3

弧微分公式：ds1y

2

dx,其中y

tg

平均曲率：K

.

:从M点到M

点，切线斜率的倾角变化量；s：MM

弧长。

s

y



d

M点的曲率：Klim.

23

s0

sds

(1y

)

直线：K0;

1

半径为a的圆：K.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：

f(x)

a

b

ba

(y

0

y

1

y

n1

)

n

ba1

[(y

0

y

n

)y

1

y

n1

]

n2

ba

[(y

0

y

n

)2(y

2

y

4

y

n2

)4(y

1

y

3

y

n1

)]

3n

梯形法：

f(x)

a

b

抛物线法：

f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

mm

引力：Fk

1

2

2

,k为引力系数

r

b

1

函数的平均值：yf(x)dx

ba

a

1

均方根：f

2

(t)dt

ba

a

b

空间解析几何和向量代数：

4

空间两点的距离：dM

1

M

2

(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

(z

2

z

1

)

2

向量在轴上的投影：Prj

u

ABABcos

,

是AB与u轴的夹角。

Prj

u

(a

1

a

2

)Prja

1

Prja

2

ababcos

a

x

b

x

a

y

b

y

a

z

b

z

,是一个数量,

两向量之间的夹角：cos

i

caba

x

b

x

j

a

y

b

y

a

x

b

x

a

y

b

y

a

z

b

z

a

x

2

a

y

2

a

z

2

b

x

2

b

y

2

b

z

2

k

a

z

,cabsin

.例：线速度：vwr.

b

z

a

y

b

y

c

y

a

z

b

z

abccos

,

为锐角时，

c

z

a

x

向量的混合积：[abc](ab)cb

x

c

x

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(xx

0

)B(yy

0

)C(zz

0

)0，其中n{A,B,C},M

0

(x

0

,y

0

,z

0

)

2、一般方程：AxByCzD0

xyz

3、截距世方程：1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：d

Ax

0

By

0

Cz

0

D

A

2

B

2

C

2

xx

0

mt

xxyy

0

zz

0

空间直线的方程：

0

t,其中s{m,n,p};参数方程：

yy

0

nt

mnp

zzpt

0

二次曲面：

x

2

y

2

z

2

1、椭球面：

2

2

2

1

abc

x

2

y

2

2、抛物面：z（,p,q同号）

2p2q

3、双曲面：

x

2

y

2

z

2

单叶双曲面：

2

2

2

1

abc

x

2

y

2

z

2

双叶双曲面：

2

2

2

（马鞍面）1

abc

多元函数微分法及应用

5

全微分：dz

zzuuu

dxdy　　　dudxdydz

xyxyz

全微分的近似计算：zdzf

x

(x,y)xf

y

(x,y)y

多元复合函数的求导法：

dzzuzv

zf[u(t),v(t)]　　　　

dtutvt

zzuzv

zf[u(x,y),v(x,y)]　　　　

xuxvx

当uu(x,y)，vv(x,y)时，

uuvv

dudxdy　　　dvdxdy　

xyxy

隐函数的求导公式：

F

x

FF

dydyd

2

y

隐函数F(x,y)0，　　，　　

2

(

x

)＋(

x

)

dxF

y

xF

y

yF

y

dx

dx

F

y

F

zz

隐函数F(x,y,z)0，　

x

，　　

xF

z

yF

z

F

F(x,y,u,v)0

(F,G)

u

隐函数方程组：　　　J

G

G(x,y,u,v)0

(u,v)

u

u1(F,G)v1(F,G)

　　　　

xJ(x,v)xJ(u,x)

u1(F,G)v1(F,G)

　　　　

yJ(y,v)yJ(u,y)

微分法在几何上的应用：

F

v

F

u

G

G

u

v

F

v

G

v

x

(t)

xxyy

0

zz

0

空间曲线

y

(t)在点M(x

0

,y

0

,z

0

)处的切线方程：

0



(t

0

)

(t

0

)

(t

0

)

z

(t)

在点M处的法平面方程：

(t

0

)(xx

0

)

(t

0

)(yy

0

)

(t

0

)(zz

0

)0

F

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F(x,y,z)0

若空间曲线方程为：,则切向量T{,,

GGG

x

GG

G(x,y,z)0

yz

zx

曲面F(x,y,z)0上一点M(x

0

,y

0

,z

0

)，则：

1、过此点的法向量：n{F

x

(x

0

,y

0

,z

0

),F

y

(x

0

,y

0

,z

0

),F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)}

xx

0

yy

0

zz

0

3、过此点的法线方程：

F

x

(x

0

,y

0

,z

0

)F

y

(x

0

,y

0

,z

0

)F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)

F

y

G

y

}

方

2、过此点的切平面方程：F

x

(x

0

,y

0

,z

0

)(xx

0

)F

y

(x

0

,y

0

,z

0

)(yy

0

)F

z

(x

0

,y

0

,z

0

)(zz

0

)0

向导数与梯度：

6

fff

函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cos

sin

lxy

其中

为x轴到方向l的转角。

f

f

函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ij

xy



f



它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecos

isin

j，为l方向上的

l

单位向量。

f

是gradf(x,y)在l上的投影。

l

多元函数的极值及其求法：

设f

x

(x

0

,y

0

)f

y

(x

0

,y

0

)0，令：f

xx

(x

0

,y

0

)A,　f

xy

(x

0

,y

0

)B,　f

yy

(x

0

,y

0

)C

A0,(x

0

,y

0

)为极大值

2

ACB0时，

A0,(x

0

,y

0

)为极小值

2

则：值

ACB0时，　　　　　　无极

ACB

2

0时,　　　　　　　不确定

重积分及其应用：

DD



f(x,y)dxdy



f(rcos

,rsin

)rdrd

z

z

曲面zf(x,y)的面积A



1



dxdy



x

y

D

平面薄片的重心：x

M

x

M

2

2



x

(x,y)d

D



(x,y)d

D

D

,　　y

M

y

M



y

(x,y)d

D



(x,y)d

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴I

x



y

2

(x,y)d

,　　对于y轴I

y



x

2

(x,y)d

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{F

x

,F

y

,F

z

}，其中：

F

x

f



D

(x,y)xd

(xya)

222

2

，　　F

y

f



3

D

(x,y)yd

(xya)

222

2

，　　F

z

fa



3

D

(x,y)xd

(xya)

22

3

2

2

柱面坐标和球面坐标：

7

xrcos

柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz



F(r,

,z)rdrd

dz,

yrsin

,　　　





zz

其中：F(r,

,z)f(rcos

,rsin

,z)

xrsin

cos

2

球面坐标：

yrsin

sin

，　　dvrd

rsin

d

drrsin

drd

d

zrcos

2



r(

,

)

2

F(r,

,

)rsin

dr

0



f(x,y,z)dxdydz



F(r,

,

)rsin

drd

d

d

d

00

2

重心：x

1

M



x

dv,　　y

1

M



y

dv,　　z

1

M



z

dv，　　其中Mx



dv



转动惯量：I

x



(y

2

z

2

)

dv，　　I

y



(x

2

z

2

)

dv，　　I

z



(x

2

y

2

)

dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x

(t)

设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(

t

),则：

y

(t)

L

xt

22



f(x,y)ds

f[

(t),

(t)]

(t)

(t)dt　　(

)　　特殊情况：

y

(t)

8

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

x

(t)

设L的参数方程为，则：

y

(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dy

{P[

(t),

(t)]

(t)Q[

(t),

(t)]

(t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系：

PdxQdy

(Pcos

Qcos

)ds，其中

和

分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

QPQP

格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdy

PdxQdy



xyxy

DLDL

QP1

当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：A



dxdy

xdyydx

xy2

LD

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

QP

在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：

xy

(x,y)

QP

＝。注意奇点，如(0,0)，应

xy

u(x,y)

(x

0

,y

0

)

P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x

0

y

0

0。

曲面积分：

D

xy

22

对面积的曲面积分：



f(x,y,z)ds



f[x,y,z(x,y)]1z

x

(x,y)z

y

(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分：



P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：

号；



R(x,y,z)dxdy



R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正

D

xy

号；



P(x,y,z)dydz



P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正

D

yz



Q(x,y,z)dzdx



Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。

D

zx

两类曲面积分之间的关系：



PdydzQdzdxRdxdy



(Pcos

Qcos

Rcos

)ds



高斯公式：

9



(

PQR

)dv



PdydzQdzdxRdxdy



(Pcos

Qcos

Rcos

)ds

xyz



高斯公式的物理意义——通量与散度：

PQR

散度：div

,即：单位体积内所产生的流体质量，若div

0,则为消失...

xyz

通量：



Ands



A

n

ds



(Pcos

Qcos

Rcos

)ds，

因此，高斯公式又可写成：



divAdv



A

n

ds





斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：



(

RQPRQP

)dydz()dzdx()dxdy

PdxQdyRdz

yzzxxy

cos

y

Q

cos

z

R

dydzdzdxdxdycos



上式左端又可写成：



xyzx



PQRP

RQPRQP

空间曲线积分与路径无关的条件：，　，　

yzzxxy

ijk



旋度：rotA

xyz

PQR



向量场A沿有向闭曲线的环流量：

PdxQdyRdz

Atds



常数项级数：

1q

n

等比数列：1qq

q

1q

(n1)n

等差数列：123

n

2

111

调和级数：1

是发散的

23n

2n1

级数审敛法

：

10

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

1时，级数收敛

设：

lim

n

u

n

，则

1时，级数发散

n

1时，不确定

2、比值审敛法：

1时，级数收敛

U

n1

设：

lim，则

1时，级数发散

n

U

n

1时，不确定

3、定义法：

s

n

u

1

u

2

u

n

;lims

n

存在，则收敛；否则发散。

n

交错级数u

1

u

2

u

3

u

4

(或u

1

u

2

u

3

,u

n

0)的审敛法——莱布尼兹定理：

u

n

u

n1

如果交错级数满足su

1

,其余项r

n

的绝对值r

n

u

n1

。

limu0

，那么级数收敛且其和

n

n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u

1

u

2

u

n

，其中u

n

为任意实数；

(2)u

1

u

2

u

3

u

n

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(1)

n

调和级数：

n

发散，而

n

收敛；

1

　　级数：

n

2

收敛；

ｐ１时发散

1

　　p级数：　　

n

p

p1时收敛

函数展开成幂级数：

f



(x

0

)f

(n)

(x

0

)

2

函数展开成泰勒级数：f(x)f(x

0

)(xx

0

)(xx

0

)

(xx

0

)

n

2!n!

f

(n1)

(

)

余项：R

n

(xx

0

)

n1

,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR

n

0

n

(n1)!

f



(0)

2

f

(n)

(0)

n

x

0

0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f

(0)xx

x

2!n!

幂级数：

11

1

x1时，收敛于

1x

1xx

2

x

3

x

n

　　

x1时，发散

对于级数(3)a

0

a

1

x　a

2

x

2

a

n

x

n

，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

xR时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。

xR时不定

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

1

a

n1

，其中a

n

，a

n1

是(3)的系数，则

0时，R

n

a

n

时，R0

一些函数展开成幂级数：

m(m1)

2

m(m1)

(mn1)

n

x

x

　　　(1x1)

2!n!

x

3

x

5

x

2n1

n1

sinxx

(1)

　　　(x)

3!5!(2n1)!

(1x)

m

1mx

欧拉公式：

e

ix

e

ix

cosx

2

ix

ecosxisinx　　　或

ixix

ee

sinx

2

三角级数：

a

0

f(t)A

0

A

n

sin(n

t

n

)

(a

n

cosnxb

n

sinnx)

2

n1n1

其中，a

0

aA

0

，a

n

A

n

sin

n

，b

n

A

n

cos

n

，

tx。

正交性：1,sin

x

,cos

x

,sin2

x

,cos2

x

sin

nx

,cos

nx

任意两个不同项的乘积在[

,

]

上的积分＝0。

周期为

2l

的周期函数的傅立叶级数：

a

0

n

xn

x

f(x)

(a

n

cosb

n

sin)，周期2l

2

n1

ll

l

1n

x

dx　　　(n0,1,2

)

a

n

f(x)cos

ll

l

其中

l

b

1

f(x)sin

n

x

dx　　　(n1,2,3

)

n

l

l

l

12

傅立叶级数：

a

0

f(x)

(a

n

cosnxb

n

sinnx)，周期2

2

n1

1

(n0,1,2

)

a

n

f(x)cosnxdx　　　

其中

b

1

f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3

)

n

11

2

1

2

2

8

35

　

111

2



24

2

2

4

2

6

2

正弦级数：a

n

0，b

n

余弦级数：b

n

0，a

n

111

2

1

2

2

2

（相加）

6

234

111

2

1

2

2

2

（相减）

12

234

2

2

f(x)sinnxdx　　n1,2,3

　f(x)

b

0

n

sinnx是奇函数

0

f(x)cosnxdx　　n0,1,2

　f(x)

a

0

a

n

cosnx是偶函数

2

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y

f(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：

g(y)dy

f(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyy

f(x,y)

(x,y)，即写成的函数，解法：

dxx

ydydududxduy

设u，则ux，u

(u)，分离变量，积分后将代替u，

xdxdxdxx

(u)ux

齐次方程：一阶微分方程可以写成

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

P(x)dxP(x)dx

当Q(x)0时，为非齐次方程，y(

Q(x)e

dxC)e

dy

2、贝努力方程：P(x)yQ(x)y

n

，(n0,1)

dx

全微分方程：

13

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xy

u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)0时为齐次

d

2

ydy

P(x)Q(x)yf(x)，

dx

dx

2

f(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y



py

qy0，其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：()r

2

prq0，其中r

2

，r的系数及常数项恰好是(*)式中y



,y

,y的系数；

2、求出()式的两个根r

1

,r

2

3、根据r

1

,r

2

的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r

1

，r

2

的形式

两个不相等实根

(p4q0)

两个相等实根

(p4q0)

一对共轭复根

(p4q0)

2

2

2

(*)式的通解

yc

1

e

r

1

x

c

2

e

r

2

x

y(c

1

c

2

x)e

r

1

x

ye

x

(c

1

cos

xc

2

sin

x)

r

1

i

，r

2

i

4qp

2

p

，

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y



py

qyf(x)，p,q为常数

f(x)e

x

P

m

(x)型，

为常数；

f(x)e

x

[P

l

(x)cos

xP

n

(x)sin

x]型

14


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