2023年12月3日发(作者：临沂兰山一模数学试卷)
2013年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。
．．1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013—2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为
A。 39。6×102 B。 3。96×103 C. 3.96×104 D。 3。96×104
2。 的倒数是
A. B. C. D。
3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为
A。 B. C。 D。
4. 如图,直线,被直线所截，∥，∠1=∠2，若∠3=40°,则∠4等于
A。 40° B。 50°
C。 70° D. 80°
5。 如图,为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC,点E在BC上,并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m,EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m B. 40m
C。 30m D. 20m
6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
7。 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示:
时间（小时)
人数
5
10
6
15
7
20
8
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是
A. 6。2小时 B。 6.4小时 C. 6。5小时 D. 7小时
8。 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为，△APO的面积为,则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是
二、填空题(本题共16分,每小题4分）
1 9。 分解因式：=_________________
10。 请写出一个开口向上,并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________10
11。 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点,若AB=5,AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
12。 如图，在平面直角坐标系O中，已知直线：,双曲线。在上取点A1，过点A1作轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作轴的垂线交于点A2，请继续操作并探究:过点A2作轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作轴的垂线交于点A3，…，这样依次得到上的点A1，A2，A3，…，An,….记点An的横坐标为，若,则=__________,=__________；若要将上述操作无限次地进行下去,则不能取的值是__________
．．．三、解答题（本题共30分,每小题5分）
13。 如图，已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB，∠B=∠DAE。
求证：BC=AE。
14. 计算：。
15解不等式组：
16。 已知,求代数式的值。
17. 列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积.
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围;
(2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。
四、解答题(本题共20分，每小题5分）
19．如图,在□ABCD中,F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC,连结DE，CF。
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2)若AB=4,AD=6，∠B=60°，求DE的长。
20．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C,PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。
（1）求证：∠EPD=∠EDO
(2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。
2 21．第九届中国国际园林博览会（园博会)已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0。04平方千米，牡丹园面积为__________平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表）,发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
第七届
第八届
第九届
第十届
22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。
小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH,交FA，GB,HC,ED的延长线于点R，S，T,W，可得△RQF，△SMG，△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠）,则这个新的正方形的边长为__________；
(2)求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法,解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D,E，F作BC，AC，AB的垂线,得到等边△RPQ，若,则AD的长为__________.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
日均接待游客量
（万人次）
0.8
2.3
8(预计）
1。9（预计）
单日最多接待游客量
（万人次）
6
8.2
20（预计）
7.4(预计）
停车位数量
（个）
约3 000
约4 000
约10 500
约________
3 23．在平面直角坐标系O中，抛物线
（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B。
（1）求点A，B的坐标；
(2)设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式;
(3）若该抛物线在这一段位于直线的上方,并且在这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式。
24．在△ABC中，AB=AC,∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）;
（2）如图2，∠BCE=150°,∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明;
（3）在（2）的条件下，连结DE,若∠DEC=45°,求的值。
25．对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B,使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点.
已知点D（，)，E(0，—2)，F（，0)
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°,若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围;
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径的取值范围.
2012年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是
A． B． C． D．9
2． 首届中国(北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
4 3． 正十边形的每个外角等于
A．
C．
B．
D．
4． 右图是某个几何体的三视图,该几何体是
A．长方体
B．正方体
C．圆柱
D．三棱柱
5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物,1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是
A． B． C． D．
6． 如图，直线，交于点,射线平分，若，则等于
A．
C．
B．
D．
7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量（度）
120 140 160
户数
2 3 6
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
A．180，160 B．160，180 C．160,160
180
7
200
2
D．180,180
8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的
A．点 B．点 C．点 D．点
二、填空题(本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式: ．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置,设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边,，测得边离地面的高度，,则树高 ．
12．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点,点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为．当时，点的横坐标的所有可能值是 ；当点的横坐标为(为正整数）时， (用含的代数式表示．）
5 三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13．计算：。
14．解不等式组：
15．已知，求代数式的值．
16．已知：如图，点在同一条直线上，，
．
求证：.
17．如图，在平面直角坐标系中,函数的图象与一次函数的图象的交点为.
（1）求一次函数的解析式；
（2)设一次函数的图象与轴交于点,若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标．
18．列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
四、解答题(本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形中，对角线交于点,
．求的长和四边形的面积．
20．已知：如图，是的直径,是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点,连结．
（1）求证:与相切；
（2）连结并延长交于点，若,求的长．
21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加,2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．
北京市轨道交通已开通线路
相关数据统计表（截至2010年底）
（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据;
运营里程
开通时间 开通线路
（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？
(千米)
1号线
31
(3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到1971
2015这4年中,平均每年2号线
1984 23
需新增运营里程多少千米？
13号线
41
2003
22．操作与探究：
八通线
19
5号线
2007 28
（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移8号线
5
1个单位，得到点的对应点.
10号线
2008 25
机场线
28
6
4号线
2009 28
房山线
22
大兴线
22
亦庄线
请根据以上信息解答下列问题： 点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是,则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中,对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合,求点的坐标.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数
在和时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式;
（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点,求和的值;
（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分(含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2)中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
24．在中,，是的中点,是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段.
(1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点,请补全图形，并写出的度数；
(2) 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；
（3) 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。
25．在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为;
若,则点与点的“非常距离\"为。
例如：点,点，因为，所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）.
（1）已知点，为轴上的一个动点，
①若点与点的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点的坐标;
②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
(2)已知是直线上的一个动点，
①如图2,点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的
7 坐标；
②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”
的最小值及相应的点和点的坐标。
2012年北京中考数学试题答案
2012。6.25
一．选择题（每题4分）
1 2 3
B
10
-1
4
D
5
B
11
5.5
6
C
7
A
8
D D C
二．填空题(每题4分）
9
三．解答题（每题5分)
13. x>5
14. 略
15. （1）y=2x—2
（2） P（3，0)或(—1,0)
16. 设一片国槐树叶一年平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为(2x-4)毫克
由题意得:
整理，得：x=22
检验：将x=22带入x（2x-4）中，不等零，
则x=22为此方程的根。
答：一片国槐树叶一年平均滞尘量为22毫克。
四．解答题（每题5分）
19.证明：过D作DFAC于F
如图，因为，
、均为等腰直角三角形
DE=,
EF=DF=1，
CD=2DF=2，
CF=,
又BE=2，
AB=AE=2，
=
=×（3+)×3=
20.证明：
（1）连接OC,则OCCE，
,
由于为等腰三角形，则,
由垂径定理，得：CD=BD，
DE=DE
则
8
12
（3,0）或（4，0）
6n—3 即BE与相切；
（2）过D作DGAB于G
则
OB=9,，
OD=OB·=6，
OG=OD·=4，
由勾股定理,得：DG=,
AG=9+4=13,
BF=
21.（1） 228，图略；
（2）1000千米;
（3）82。75千米。
22. 0;;; F（1,4）
五．解答题（23题7分，24题7分，25题8分)
23。
(1)；
(2) m= —6;k= 4；
24.(1)；
(2);
(3) .
（1） ①B（0,2） 或（0，—2）；
②；
（2）①点C与点D的“非常距离\"的最小值为，C；
②点C与点E的“非常距离”的最小值为1, C， E。
2011年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号
1．本试卷共6页，共五道大题,25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
考2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须知
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
．．1．－错误!的绝对值是（ )
A．－错误! B．错误! C．－错误! D．错误!
2．我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575
9 306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为（ ）
A．66。6×107 B．0。666×108 C．6.66×108 D．6。66×107
3．下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．矩形
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，
A D
若AD＝1,BC＝3，则错误!的值为( ）
O
A．错误! B．错误! C．错误! D．错误B
!
C
5．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表:
区县
最高气温
大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山
32 32 30 32 30 32 29 32 30 32
则这10个区县该日最高气温的人数和中位数分别是（ )
A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，31
6．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球,这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到红球的概率为（ ）
A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!
7．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为（ ）
A．（3，－4) B．(3，4） C．(－3，－4) D．(－3,4）
C
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2,D是
AB边上的一个动点（不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线
E
交射线CA于点E．设AD＝x,CE＝y，则下列图象中，能表示
A D B
y与x的函数关系图象大致是（ ）
y
1
O 1 2
x
A．
y
1
O 1 2
x
B．
y
1
O 1 2
x
C．
y
1
O 1 2
x
D．
二、填空题(本题共16分，每小题4分）
9．若分式错误!的值为0，则x的值等于________．
10．分解因式：a3―10a2＋25a＝______________．
11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是__________．
12．在右表中,我们把第i行第j列的数记为aij（其中i,j都是不大a11 a12 a13 a14 a15
于5的正整数)，对于表中的每个数aij，规定如下:当i≥j时，a21 a22 a23 a24 a25
aij＝1；当i＜j时，aij＝0．例如:当i＝2，j＝1时，aij＝a21＝1．按a31 a32 a33 a34 a35
此规定，a13＝_____;表中的25个数中，共有_____个1;计算：a41 a42 a43 a44 a45
a11·ai1＋a12·ai2＋a13·ai3＋a14·ai4＋a15·ai5的值为________．
a51 a52 a53 a54 a55
三、解答题（本题共30分,每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式：4(x－1)＞5x－6．
15．已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a（a＋4b）－(a＋2b）(a－2b）的值．
16．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF,∠A＝∠F，AB＝FD．
E
求证:AE＝FC．
F
!的图17．如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝错误
A C B
y
A
1
O
1
D
10
x 象的一个交点为A（－1,n）．
（1)求反比例函数y＝错误!的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点,且满足PA＝OA,直接写出点P的坐标．
18．列方程或方程组解应用题:
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行\"的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的错误!．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．
A
20．如图，在△ABC,AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝错误!∠CAB．
A
D
C B
(1）求证：直线BF是⊙O的切线;
D
(2）若AB＝5，sin∠CBF＝错误!，求BC和BF的长．
C
E
O
21．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．
E
北京市2001～2010年 北京市2001B
～2010年
F
私人轿车拥有量的年增长率统计图 私人轿车拥有量统计图
年增长率/%
30
25
20
15
10
5
0
25
22
21
19
2006 2007 2008 2009 2010
27
轿车拥有量/万辆
300 276
250
217
200
150
121
146
100
50
0
年份 2006 2007 2008 2009 2010 年份
请根据以上信息解答下列问题：
（1)2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）?
（2)补全条形统计图；
(3)汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为1.6L的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年,它碳排放量约为2。7吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示．
排量（L)
数量(辆)
小于1.6 1。6 1。8 大于1.8
29 75 31 15
如果按照小明的统计数据,请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为1。6L的这类私人轿车(假设每辆车平均一行行驶1万千米)的碳排放总量约为多少万吨?
22．阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题：如图1,在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
11 A
O
B
D A
O
C B
D
图1 图2
C E
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
A
请你回答：图2中△BDE的面积等于____________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．
F E
（1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF
的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹）;
B D C
(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为
图3
三边长的三角形的面积等于_______．
五、解答题（本题共22分）
23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3（m＞0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧),与y轴交于点C．
y
（1)求点A的坐标；
5
（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；
(3）已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m―3)x―－3
O 3 x
3(m＞0)的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．
24．(7分)在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直－5
线DC于点F．
(1)在图1中,证明：CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数．
A D A D A D
B
图1
E
C
F
B E
G
图2
C
F
B E
G
图3
C
F
25．(7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段）．已知A(－1,0),B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
（1）求两条射线AE、BF所在直线的距离；
12 (2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；
当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
(3）已知□AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．
y
2011年北京中考数学试题答案
23.选择题
D
F
B x
A
1.D 2。 C 3。D 4. B 5。 A 6。 B 7. A 8。 B
O
24.填空题
9。8 10. 11。 圆柱 12. 0 ；15 ;1
25.计算题
(3) 14. x〈2 15。 0 16. （SAS)
25.（1） （2)P（, 0 ） 或P(—2 ， 0 )
18。 x = 27km/h
19.
16、（1)略 （2） BC=2, BF=20/3
17、（1）174 (2) 略 （3） 372。6
18、 1
（1）（2) 3/4
19、(1) A(—1 ， 0 ） （2)m=1 （3）y= -2x+1
20、(2）, 为等腰直角三角形，；
（3) ， 为等边三角形，。
21、（1）
（2）-1〈b<1或b=； 1〈b<
(3)
E
2010年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题 （本题共32分,每小题4分)
1。 2的倒数是（ )
（A) （B) (C) 2 (D） 2.
2。 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验 “火星—500\"正式启动.包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的 “火星之旅\"。将12480用科学记数法表示应为 （ )
3543(A）12.4810 (B） 0.124810 (C） 1。24810 （D） 1.24810.
3. 如图,在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE//BC,若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ )
(A) 3 (B） 4 （C） 6 (D） 8。
4。 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ )
（A) 20 (B) 16 (C） 12 (D） 10。
D
5。 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数,取出的数是
B
3的倍数的概率是（ ）
(A） （B) (C) （D) 。
226. 将二次函数y=x2x3化为y=(xh)k的形式，结果为 （ )
2222(A） y=(x1)4 (B） y=(x1）4 (C) y=(x1)2 （D） y=(x1)2。
7. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位:cm)如下表所示：
13
A
E
C
甲队
乙对
队员1
177
170
队员2
176
175
队员3
175
173
队员4
172
174
队员5
175
183
设两队队员身高的平均数依次为，，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（ ）
（A） =，> (B) =，〈
（C) 〉，〉 (D) <，>。
8。 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开,用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型,然后放在桌面上，下面四个示意图中,只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
C
二、填空题 (本题共16分，每小题4分)
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________________。
B
A
E
O
210. 分解因式：m4m=_______________。
(A)
(B)
11. 如图，AB为圆O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连结OC，
D
若OC=5,CD=8，则AE=_______________。
12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D。请你按图中
B
C
D
A
箭头所指方向(即ABCDCBABC…的方式)从A开始
数连续的正整数1,2，3，4…，当数到12时，对应的字母是________;
当字母C第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第2n1次
(C) (D)
出现时(n为正整数），恰好数到的数是_________(用含n的代数式表示).
三、解答题 (本题共30分，每小题5分）
1013. 计算：2010｜4｜tan60.
14。 解分式方程=。
15。 已知：如图,点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD， FDAD，AE=DF，AB=DC. 求证：ACE=DBF.
E
F
216。 已知关于x的一元二次方程x4xm1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根.
17. 列方程或方程组解应用题：
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5。8亿立方米，其中居民家庭用D
A
C
水比生
B
产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.
y
18. 如图，直线y=2x3与x轴交于点A，与y轴交于点B.
B
(1） 求A、B两点的坐标；
(2） 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积。
1
x
四、解答题 (本题共20分，每小题5分）
A
O
19. 已知：如图，在梯形ABCD中,AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。求B的度数及AC的长.
A
D
20。 已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。
(1） 求证：直线AC是圆O的切线；
A
（2） 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
C
B
21. 根据北京市统计局的20062009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：D
20062009年北京全年市区空气质量
（1) 由统计图中的信息可知，北京全年
B C
达到二级和好于二级的天数统计图
市区空气质量达到二级和好于二级
天數
290
280
270
260
250
240
230
220
O
274
241
246
285
14 的天数与上一年相比，增加最多的
是______年,增加了______天；
(2) 表上是根据《中国环境发展报告
(2010)》公布的数据会置的2009年
十个城市供气质量达到二级和好于
二级的天数占全年天数百分比的统
计表，请将表1中的空缺部分补充
完整（精确到1%）
表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图
城市
百分比
北京 上海 天津 昆明 杭州 广州 南京 成都 沈阳 西宁
91％ 84％ 100% 89％ 95％ 86％ 86% 90％ 77％
（3) 根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，
2009年十个城市空气质量
达到二级和好于二级的天数
百分比不低于95%的为A组,不低于85%且低
占全年天數百分比分組统计图
于95%的为B组,低于85%的为C组。按此标
A組
准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分
20%
比为_________%；请你补全右边的扇形统计图。
22. 阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm。 现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少. 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E.
P3
P3
D
E
A1
A
D
A
P
P
请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1） P点第一次与D点重合前与边相碰_____次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是_________cm；
P2
P2
（2） 进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，B
B1
C
B
P1
C
按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的P1
圖1
圖2
的值为________________。 两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次,则AB：AD五、解答题 (本题共22分,第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23. 已知反比例函数y=的图像经过点A(，1)。
(1） 试确定此反比例函数的解析式；
（2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；
（3） 已知点P(m，m6)也在此反比例函数的图像上（其中m〈0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M. 若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n， 求2n2n9的值。
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n）在这条抛物线上.
(1） 求点B的坐标；
15 (2） 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动）
当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M,使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时,M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。
y
25. 问题：已知△ABC中,BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA, 探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1) 当BAC=90时,依问题中的条件补全右图。
x
1
观察图形，AB与AC的数量关系为_________；
O
1
当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为____________；
可得到DBC与ABC度数的比值为__________；
（2) 当BAC90时，请你画出图形,研究DBC与ABC度数的比值是否与（1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
B
2010年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题 1.A， 2.C， 3.D， 4.A, 5。B， 6.D， 7。B， 8。B，
二、填空题 9. x， 10. m(m2)（m2）， 11. 2， 12. B、603、6n3;
A
C
三、解答题
13。 解:原式=314=23。
14. 解：去分母，得32x=x2。整理，得3x=5.解得x=。经检验，x=是原方程式的解。
所以原方程式的解是x=.
15. 证明：∵AB=DC,∴AC=DB，∵EAAD，FDAD,∴A=D=90。在△EAC与△FDB中，
∵EA=FD，A=D，AC=DB，∴△EAC△FDB，∴ACE=DBF。
216. 解：由题意可知=0，即)(4)4（m1）=0，解得m=5。当m=5时，
2 原方程化为x4x4=0。解得x1=x2=2。所以原方程的根为x1=x2=2.
17。 解法一：设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水（5.8x）亿立方米，依题意，得
5。8x=3x0.6，解得x=1。3，5.8x=5.81.3=4。5。
答:生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4。5亿立方米
解法二：设生产运营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米，依题意，得,
解这个方程组，得x=1.3，y=4。5。
答：生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米。
18。 解：(1） 令y=0，得x= 。∴A点坐标为(，0）.令x=0,得y=3。∴B点坐标为(0，3)。
（2） 设P点坐标为（x,0），依题意，得x=3，∴P点坐标分别为P1（3，0）或P2(3，0)。
16 ∴=(3）3=，=（3)3=，∴△ABP的面积为或。
四、解答题
19。 解法一：分别作AFBC，DGBC，F、G是垂足.
A
D
∴AFB=DGC=90，∵AD//BC，∴四边形AFGD是矩形。
∴AF=DG，∵AB=DC，∴Rt△AFBRt△DGC。∴BF=CG，
∵AD=2，BC=4，∴BF=1，在Rt△AFB中，∵cosB==，
C
B
F
G
∴B=60，∵BF=1,∴AF=，∵FC=3,由勾股定理，
图1
得AC=2，∴B=60，AC=2。
解法二：
A
D
过A点作AE//DC交BC于点E，∵AD//BC，∴四边形
AECD是平行四边形。∴AD=EC,AE=DC，
∵AB=DC=AD=2，BC=4，∴AE=BE=EC=AB。
可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形,
C
B
E
∴BAC=90，B=60.在Rt△ABC中,
图2
AC=ABtan60=2，，∴B=60，AC=2。
A
20。 (1） 证明：∵OD=OC，DOC=90，∴ODC=OCD=45，
D
∵DOC=2ACD=90，∴ACD=45，∴ACDOCD=OCA=90，
B C
∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线。
E
(2) 解：∵OD=OC=2，DOC=90，可求CD=2，∵ACB=75,
O
ACD=45，∴BCD=30，作DEBC于点E，∴DEC=90,
∴DE=DCsin30=，∵B=45，∴DB=2.
21. 解：（1) 2008；28； (2） 78％； （3) 30；
22。 解:(1) 5; （2） 24；解题思路示意图：
A1
D1
D
A2
A
五、解答题:
23. 解：(1) 由题意得1=，解得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；
(2) 过点A作x轴的垂线交x轴于点C，在Rt△AOC中，OC=，
AC=1，可得OA==2，AOC=30，由题意，AOB=30，
y
B
B2
C
BC1
1
OB=OA=2,∴BOC=60，过点B作x轴的垂线交x轴于点D。
在Rt△BOD中,可得BD=,OD=1，∴B点坐标为（1，)，
B
A
将x= 1代入y= 中,得y=,∴点B（1，)在反比例函
x
数y= 的图像上。
C D
O
（3） 由y= 得xy= ，∵点P(m，m6）在反比例函数y= 的图像上，其中m〈0，
2 ∴m(m6）= ，∴m2m1=0，∵PQx轴，∴Q点的坐标为（m，n）。
2222 ∵△OQM的面积是,∴OMQM=，∵m〈0，∴mn= 1，∴mn2mnn=0，
22 ∴n2n= 1,∴n2n9=8。
22224。 解：(1) ∵拋物线y= xxm3m2经过原点，∴m3m2=0,解得m1=1，m2=2，
2 由题意知m1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= xx,∵点B（2，n）在拋物线
2 y= xx上，∴n=4,∴B点的坐标为(2，4）。
y
D
（2） 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为
y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的
C
坐标为(10，0),设P点的坐标为(a，0），则E点的坐标为
E
B
（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。可求
A
x
得点C的坐标为（3a，2a)，由C点在拋物线上，得
O
P
图1
17 2a= (3a)3a,即aa=0，解得a1=，a2=0
（舍去）,∴OP=。
依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2xb，由点A(10，0)，
点B(2，4），求得直线AB的解析式为y= x5，当P点运动到t秒时,两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三
角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，
∴t4t2t=10，∴t=。
第二种情况:PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三
角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=102t，∵F点在
直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t2t2t=10，∴t=2。
第三种情况:点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t2t=10，∴t=。综上，符合题意的
y
D
t值分别为，2, .
y
D
y
D
25. 解：(1） 相等；15；1：3。
E
B
C
M
M
E
M C
B
（2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与(1）中结论相同.
F
B
(C)
A x
N
(E)
证明：如图2,作O
KCA=过B点作BK//AC交CK于点K，N
F
x
N
B
P
BAC,Q
A
F
Q
P
是等腰梯形，O
2
连结DK。∵BAC图90，∴四边形ABKC
x
D
图3
O Q(P)
∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC,∵KCA=BAC，
A
C
图4
图1
∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ACB=6，
∵KCA=2ACB,∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，
K
6
B
∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，
4
1
2
∴BAC=2ACB=12021，
∵1（601）（12021）2=180，∴2=21，
5
D
3
∴DBC与ABC度数的比值为1：3。
A
C
222009年北京高级中学中等学校招生考试
图2
数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1。 7的相反数是
A。 B。 C。 D.
2。 改革开放以来,我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。将300670用科学记数法表示应为
A. B。 C。 D。
3。 若右图是某几何体的三视图,则这个几何体是
A.圆柱 B。正方体
C.球 D.圆锥
主视图 左视图 俯视图
18 4。 若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是。
A。10 B.9 C.8 D.6
5. 某班共有41名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是
A。 B。 C。 D.
6. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）:
这组数据的众数和中位数分别是
A B C D
7. 把分解因式,结果正确的是
A。 B. C。 D。
8。 如图,C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点, 且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=，DE=,下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是
二、填空题(本题共16分，每小题4分)
9。 不等式的解集是 .
10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=，则∠ABD= °。
11。 若把代数式化为的形式，其中为常数，则= 。
12. 如图,正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ； 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(,且n为整数)，则A′N= （用含有n的式子表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分)
13. 计算：
14. 解分式方程：
15。 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D，点E 在 AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F 。求证：AB=FC
16。 已知，求的值
17. 如图，A、B两点在函数的图象上.
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
18。 列方程或方程组解应用题:
北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计,2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次,地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次。在此期间，地面
公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?
四、解答题(本题共20分,第19题5分，第20题5分，第21题6分,第22题4分）
19。 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=,∠C=,
AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长.
20. 已知:如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证:AE与⊙O相切；
(2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径。
21.在每年年初召开的市人代会上,北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当
19 年预算情况。以下是根据2004—2008年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分.
表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位:亿元）
年份
2004 2005 2006 2007 2008
教育实际投入与预算的差值
14。6
7.3 6.7 5.7
请根据以上信息解答下列问题:
（1）请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；
(2）求2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数;
（3）已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元.在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？
22. 阅读下列材料:
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG。
请你参考小明的做法解决下列问题：
(1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示。请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2)如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）。
五、解答题(本题共22分，第23题7分,第24题8分，第25题7分）
23. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
(3)在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时,的取值范围.
24。 在中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究:
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1。判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2，将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。
（2）若AD=6,tanB=,AE=1，在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
25. 如图,在平面直角坐标系中，三个机战的坐标分别为，，，延长AC到点D，使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E。
(1）求D点的坐标;
（2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA
20 到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法,但不要求证明）
2009年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷参考答案
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7
答案
D B A B C B D
二、填空题
题号
9 10 11 12
答案 (，且为整数）
28
三、解答题
13．解：
．
14．解:去分母，得．
解得．
经检验，是原方程的解．
∴原方程的解是．
E
15．证明:∵于点，
∴．
D
B
∴．
又∵于点，
C
A
∴．
E
∴．
在和中,
∴．
∴．
16．解：
．
当时，
原式．
17．解：（1)由图象可知，函数(）的图象经过点，
可得．
设直线的解析式为．
y
∵，两点在函数的图象上，
∴ 解得
6
A
∴直线的解析式为．
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．
18．解法一：设轨道交通日均客运量为万人次，则地面公交日均客运量为万人次．
B
1
依题意,得．
6
O
1
解得．
．
8
A
x
21 答：轨道交通日均客运量为353万人次,地面公交日均客运量为1 343万人次．
解法二:设轨道交通日均客运量为万人次，地面公交日均客运量为万人次．
依题意，得
解得
答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．
四、解答题
19．解法一：
如图1,过点作于点．
∵，
∴．
可得四边形为矩形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵为中点，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
解法二：
如图2，延长交的延长线于点．
∵，
∴四边形为平行四边形，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
设，则，．
∴．
解得．
，
∴．
在中，，
∴．
20．(1）证明：连结,则．
∴．
∵平分．
∴．
A
D
E
B
G
C
图F
1
G
A
D
2
E
3
B
1
C
图F
2
C
M
E
G
2
A
F
1
3
O
B
22 ∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分线,
∴．
∴．
∴．
∴．
∴与相切．
(2）解：在中,，是角平分线，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
设的半径为，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半径为．
21．解：(1）
表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）
年份
教育实际投入与预算的差值
2004
8
2005
6。7
2006
5.7
2007
14。6
2008
7.3
（2）（亿元）．
所以2004-2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是亿元．
（3)(亿元）．
估计2009年市财政教育实际投入可能达到亿元．
22．解：
H
D
A
（1）拼接成的平行四边形是D
(如图3）．
P
（2)正确画出图形(如图4）
E
A
N
G
Q
平行四边形的面积为．
M
C
五、解答题:
B
C
F
23．解：（1）由题意得，．
B
∴．
图3
图4
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时,方程有两个非零的整数根．
综上所述,和不合题意，舍去；符合题意．
当时,二次函数为,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
y
8
6
4
23 （3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时,可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
24．解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1,设直线与直线的交点为．
∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，
∴．
∵,，
∴．
G1
∴．
∴．
F
∵，
G2
∴，
A
HP1
∴．
E
D
∴．
B
C
∴．
P2
∴．
图1
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
(2）∵四边形是平行四边形,
∴．
∵，
∴．
可得．
由(1）可得四边形为正方形．
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
G1
∵，
∴．
F
∴．
HP1
②如图3，当点在线段上（不与两点重合)时，
A
E
D
∵，
∴．
B
G1
C
图2
F
∴．③当点与点重合时，即时，不存在．
H
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
A
E
D
25．解：（1）∵，,
BP1
∴．
C
图3
设与轴交于点．
由可得．
又，
∴．
24 ∴，．
同理可得．
∴．
∴点的坐标为．
(2）由（1）可得点的坐标为．
由,
y
F
可得轴所在直线是线段的垂直平分线．
T
∴点关于直线的对称点在轴上．
M
D E
∴与互相垂直平分．
S
C
∴．
H
G
∴四边形为菱形，且点为其对称中心．
作直线．
1
设与分别交于点、点．可证．
A O
1
B
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴直线将四边形分成周长相等的两个四边形．
由点，点在直线上，
可得直线的解析式为．
（3）确定点位置的方法:过点作于点．则与轴的交点为所求的点．
由,
可得，
∴．
在中，．
∴点的坐标为．（或点的位置为线段的中点）
x
2008年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
一、选择题(共8道小题,每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目．．答案的相应字母处涂黑．
1．的绝对值等于（ ）
A． B． C． D．
2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．若两圆的半径分别是1cm和5cm,圆心距为6cm,则这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是(单位：元）:50，20，50，30，50，25,135．这组数据的众数和中位数分别是( )
A．50，20 B．50，30 C．50,50 D．135，50
25 5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图,有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃)、火炬和奖牌等四种不同的图案,背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物(福娃）的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点,点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行,回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( ）
O
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
O O
O
O
9．在函数中,自变量的取值范围是
P
．
P
P
P
P
M M
M
M
10．分解因式： ．
A
M
11．如图,在中，分别是的中点，
D．
B．
A．
C．
D
E
若，则 cm．
12．一组按规律排列的式子：，，,，…（），其中第7个式子是 ,第个式子是 （为B C
正整数)．
三、解答题（共5道小题，共25分)
13．（本小题满分5分)
计算:．
解：
14．(本小题满分5分）
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
15．(本小题满分5分）
0 1 2 3
已知：如图，为上一点,点分别在两侧．,，．
求证：．
A
证明：
C
E
16．（本小题满分5分) B
如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
解:
17．（本小题满分5分）
已知，求的值．
解:
四、解答题（共2道小题,共10分）
18．(本小题满分5分）
如图，在梯形中，，，，，,求的长．
解：
y
D
M
O
1
1
x
A
D
26
B
C 19．(本小题满分5分）
已知:如图，在中，,点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
C
（2）若,，求的长．
解：（1)
D
（2)
五、解答题（本题满分6分）
A
B
E
O
20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度\"（以下简称“限塑令”)．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分:
“限塑令”实施后，使用各种
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
“限塑令”实施前，平均一次购物使购物袋的人数分布统计图
处理方式
购物袋的人数统计图直接丢弃
直接做垃圾袋 再次购物使用 其它
用不同数量塑料．．其它
选该项的人数占
人数／位
5％ 35% 49％ 11％
5% 收费塑料购物袋
总人数的百分比
_______％
40
37
请你根据以上信息解答下列问题:
35
30
押金式环保袋（1）补全图26
1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这10025
位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑24%
20
15
料购物袋？
11
10 9
4
3
（2）补全图2,并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎5
．．．．．．．．．．．自备袋
0
样处理
1
,能对环境保护带来积极的影响．2 3 4 5 6 7
塑料袋数／个
46%
图2
图1
解：（1）
(2）
六、解答题（共2道小题，共9分)
21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
解：
22．(本小题满分4分)
已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点,,在矩形内或其边上,且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
A
（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角D
G
A
形)，点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；
(2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并
D
G
写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．B
E
F
C
图1
A
A
解：(1）重叠三角形的面积为 ;
（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为C
．
B
E
F
七、解答题（本题满分7分）
图2
B
C
备用图
B
C
备用图
27 23．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，(其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式;
（3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
（1）证明:
（2）解:
y
（3）解：
4
八、解答题（本题满分7分）
3
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标2
1
为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
x
-4 -3 -2 -1
O 1 3 4
2
（1）求直线及抛物线的解析式；
-1
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上,且，求点的坐标；
-2
-3
（3)连结,求与两角和的度数．
y
-4
解：（1)
4
（2）
3
（3）
2
九、解答题（本题满分8分)
1
25．请阅读下列材料：
x
-2 -1
O
1 2 3 4
问题：如图1，在菱形和菱形中,点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的-1
位置关系及的值．
-2
小聪同学的思路是:延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
C
D
C
D
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
P
G
F
P
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原G
F
B
A
E
1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的问题中的其他条件不变（如图2）．你在（A
B
猜想并加以证明．
图1
图2
E
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
解：(1）线段与的位置关系是 ； ．
（2)
2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．
2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．
3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分）
28 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B B B D
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号 9 10 11 12
答案 4
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
解：
·····································． ····································14．（本小题满分5分）
解：去括号，得． ·····························移项，得． ································合并，得． ································系数化为1，得． ·····························不等式的解集在数轴上表示如下：
·····································15．（本小题满分5分）
0 1 2 3
证明：，
． ····································在和中，
． ····································． ····································16．（本小题满分5分）
解:由图象可知，点在直线上, ························．
解得． ··································直线的解析式为． ·····························令，可得．
直线与轴的交点坐标为． ··························令,可得．
直线与轴的交点坐标为． ··························17．（本小题满分5分）
解：
·····································． ····································当时，． ·································原式． ··································四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
解法一：如图1,分别过点作于点，
分分分分分分分分分分分分分分分分分分分29
4
5
1
2
3
4
5
2
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5 于点． ·················· 1分
A
．
D
又，
四边形是矩形．
． ···················· 2分
B
C
E F
，，，
图1
．
．
，
····································· 4分
在中,，
． ···································· 5分
解法二：如图2，过点作，分别交于点． ··················· 1分
,
．
A
D
，
．
E
在中，，，，
B
C
····································· 2分
F
图2
在中，,,,
．
． ···································· 4分
在中，，
． ···································· 5分
19． (本小题满分5分）
解：（1)直线与相切． ··························· 1分
证明:如图1，连结．
,
．
, ．
C
又，
D
．
．
直线与相切． ······························· 2A
B
分
E
O
（2）解法一：如图1，连结．
图1
是的直径， ．
，
． ···································· 3分
，，
． ···································· 4分
, ． ································ 5分
解法二：如图2，过点作于点． ．
，
C
． ·············· 3分
D
30
H
A
O
图2
B ，，
． ····················· 4分
,
． ···································· 5分
五、解答题（本题满分6分）
解:（1）补全图1见下图． ························· 1分
“限塑令”实施前，平均一次购物使（个）．
用不同数量塑料购物袋的人数统计图
．．这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ·········· 3分
人数／位
．
40
37
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ············· 4分
35
30
26
（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为． ············ 5分
25
20
根据图表回答正确给1分,例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式15
11
10
环保袋，少用塑料购物袋;塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为9
10
4
3
5
环保做贡献． ······························· 6分
0
六、解答题（共2道小题，共9分）
3 4 5 6 1 2 7
塑料袋数／个
图1
21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米． ···························· 1分
依题意，得． ······························· 3分
解得． ·································· 4分
答:这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ·········· 5分
22．解：（1）重叠三角形的面积为． ····················· 1分
（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为; ················· 2分
的取值范围为． ······························ 4分
七、解答题（本题满分7分)
23．（1)证明:是关于的一元二次方程，
．
当时，，即．
方程有两个不相等的实数根． ························ 2分
(2)解：由求根公式，得．
或． ··································· 3分
，
．
,
，． ··································· 4分
．
即为所求． ·············· 5分
y
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出
4
与的图象．
3
··················· 6分
2
1
由图象可得，当时，． ········· 7分
x
-4 -3 -2 -1
O 1
2
3 4
八、解答题（本题满分7分）
-1
24．解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，
．
-2
-3
-4
31 设直线的解析式为．
在直线上,
．
解得．
直线的解析式为． ····························· 1分
抛物线过点，
解得
抛物线的解析式为． ···························· 2分
(2）由．
y
可得．
,，，．
4
可得是等腰直角三角形．
3
C
，．
P
2
如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，
E
1
A B
．
x
-2 -1
O
1 2 F 3 4
过点作于点．
-1
D
．
-2
可得,．
图1
在与中，，，
．
，．
解得．
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或． ······························ 5分
（3）解法一:如图2，作点关于轴的对称点，则．
连结,
可得,．
y
由勾股定理可得，．
4
又，
3
C
．
2
是等腰直角三角形,，
1
．
A B
x
．
-1
O
1 2 F 3 4
-1
．
D
-2
即与两角和的度数为． ··························· 7分
解法二：如图3，连结．
y
图2
同解法一可得，．
在中，，,
4
．
3
C
在和中,
2
，,．
1
A B
．
x
-2 -1
O
1 2
F
3 4
．
-1
D
．
-2
图3
32 ,
．
即与两角和的度数为． ··························· 7分
九、解答题（本题满分8分)
25．解:（1）线段与的位置关系是;
． ···································· 2分
(2）猜想：（1)中的结论没有发生变化．
证明:如图，延长交于点，连结．
是线段的中点,
．
由题意可知．
C
D
．
H
G
，
P
．
F
B
A
，．
E
四边形是菱形，
,．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，
．
．
．
,．
．
即．
，，
，．
． ···································· 6分
（3）．·································· 8分
2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷)参考答案
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡\"上对应．．题目答案的相应字母处涂黑。
1。 －3的倒数是( A ）
A. B。 C。 －3 D。3
2。 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ D ）
A。 0。26×106 B。 26×104 C。 2.6×106 D. 2。6×105
3。 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90O,DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35 O，
则∠A的度数为 （ C ）
A. 35O B. 45º C。 55º D。 65º
4。 若,则的值为 （ C ）
33 A. －4 B. －1 C。 0 D。 4
5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31,32，28，这周的日最高气温的平均值为。（ B ）
A. 28ºC B. 29ºC C。 30ºC D。 31ºC
6。 把代数式分解因式，下列结果中正确的是.（ A ）
A。 B。
C. D。
7。 一个袋子中装有6个黑球3个白球,这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ B ）
A。 B. C. D.
8。 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的
．．．．展开图，那么这个展开图是 （ D ）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9. 若分式的值为0，则的值为 2 。
10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是.
11。 在五环图案内，分别填写五个数，，,，，如图: ，其中，
是三个连续偶数，,是两个连续奇数，且满足,例如： ，。 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
12。 2007年北京市统招右图是对种中心为点的正六边形,如果用一个含30º角的直角三
角板的角，借助点（使角的顶点落在点处）,把这个正六边形的面
积等分，那么的所有可能的值是 2,3，4，6,12 。
三、解答题（共5个小题，共25分)
13.（本小题满分5分）
2007年北京市统招计算:
解：
14.（本小题满分5分）
解方程：
解：因为 ，，
所以
代入公式，得
所以 原方程的解为
15.（本小题满分5分)
计算：
解：
16。（本小题满分5分）
已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC,OB=OD.
求证:AB=CD
证明：∵ OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴
∴
在和中，
34 ∴
∴
17.（本小题满分5分）
已知，求代数式的值。
解析：
又,故原式.
四、解答题（共2个小题,共10分）
18。(本小题满分5分)
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB = DC = AD，∠C=60º，AE⊥BD于点E，AE=1,求梯形ABCD的高。
解：作于点
∵ AD∥BC, ∴
∵ ， ∴
∴
∵ ，，
∴
∵ 于点，, ∴
在中，由正弦的定义可得
∴梯形的高为.
19。(本小题满分5分）
2007北京统考 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A
的直线交于B点，OC = BC，AC =OB
（1）求证：AB是⊙O的切线;
（2)若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.
解：
（1）证明： 如图,连结
∵
∴
∴ 是等边三角形
故
又可得 ∴
∴ 是的切线.
（2）解：作于点.
∵ , ∴
又 ，，∴在中，
在中，∵ ，∴
由勾股定理，可求得
∴ .
五、解答题(本题满分6分）
20。 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表:
(1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全
35 市的水资源总量(单位：亿m3）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0。2亿m3，请你选计算环境用水量(单位：亿m3),再计算2005年北京市用水总量（单位:亿m3）;
(3）根据以上数据,请你计算2005年北京市的缺水量（单位:亿m3）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法。
解：
(1)补全2005年北京市水资源统计图见右图；
水资源总量为23.18亿m3
（2）设2005年环境用水量为亿m3
依题意得
解得
∴ 2005年环境用水量为1.1亿m3
∵ 13。38+1。1+6。8+13.22=34。5
∴ 2005年北京市用水总量为34。5亿m3
(3)∵ 34.5-23.18=11。32，∴2005年北京市缺水量为11.32亿m3
（4）说明:通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能提出积极看法的给分,比如节约用水等。
六、解答题（共2个小题，共9分）
21。(本小题满分5分)
在平面直角坐标系中,为正方形，点的坐标为（1，1），将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上，
（1)如图，当三角形纸片的直角顶点与点重合，一条
直角边落在直线上时，这个三角形纸片正方形
重叠部分(即阴影部分)的面积为 ；
(2）若三角形纸片的直角顶点不与点、重合,且两
条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时,试确定三角形纸片直角顶点的坐标(不要求写出求解过程)，
解：（1);
(2）直角顶点的坐标为
或
此时的图形如右图
22.（本小题满分4分)
在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与的图像关于轴对称，又与直线交于点，试确定的值。
解：依题意得，反比例函数的解析式为
∵ 点在反比例函数的图像上，
∴
即 点A的坐标为
由点在直线上
可求得 。
七、解答题（本题满分7分)
36 23。 如图，已知
（1）请你在边上分别取两点、（的中点除
外)，连结、,写出使此图中只存在两对面
．．．．．积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2)请你根据使（1）成立的相应条件,
证明.
解：
(1）相应的条件是： BD = CE ≠ DE ;
两对面积相等的三角形分别是: △ABD和△ACE，△ABE和△ACD 。
（2）证法1：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线,
两线交于F点，DF与AB交于G点。
所以 ∠ACE = ∠FDB，∠AEC = ∠FBD
在△AEC和△FBD中，又CE = BD
可证 △AEC ≌ △FBD
所以 AC = FD,AE = FB
在△AGD中，AG + DG ＞AD
在△BFG中，BG + FG ＞FB
所以 AG + DG－AD＞0，BG + FG－FB＞0
所以 AG + DG + BG + FG－AD－FB＞0
即 AB + FD＞AD + FB
所以 AB + AC＞AD + AE
证法2:如图，分别过点A、E作CB、CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF。 则四边形FECA是平行四边形,所以 FE = AC，AF = CE.
因为 BD = CE
所以 BD = AF
所以 四边形FBDA是平行四边形
所以 FB = AD
在△AGE中，AG + EG ＞AE
在△BFG中,BG + FG ＞FB
可推得 AG + EG + BG + FG ＞AE + FB
所以 AB + AC ＞AD + AE
八、解答题（本题满分7分)
24。 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点。
（1）求此抛物线的解析式；
(2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；
(3）在（2）的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标。
解：
(1)由题意可得
故抛物线的解析式为：。
（2）由可知抛物线的顶点坐标为B（）,故C（），且直线过原点。 设直线的解析式为，则有. 故直线的解析式为.
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个.
37 由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形,四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等。 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为，
同时不难计算出点A到OB的距离为，故点A也算其中一个。 同理,不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点,使得它到直线OB、OC、BC的距离相等。
此四个点的坐标分别为：M（）、A（0，2)、（0,—2）、(）.
九、解答题（本题满分8分）
25。 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
(2）如图，在中,点、分别在、上，设、相交于，若,,请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
(3)在中，如果是不等于60º的锐角，点、分别在、上，且,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
解:
（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可。
(2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE)
四边形DBCE是等对边四边形.
(3)此时存在等对边四边形DBCE。
证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点。
∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形。
证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.
易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC。
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四边形DBCE是等对边四边形。
北京市2006年高级中等学校招生统一考试(课标B卷）
数学试卷
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题,满分120分．考试时间120分钟．
2．在试卷密封线内认真填写区（县)名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号．
3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
38 第Ⅰ卷（机读卷
考生
须知
共32分）
1．第Ⅰ卷共2页,共一道大题，8个小题．
2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（共8个小题，每小题4分,共32分．）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡\"上对应题目．．答案的相应字母处涂黑．
1．的相反数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为平方千米．将用科学记数法表示应为( ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在函数中,自变量的取值范围是（ )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．如图，,点在的延长线上,
若,则的度数为（ )
Ａ
Ａ． Ｂ．
Ｄ
Ｃ． Ｄ．
5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光,为奥运添彩\"的号召,主动到附近的7个社区帮助爷爷，奶奶们学习Ｂ
英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人Ｃ
数如下:33，32,32，31，28,26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是( ）
Ａ．32,31 Ｂ．32，32 Ｃ．3，31 Ｄ．3,32
6．把代数式分解因式，结果正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．将如右图所示的圆心角为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ )
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．)
9．若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是 ．
10．若，则的值为 ．
11．用“\"定义新运算:对于任意实数,，都有．例如，，那么 ;
当为实数时， ．
12．如图，在中，，，分别是,的中点，，为上的点，连结，．若,，,则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共5个小题，共25分）
13．（本小题满分5分)
计算：．
解：
Ａ． Ｃ． Ｄ．
14．(本小题满分5分)
Ｂ．
39
Ｅ 解不等式组
解：
15．（本小题满分5分)
解分式方程．
解：
16．（本小题满分5分）
已知：如图，,点，点在上，，．
求证：．
Ａ
证明:
Ｆ
17．（本小题满分5分）
Ｅ
已知，求代数式的值．
解：
Ｂ
Ｃ
四、解答题(共2个小题，共11分．）
18．（本小题满分5分）
Ｄ
已知：如图，在梯形中,，，，于点,，．
求：的长．
解：
Ｄ
Ａ
19．（本小题满分6分)
Ｅ
已知：如图，内接于,点在的延长线上,，．
(1）求证:是的切线；
（2）若，，求的长．
(1）证明:
Ｂ
Ｃ
Ｂ
（2）解:
五、解答题（本题满分5分）
Ｏ
Ｃ
20．根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据,绘制统计图表如下:
Ｄ
Ａ
大学程度人数（指大高中程度人数(含
年份
专及以上)
233
362
中专）
320
372
初中程度人数
475
476
小学程度人数
234
212
其他人数
120
114
2000年
2005年
请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：
（1)从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人?
（2）2005年北京市常住人口中,少儿(岁）人口约为多少万人？
（3)请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况,谈谈你的看法．
解：（1)
（2）
(3）
六、解答题（共2个小题，共9分．）
2000年，2005年北京市常住人口中教育情况统计表（人数单位：万人）
21．(本小题满分5分）
在平面直角坐标系中,直线绕点顺时针旋转得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为,试确定反比例函数的解析式．
解:
22．（本小题满分4分）
请阅读下列材料：
40 问题:现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求:画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组
成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
图1 图2
解:
七、解答题（本题满分6分）
23．如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角图3
形．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:
（1）如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；图
4
（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，
请问,你在（1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由．
图5
解：画图：
（1）与之O
M
E
P
N
图1
A
图2
A
图3
为 ．
（2）
八、解答题（本题满分8分）
24．已知抛物线与轴交于点,与轴分别交于,两点．
(1）求此抛物线的解析式;
（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；
（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点),再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．
解：（1)
B
F
B
间的数量关系D
C
E
F
D
C
5
4
3
2
1
O
1 2 3 4
41
5 6 7 (2）
（3）
九、解答题(本题满分8分）
25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
(2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时,这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论．
解：（1）
(2)
北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标Ｂ卷）
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．
2．第I卷是选择题,机读阅卷．
3．第II卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第I卷（机读卷 共32分)
一、选择题（共8个小题,每小题4分，共32分．)
题号
答案
1
Ａ
2
Ｃ
3
Ａ
4
Ｄ
5
Ｂ
6
Ｃ
7
Ｄ
8
Ｂ
第II卷（非机读卷 共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）
题号
答案
9
10
2 10
11
26
12
30
三、解答题(本题共30分,每小题5分．）
13．解：
······································································································· 4分
． ···································································································· 5分
14．解：由不等式解得 ． ····································································· 2分
由不等式解得 ． ····································································· 4分
则不等式组的解集为 ． ···························································· 5分
15．解：． ······························································································ 2分
． ······························································································ 3分
． ········································································ 4分
经检验是原方程的解．
所以原方程的解是． ····································································· 5分
16．证明：因为，
则．························································································ 1分
42 又，
则．························································································ 2分
在与中,
························································································ 3分
所以． ···················································································· 4分
所以． ···················································································· 5分
17．解：
································································································· 2分
． ······························································································ 3分
当时，原式． ·············································································· 5分
四、解答题（共2个小题，共11分）
18．解:如图，过点作交于点． ····································································· 1分
因为，
所以四边形是平行四边形． ·································································· 2分
所以．
Ｄ
由，
Ａ
Ｅ
得．
在中，,,
由，
求得． ······························································································ 3分
Ｃ
Ｂ
·Ｆ
所以． ····························································································· 4分
在中，，
．
求得． ······························································································ 5分
19．解：(1）证明：如图，连结．
因为，
所以．
Ｂ
故． ·········································· 1分
Ｏ
又,
Ｃ
所以是等边三角形．
故． ································································································· 2分
Ｄ
Ａ
因为，
所以．
所以是的切线． ················································································· 3分
（2)解：因为，
所以垂直平分．
则． ································································································· 4分
所以． ······························································································ 5分
在中,，
由正切定义，有．
所以． ······························································································ 6分
五、解答题(本题满分5分)
20．解:（1）(万人)． ················································································ 1分
故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人．
43 （2）（万人）．
故2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为157万人． ···················· 3分
(3）例如:依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为，2005年受大学教育的人口比例为．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高． ·················· 5分
六、解答题(共2个小题,共9分)
21．解：依题意得，直线的解析式为． ························································· 2分
因为在直线上，
则． ··························································································· 3分
即．
又因为在的图象上,
可求得．····················································································· 4分
所以反比例函数的解析式为． ························································· 5分
22．解:所画图形如图所示．
说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分．
七、解答题(本题满分6分．)
23．解：图略．画图正确得1分．
（1）与之间的数量关系为． ································································· 2分
（2）答:（1）中的结论仍然成立．
证法一：如图4，在上截取，连结． ······················································· 3分
因为,为公共边,
B
图4
可证．
所以，． ······················································· 4分
由，分别是的平分线，
图5
E
D
可得．
F
所以．
4
１
所以． ······························································································ 5分
3
2
由及为公共边，可得．
A
C
G
所以．
图4
所以． ······························································································ 6分
证法二：如图5，
过点分别作于点,于点． ········································································ 3分
因为,且，分别是,的平分线，
所以可得,是的内心． ··················································· 4分
B
所以，．
又因为，
Ｇ
D
E
所以． ······································································ 5分
H
F
因此可证．
4
１
所以． ······························································································ 6分
3
2
A
八、解答题（本题满分8分）
C
图5
24．解：（1）根据题意，，
所以
解得
所以抛物线解析式为． ········································································ 2分
(2）依题意可得的三等分点分别为，．
44 设直线的解析式为．
当点的坐标为时，直线的解析式为； ······················································ 3分
当点的坐标为时，直线的解析式为． ······················································ 4分
（3）如图,由题意，可得．
点关于轴的对称点为，
y
点关于抛物线对称轴的对称点为．
A
3
连结．
M
根据轴对称性及两点间线段最短可知,的长就是所求点运动的最短总路径的长．5分
x
所以与轴的交点为所求点,与直线的交点为所求点．
3
可求得直线的解析式为．
可得点坐标为，点坐标为． ·································································· 7分
由勾股定理可求出．
所以点运动的最短总路径的长为． ························································· 8分
九、解答题（本题满分8分)
25．解:（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长． ··········································································· 3分
已知：四边形中，对角线，交于点，，
且．
求证：．
证明：过点作，在上截取，使．
连结,． ····························································································· 4分
故，四边形是平行四边形．
D
A
所以是等边三角形，． ········································································ 6分
所以．
O
①当与不在同一条直线上时（如图1)，
E
B
在中,有．
C
F
所以． ······································································ 7分
图1
②当与在同一条直线上时（如图2),
则．
A
D
因此． ······································································ 8分
综合①、②，得．
O
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为时，这对角所对的两边之和E
B
大于或等于其中一条对角线的长．
C
F
2005年北京市高级中等学校招生考试卷
图2
第I卷（机读卷 共44分）
一. 选择题（共11个小题,每小题4分，共44分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1。 的相反数是（ )
A. B。 C。 2
D。
2. 下列运算中，正确的是( )
A。 B。 C。
D.
45 3。 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A。 B。 C。
D.
4。 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C。 矩形
D. 等边三角形
5。 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市.预计今年年底，北京市污水处理能力可以达到每日1684000吨。将1684000吨用科学记数法表示为（ ）
A。 吨 B。 吨 C. 吨 D. 吨
6. 如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 4
D。 6
7. 用换元法解方程时，如果设,那么原方程可化为( ）
A。 B. C。 D.
8。 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B.如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ )
A. 90° B。 100° C. 110°
D。 120°
9. 如图,在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论中错误的是（ ）
A. ∠AEF＝∠DEC B。 FA：CD＝AE：BC C. FA：AB＝FE:EC
D。 AB＝DC
10. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树,今年已进入收获期.收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表:
序号
质量(千克)
1
14
2
21
3
27
4
17
5
18
6
20
7
19
8
23
9
19
10
22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元.用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为( ）
A。 200千克，3000元 B。 1900千克，28500元 C. 2000千克，30000元
D。 1850千克，27750元
11. 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°,AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动.设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化.在下列图象中,能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
第II卷(非机读卷 共76分)
二. 填空题(共5个小题，每小题4分，共20分）
12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________。
13。 不等式组的解集是____________。
14。 如果反比例函数的图象经过点（1，-2)，那么这个反比例函数的解析式为_______
_________________。
15. 如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是____________。
16. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且,则∠BCA的度数为____________.
三。 (共3个小题，共15分）
17. (本小题满分4分)
46 分解因式：
解：
18。 （本小题满分5分）
计算:
解
19. (本小题满分6分）
用配方法解方程
解:
四。 （本题满分5分）
20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD. 求证：∠BEC＝∠CFB
证明：
五。 （本题满分6分） 21。 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长(答案可带根号）.
解：
六。 （本题满分6分） 22。 列方程或方程组解应用题：
夏季，为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1。1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
解：
七。 (本题满分7分） 23。 已知：关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围;
（2）当时，求a的值。
解：（1）
（2）
八。 （本题满分8分）
24。 已知:在Rt△ABC中,∠ABC＝90°，D是AC的中点,⊙O经过A、D、B三点,CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时,图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系。
（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；
(2)在图2中，过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F。
①若CF＝CD，求sin∠CAB的值;
②若，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。
(1）连结__________________
求证:_________＝CE
证明：
（2）解：①
②_____________(）
47 九。 （本题满分9分）
25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
(1）试用含a的代数式表示b;
(2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
(3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。
（1）解：
(2）解:
（3）解答：
48
参考答案
第I卷（机读卷 共44分)
一. 选择题（共11个小题，每小题4分,共44分） 1。 C
A 6. B 7. C8. D 9. B 10。 11。 A
13。 14. 15. 5 16. 65°或115°
2. A 3。 B 4。 D 5。
第II卷(非机读卷 共76分)
二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 12。
解:
………………1分
………………3分
………………4分
18。 （本小题满分5分） 计算:
解：
………………3分
………………4分
………………5分
19。 （本小题满分6分） 用配方法解方程
解：移项，得:………………1分
配方，得：………………2分
………………4分
解这个方程，得：
即………………6分
四。 (本题满分5分） 20. 已知:如图，在梯形ABCD中,AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD.
求证:∠BEC＝∠CFB
证明:在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB＝DC
∴∠ABC＝∠DCB………………1分
∵BE＝2EA，CF＝2FD
∴BE＝CF………………2分
在△EBC和△FCB中，
………………3分
∴△EBC≌△FCB………………4分
∴∠BEC＝∠CFB………………5分
五。 （本题满分6分） 21。 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长(答案可带根号）。
解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝∠CAE＝30°,∠ADB＝∠EAD＝45°
∴AC＝2AB,DB＝AB………………2分
设，则
………………3分
………………4分
三. (共3个小题，共15分） 17。 (本小题满分4分） 分解因式:
49
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