2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析

2023年12月2日发(作者：闵行高三数学试卷)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2+i2+2i3=()A.1【答案】C【解析】∵2+i2+2i3=2-2i-1=1-2i，∴|2+i2+2i3|=1-2i=12+(-2)2=5，选C。).2C.5D.52.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M⋃CUN=(A.{0,2,4,6,8}【答案】A【解析】∵N={2,4,8},∴M⋃CUN={0,2,4,6,8}，选A.B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24【答案】DB.26C.28D.30【解析】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2, AA1=3,点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1，C1，D1，A1的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A1B1C1D1去掉长方体ONIC1-LMHB1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D。4.在△BC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=A.π10B.π5C.3π10π，则∠B=(52πD.5)【答案】C【解析】∵sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosBsinBcosA,π∴sinBcosA=0,∵B∈(0，π)，∴sinB>0,∴cosA=0,A=，23π∴B=π-A-C=，选C。10xex5.已知f(x)=ax是偶函数，则a=(e-1A.-2【答案】Dx(ex-e)xex【解析】∵f(x)=ax是偶函数，∴f(x)-f(-x)==0，axe-1e-1，∴a=2，选D。6.正方形ABCD的边长是2, E是AB的中点，则EC∙ED=(A.5B.3C.25∵x不恒为0，∴ex=e(a-1)x(a-1)x)C.1D.2B.-1)D.5【答案】B【解析】由题意可得：ED=EC=5，CD=2,DE2+CE2-DC23在∆CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC==,2DE∙CE53∴EC∙ED=EC∙ED∙cos∠DEC=5∙5∙=3,选B。57.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)|1≤x2+y2≦4}内随机取一点A,则直线OA的倾斜角不π大于的概率为()41111A.B.C.D.8642【答案】C【解析】∵区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}表示以O(0,0)圆心，外圆半径R=2，内圆半径r=1的圆环，则直线ππOA的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON=，44x×π14结合对称性可得所求概率p==，选C。2π48.函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是(A.(-∞,-2)B.(-∞,-3))D.(-3,0)C.(-4,-1)【答案】B【解析】f\'(x)=3x2+a ,若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a<0,令f\'(x)=3x2+a=0,得x=--a，3且当x∈(-∞,-a)⋃(-a,+∞)时，f\'(x)>0,33当x∈(--a,-a)时，f\'(x)<0,∴f(x)de极大值为f(--a)，极小值为f(333f(--a)>03若f(x)存在3个零点，则，解得a<-3，选B。-af()<03-a)，39.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(A.56B.23)C.12D.13【答案】A【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数共有6×6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A26=30530种，其概率为=,选A。36610.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[条对称轴，则f(A.-325π)=(12)B.-12C.12D.32π2ππ2π,|单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图像的两6363【答案】Dπ2π2π【解析】∵函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[,|单调递增，∴T=π，ω==2，63Tπππ当x=时，f(x)取得最小值，则2∙+φ=2kπ-，k∈Z,6625π5π则φ=2kπ-，k∈Z,不妨取k=0，则f(x)=sin(2x-)，665π35π则f(-)=sin(-)=，选D。123211.己知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(A.1+322B.4C.1+32)D.7【答案】C【解析】由x2+y2-4x-2y-4=0，得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，2-1-k则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3，2得1-32≤k≤1+32，选C。y212.设A，B为双曲线x-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(92)A.(1,1)【答案】DB.(-1,2)C.(1,3)x1+x2y1+y2,)，22D.(-1,-4)【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点M(y1+y2y1-y2y1+y22得kAB=,k==，x1-x2x1+x2x1+x222y1222x1-=1y1-y2922∵A,B在双曲线上，∴，两式相减得：(x1-x2)-=0，29y22x2-=1922y1-y2∴kAB∙k=2对于A选项：可得k=1,kAB=9，则AB:y=9x-8，2=9，x1-x2y2x-=1联立方程，消去y得，72x2-2×72x+73=0,9y=9x-82此时∆=(-2×72)2-4×73×72=-288<0，∴直线AB与双曲线没有交点，A错。995对于B选项：k=-2，kAB=-，则AB:y=-x-，222y22x-=19联立方程，消去y得：45x2+2×45x+61=0，y=-9x-522∆=(45*2)2-4×61×45=-2880<0,∴直线AB与双曲线没有交点，B错。997对于C选项：k=3，kAB=-，则AB:y=x-，4442yx2-=19联立方程，消去y得：63x2+126x-193=0，y=9x-7442∆=126+4×193×63=64512>0，∴直线AB与双曲线有两个交点，D正确，选D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点A(1,5)在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为9【答案】4【解析】由题意得：(5)2=2p×l，则2p=5，抛物线的方程为y2=5x，559准线方程为x=-，点A到C的准线的距离为1-(-)5=。44414.若θ∈(0,π1),tanθ=，则sinθ-cosθ=225【答案】-5π【解析】∵θ∈(0,)则sinθ>0,cosθ>0 ,2sinθ1又∵tanθ==,∴cosθ=2sinθ ,cosθ2。。且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=∴sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ=-5。555或sinθ=-(舍去),55x-3y≤-115.若x, y满足约束条件x+2y≤9 ,则z=2x-y的最大值为3x+y≥7。【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：z=2x-y，即y=2x-z，联立有x-3y=-1x=5，得x+2y=9y=2，设A(5,2),显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，则z最大，代入得z=8。16.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，∆ABC是边长为3的等边三角形，SA⏊平面ABC,则SA=【答案】2【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN-ABC，设∆ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，AB则2r==23，得r=3，sin∠ACB设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA, OO1，则OA=2, OO1=3+12SA，得SA=2。412SA，∵OA2=OO1+O1A2，即4=2。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据情况作答。17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi, yi(i=1,2，⋯,10).试验结果如下：试验序号i伸缩率xi,伸缩率yi,52735533754536记zi,=xi-yi, (i=1,2，⋯,10),记\"z1,z2,⋯,Z10的样本平均数为z,样本方差为s2。(1)求z, s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z2s≥2则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则10不认为有显著提高)。【答案】⑴z=11, s2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。-545+533+551+522+575+544+541+568+596+548【解析】(1)x==552.3，10536+527+543+530+560+533+522+550+576+536y==541.3，10z=x-y=552.3-541.3=11，zi=xi-yi的值分别为：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)210=61。2s2=24.4，∴z≥2s,1010∴认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。（2）由(1)知:z=11,，218.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11, S10=40 .(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{|an|)的前n项和Tn。【答案】(1)an=15-2n14n-n2(2)Tn=2n-14n+98,n≥8【解析】（1）设等差数列的公差为d,a2=a1+d=11a=13由题意得：，得1，9×10S10=10a1+d=40d=-22∴an=13-2(n-1)=15-2n。（2）∵Sn=n(15+13-2n)15=14n-n2，令an=15-2n>0，得n<，且n∈N*，22当n≤7时，则an>0,可得Tn=a1+a2+…+an=Sn=14n-n2；当n≥8时，则an<0，可得Tn=a1+a2+…+an=(a1+a2+…+a7)-(a8+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=2(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14n+98；14n-n2综上所述：Tn=2n-14n+98,n≥8。19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⏊BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP, AP, BC的中点分别为D, E,O,点F在AC上，BF⏊AO。(1)求证：EF//平面ADO；(2)若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积。1【解析】（1）连接DE, OF，设AF=tAC，则BF=BA+AF=(1-1)BA+tBC，AO=-BA+BC，BF⏊AO，21t1则BF∙AO=[(1-1)BA+tBC]•(-BA+BC)=(t-1)BA2+BC2=4(t-1)+4t=0，解得t=，222则F为AC的中点，由D,E, O,F分别为PB,PA,BC, AC的中点，11于是DE⎳AB, DE=AB, OF⎳AB, OF=AB，即DE⎳OF, DE=OF，22则四边形ODEF为平行四边形，EF⎳DO, EF=DO，又EF.平面ADO, DOu平面ADO，∴EF⎳平面ADO.（2）过P作PM垂直FO的延长线交于点M，∵PB=PC,O是BC中点，所以PO⏊BC，1在Rt∆PBO中，PB=6, BO=BC=2，2∴PO=PB2-OB2=6-2=2，∵AB⏊BC, OF⎳AB，∴OF⏊BC，又∵PO⋂OF=O，PO,OF⊂平面POF，∴BC⏊平面POF，又∵PM⊂平面POF，∴BC⏊PM，又∵BC∩AFM=O，BC,FM⊂平面ABC，∴PM⏊平面ABC，即三棱锥P-ABC的高为PM，∵∠POF=120°，∴∠POM=60°，3∴PM=POsin60°=2×=3，21又S△ABC=AB•BC=22，21126∴VP-ABC=S△ABC∙PM=×22×3=。33320.已知函数f(x)=(1+a)ln(1+x).x(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程。(2)若函数f(x)在(0, +∞)单调递增，求a的取值范围。【答案】⑴(ln2)x+y-ln2=0；1（2）aa≥2。1【解析】（1）当a=-1时，f(x)=（-1)ln(x+1)(x>-1),x111则f(x)=-2×ln(x+1)+(-1)×，得f(1)=0, f\'(1)=-1n2,xx+1x∴函数在(1, f(1))处的切线方程为y-0=-ln2(x-1),即(ln2)x+y-ln2=0。111（2）由函数的解析式得f\'(x) =(-2)ln(x+1)+(+a)×(x>-1),满足题意时f\'(x)>0在区间xx+1x(0, +∞)上恒成立。111令(-2)ln(x+1)+(+a)×≥0，则-(x+1)ln(x+1)+(x+ax2)≥0，xx+1x令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),原问题等价于g(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，则g\'(x)=2ax-ln(x+1),当a≤0时，由于2ax≤0,ln(x+1)>0,故g\'(x)<0, g(x)在区间(0,+∞)上单调递减，此时g(x)1时，由于<1,所以h\'(x)>0,h(x)在区间(0, +∞)上单调递增，2x+1即g\'(x)在区间(0, +∞)上单调递增，所以g\'(x)>g\'(0)=0 , g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0,满足题意。111当0b>0)的离心率是，点A(-2,0)在C上.3ab(1)求C的方程；(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线AP, AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定点。y2x2【答案】（1）C的方程为：+=194（2）详解析。【解析】（1）由题意可得：b=2a2=b2+c2c5e=a=3a=3解得b=2c=5y2x2∴椭圆方程为+=194（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1)，Q(x2,y2),y=k(x+2)+32联立方程y2x+=194消去y得：(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0 ,则∆=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k<0,8k(2k+3)16(k2+3k)可得x1+x2=-；x1x2=，4k2+94k2+9y1(x+2)∵A(-2,0),则直线AP:y=,x1+22y12y12y2令x=0，得y=，即M(0,)，同理可得N(0,)，x1+2x1+2x2+22y12y2+[k(x1+2)+3][k(x2+2)+3]x1+2x2+2则=+2x1+2x2+22kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+4(2k+3)=x1x2+2(x1+x2)+432k(k2+3k)8k(4k+3)(2k+3)-+4(2k+3)4k2+94k2+9=16(k2+3k)16k(2k+3)-+424k+94k2+9=3∴线段P的中点是定点(0,3)。(二)选考题：共10分。请考生第22、23题中选一道作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4】(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ(x=2cosαπππ≤θ≤)，曲线C2：(α为参数，<α<π)。y=2sinα422(1)写出C1的直角坐标方程;(2)若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围。【答案】（1）C1的直角坐标方程为：C1:x2+(y-1)2=1, x∈[0,1] , y∈[1,2]。（2）m的取值范围为：(-∞,0)⋃(22,+∞)。【解析】（1）∵ρ=2sinθ,即p2=2psinθ,可得x2+y2=2y,整理得x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆，又∵x=pcosθ=2sinθcosθ=sin2θ,y=psin0=2sin2θ=1-cos2θ , 且π<2θ<π,则x=sin2θ∈[0,1], y=1-cos2θ∈[1,2],2故C1:x2+(y-1)2=1, x∈[0,1] , y∈[1,2]。则（2）∵C1:x=2cosαπ(α为参数，y=2sinα2<α<π)，ππ<θ<,42整理得x2+y2=4,表示圆心为O(0,0),半径为2,且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y=x+m过(1,1),则1=1+m,解得m=0；若直线y=x+m，即x-y+m=0与C2相切，则=2,解得m=22m>0m2，若直线y=x+m与C1,C2均没有公共点，则m>22或m<0，即实数m的取值范围(-∞,0)⋃(22,+∞)。23.【选修4-5】(10分)已知f(x)=2|x|+|x-2|(1)求不等式f(x)≤6-x的解集；(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组【答案】（1）解集为：[-2,2]。（2）SABC=8。3x-2,x>2【解析】（1）依题意，f(x)=x+2,0≤x≤2，f(x)≤6-x,-3x+2,x<0f(x)≤yx+y-6≤0所确定的平面区域的面积。得得x>2无解，3x-2≤6-x，0≤x≤20≤x≤2，x+2≤6-x，得x<0-2≤x<0，-3x+2≤6-x，f(x)≤y如图阴影∆ABC，x+y-6≤0表示的平面区域，∴-2≤x≤2，即解集为[-2,2]。（2）作出不等式组y=-3x+2y=x+2得A(-2,8)，由B(0,2)，D(0,6)x+y=6x+y=6得C(2,4)，1∴∆ABC的面积SABC=BD×xC-xA=8。2由