2023年12月10日发(作者：黄浦英文二模数学试卷)
2020年考研数学（二）真题解析（选择题全）1.当x®0时，下列无穷小量中最高阶的是（A.+）ò0(e-1)dtxt2xB.ò0ln(1+t)dt3C.òsinx0sint2dtD.ò1-cosx0sin3t)dt解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。用求导定阶法来判断。在x®0时，x2+(ò0(e-1)dt=e-1x2；t¢2)x(òln(1+x0xt)dt=ln(1+x)sin(sinx)2cosx3)¢3x；x232(òsinsintdt¢20)=；(ò-1cosx0sint)dt=sin(1-cosx)sinx3)¢3x(x22)323xx。42.函数f(x)=eln(1+x)的第二类间断点的个数为（xex(-1)(-2)C. 3 D.4 1x-1）A.1 B.2 解析：本题选C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。间断点有x=-1,0,1,2，由于+x)eln(1=¥；lim+f(x)=lim+xx®-1x®-1(e-1)(x-2)1x-1+x)eln(1=lim=-1；
xlimx®0f(x)x®0(e-1)(x-2)2ex®1+f(x)+limlim=x®11x-1e1x-1xln(1+x)=¥；
(e1-1)(x-2)x-1+x)eln(1=lim=¥
xlimx®2f(x)x®2(e-1)(x-2)
3.
arcsinxdx=( )
0xxò(1-)221A.
p
B.p
C.p
D.p
4848
解析：本题选A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。
1arcsinxt=p2ò
0arcsinxdxx(1-x)=ò202sintcostdtt|0.
t==psintcost42p/24. 已知f(x)=xln(1-x),当n³3时，fA.
-
2()n
(0)=( )n!n-2
B.n!n-2n
C. -(-2!)
D.(n-2)!
nn解析：选A。本题考查了函数在0处的高阶导数的计算。有泰勒公式求解：
f(x)=xln(1-x)=x(-x-x-2f
(n)2212-1n-2xn-2)+o(x)
n(0)1=-n-2,f(n)n!(0)=-n-2n!。 ìxy,xy¹0,ï给出下列结论：
5. 关于f(x,y)=íx,y=0,给出下列结论：
ïy,x=0,îf（1）¶¶x(0,0)¶f)®(0,0)f(x,y)=0
=1 （2）¶x¶y(0,0)=1 （3）(x,ylim2y®0x®0f(x,y)=0其中正确的个数为（
其中正确的个数为（
）
（4）limlimA.4
B. 3
C. 2
D. 1
解析：本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法，二元函数极限与累次极限等
计算。需要用到偏导数的定义式等。
¶f-0(x,0)-f(0,0)fx=lim=lim=1x®0x®0xx¶x(0,0)
ìy,xy¹02fx(0,y)-fx(0,0)0-0¶fï¶f¶x=í=limï1,y=0,¶x¶y0,0=limy®0x®0yx=0()î0,x=0,y¹0fxyxyfxy0<(,)=(,)=0
®0,(x,ylim0,0®)()limlimf(x,y)0=
y®0x®0选B。
6.
设A.
在上可导，且¢，则（
，则（
）
f(x)23f(-2)f(0)f(1)f(2)B.C.D.
>1>e f(-1)f(-1)f(-1)f(-1)[-2,2]f(x)>f(x)>0 解析：本题选B。考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。由f¢(x)>f(x)>0，可知f¢(x)-f(x)>0，可以构造辅助函数：F(x)=由导数符号可知函数F(x)在f(x) ，xe(-2,2)单调递增。由F(0)>F(-1)容易推得选B。 7. 7. 四阶矩阵A不可逆，A12¹0，a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组，则A*X=0的通解为（ 通解为（ ） ） A. A. x=k1a1+k2a2+k3a3 B.x=k1a1+k2a2+k3a4 C.x=k1a1+k2a3+k3a4 D.x=k1a2+k2a3+k3a4 解析：本题选C。考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。 ìn,r(A)=nï由于A12¹0，故r(A*)³1，再由伴随矩阵秩的公式r(A*)=í1,r(A)=n-1，可ïî0,r(A) 可知， A11a1+A12a2+A13a3+A14a4=0，因为A12¹0，因此a2可由a1,a3,a4线性表示，故a1,a3,a4线性无关。原因是r(A)=r(a1,a2,a3,a4)=3，若a1,a3,a4线性相关，则其中有一个向量可由其余两个线性表示，秩就小于3了，可推出矛盾。因此a1,a3,a4为基础解系，选C。 8. 8. A为3阶方阵，a1,a2为属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于é1ùêú=--1的特征向量，满足PAPê为（ ） ） 1ú的可逆矩阵P为（ êú1ëû-1A. A. 1323 B.1223 (a+a,a,-a)(a+a,a,-a)B. B. a1+a3,-a3,a2 D.a1+a2,-a3,a2 ()()解析：本题选D。考查了矩阵相似对角化的相关理论与特征向量的性质。 矩阵P的每一列要与特征值对应起来。由题目已知，P的每一列要与特征值对应起来。由题目已知，P的第一列与第三列必须是1的特征向量，P的第二列必须是-1的第二列必须是-1的特征向量。由特征向量的性质可知选D。
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