2023年12月11日发(作者：前年的凉山一诊数学试卷)
数学建模——优秀论文
鲈鱼质量分析模型
摘要
本文讨论了鲈鱼的质量和其身长，胸围的关系。首先我们假设鲈鱼的体重和其身长呈正相关，利用题目中所给出的数据进行拟合，并计算出鲈鱼体重和身长的函数关系以及鲈鱼实际体重和估算值之间的相对误差，验证假设成立。通过多次拟合，得出最佳函数关系：WL380L23008L37262，其相对误差如下：
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表1（方法一）
身长/cm 31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1
体重/g 482 482 454 652 737 765 1162 1389
拟合值466.6 479.9 479.9 674.4 727.3 727.3 1228.8 1339.4
/g
相对误3.2 0.44 5.7 3.44 4.93 5.75 3.57 0.86
差/%
平均相对误差为：3.49%
从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
然后，我们利用同样的思想分析鲈鱼体重与胸围的关系，其结果如下：
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表2
胸围21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8
（cm）
重量482 482 454 652 737 765 1162 1389
（g)
拟合值462.1 489.7 489.7 609.3 784.1 784.1 1069.3 1428.1
（cm）
相对误4.13 1.60 7.86 6.55 6.39 2.50 7.98 2.81
差（%）
平均相对误差为： 4.98%
从表中的数据，我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差，所以方法二的结果更贴近实际。
在原有的基础上，我们进而提出，鲈鱼的体重与其身长和胸围都有关系，其结果如下：
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表3
重量（g) 765 482
472
2.12
1162
1115
4.05
737
740
0.42
482
490
1.60
1389
1491
7.37
652
616
5.58
454
490
7.87
估算值740
（g）
相对误3.25
差（%）
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平均相对误差为： 4.0375%
根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际，更合适推广。
一．问题重述
1.1. 基本内容
垂钓的乐趣在于修心，放生的乐趣在于养性。一垂钓俱乐部为鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的质量给予奖励。由于俱乐部只准备了一把用于鱼的身长和胸围的软尺，于是众垂钓者开始考虑根据测量的长度估计鱼的质量的方法，希望体味到垂钓的更大乐趣。因此，利用应用软件以及相应的知识找到所测长度与鱼的质量的变化规律，显得尤为重要。
1.2. 拟解决的问题
试从鲈鱼的实际质量和身长体重的变化特点出发，利用题中所给数据，建立鲈鱼质量分析的数学模型，并指出最佳模型及模型中存在的优缺点。
二．问题的分析
我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但影响鲈鱼体重的因素并不唯一，我们要考虑单一变量对鱼体重的影响，即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系，我们要根据已知数据，利用相关软件进行模拟，来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。
三．基本假设
1）.假设题目中所给的数据、信息以及网上查阅的数据都是有效准确的，可以充分的说明问题；
2）.假设池塘里只有一种鲈鱼，不存在其他鱼种。
3）.假设池塘里鲈鱼数量众多，分布均匀，密度相同。
4）.假设鲈鱼全都正常生长，没有人为因素影响鲈鱼的发育于成长。
5）.假设鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。
6）.鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；
7）.鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；
8）.鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；
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四．符号说明
鲈鱼的身长
鲈鱼的胸围
鲈鱼的体重
模型三的待定系数
L
C
W
五．模型的建立与求解
模型一：建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型
身长36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
(cm)
重量765 482 1162 737 482 1389 652 454
(g)
为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：
身长与体重散点图14001000体重9638身长40424446
方法一：我们把图形可以近似看成一条抛物线，身长与体重近似成二次函数关系
通过多次拟合可得：
W=1.6247*L^2-59.3124*L+709.7392
根据拟合的函数，我们画出拟合图：
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身长与体重拟合图24323436384
方法二： 根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下：
1 -80 3008 -37262
从而得到了拟合函数：
WL380L23008L37262
画出拟合图如下：
根据拟合数据得到的图形14001000W(g)9638L(cm)404244data1data246
模型二：鲈鱼体重与胸围模型建立
考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：
胸围24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
(cm)
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重量765
(g)
14001000体重482 1162 737 482 1389 652 454
胸围与体重散点图96胸围283032
从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：
W=92*C-1497.5
根据拟合函数，画出胸围与体重关系的拟合图：
胸围与体重拟合图223
从图形上看，大部分点分布在直线左右，我们可以近似看成二者成线性关系。
模型三.同时考虑身长和体重对鲈鱼体重的影响
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题中附录此模型要用到基本假设4及即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长C2表示：.因此可以分析得出WLC2.又物体质量等于密度与体积的乘积，因4此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：问题转化为对系数的求解。利用MATLAB软件和已知的八组数据可WLC2，以求出对应的值：
0.0303 0.0305 0.0322 0.0334 0.0326 0.0346 0.0338 0.0341
为了得到精确地模型对数据进行处理
0.0327
因此
W0.0327LC2
六．模型检验
模型一
方法一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
身长31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8
（cm)
重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162
45.1
1389
拟合值466.6 479.9 479.9 674.4 727.3 727.3 1228.8 1339.4
（g）
相对误3.2 0.44 5.7 3.44 4.93 5.75 3.57 0.86
差（%）
平均相对误差为：3.49%
从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
方法二：得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：
身长31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1
（cm)
重量（g) 482 482 454
481.4
6.04
652
695.5
6.67
737
726.6
1.41
765
726.6
5.02
1162
1180.0
1.64
1389
1377.1
0.86
拟合值454.4 481.4
（g）
相对误5.73 0.12
差（%）
平均相对误差为：3.51%
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从表中的数据，我们可以看出方法一的相对误差小于方法二的相对误差，所以方法一的结果更贴近实际。
模型二
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
胸围21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8
（cm）
重量482 482 454 652 737 765 1162 1389
（g)
拟合值462.1 489.7 489.7 609.3 784.1 784.1 1069.3 1428.1
（cm）
相对误4.13 1.60 7.86 6.55 6.39 2.50 7.98 2.81
差（%）
平均相对误差为： 4.98%
从表中的数据，我们可以看出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不太大。
模型三
重量估计值及相对误差
重量765 482 1162 737 482 1389 652 454
（g)
估算值740 472 1115 740 490 1491 616 490
（g）
相对误3.25 2.12 4.05 0.42 1.60 7.37 5.58 7.87
差（%）
平均相对误差为： 4.0375%
根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响。
七．模型优缺点
优点：1.模型简单，易于理解。
2.数据处理简明，计算思路清晰。
3.通过对比，结果更有说服力。
缺点：1.模型是基于个人经验建立，可能存在误差。
2.鲈鱼实际呈梭型，看成圆柱体较为牵强。
八．模型中的程序
画两散点图的程序：
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x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];
y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];
z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454 ;
plot(x,z,\'*\')
xlabel(\'身长\');
ylabel(\'体重\');
title(\'身长与体重散点图\');
plot(y,z,\'*\')
xlabel(\'胸围\');
ylabel(\'体重\');
title(\'胸围与体重散点图\');
画身长与体重拟合图程序：
x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];
z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];
x1=[30:0.1:50];
z1=1.6247.*x1.^2-59.312.*x1+709.7392
plot(x,z,\'*\',x1,z1)
xlabel(\'身长\');
ylabel(\'体重\');
title(\'身长与体重拟合图\');
画胸围与体重拟合图程序：
y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];
z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];
y1=[20:0.1:40]；
z1=92.*y1-1497.5;
plot(y,z,\'*\',y1,z1)
xlabel(\'胸围\');
ylabel(\'体重\');
title(\'胸围与体重拟合图\');
得到式（1）、（2）表达式的程序：
x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];
y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];
z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];
v1=polyfit(x,z,2);
v2=polyfit(y,z,1);
得到模型三的程序：
y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];
c=y.^2;
x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];
z=c.*x;
8 / 10 数学建模——优秀论文
w=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];
a=w./z;
sum(a)/8
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鲈鱼体重问题
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范玉秋
詹杰
于天缘
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