2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)

2023年12月2日发(作者：人教版高二数学试卷题)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）|2+i2+2i3|＝（　　）A．1【答案】C【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝故选：C．2．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　）A．{0，2，4，6，8}B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U【答案】A【解答】解：由于∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（　　）．B．2C．D．5A．24【答案】DB．26C．28D．30【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C＝，则∠B＝（　　）A．【答案】C【解答】解：由acosB﹣bcosA＝c得sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，得sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B），即sinAcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB+sinBcosA，即2sinBcosA＝0，得sinBcosA＝0，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA＝0，即A＝则B＝π﹣A﹣C＝故选：C．5．（5分）已知f（x）＝A．﹣2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝∴f（﹣x）＝f（x），∴，的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，是偶函数，则a＝（　　）B．﹣1C．1D．2，＝．B．C．D．∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．6．（5分）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则A．【答案】B【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以则•＝﹣1，＝（）（•，）＝，+＝2×2＝4，++＝﹣1+0+0+4＝3．B．3C．2•＝（　　）D．5故选：B．7．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于A．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于∴所求概率为＝．故选：C．的点A构成的区域为图中阴影部分，B．的概率为（　　）C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣3，0）【答案】B【解答】解：f′（x）＝3x2+a，若函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则f′（x）＝3x2+a＝0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ＝0﹣12a＞0，得a＜0，由f′（x）＞0得x＞由f′（x）＜0得﹣即当x＝﹣则f（﹣即﹣即﹣或x＜﹣＜x＜，此时f（x）单调递增，，此时f（x）单调递减，时，f（x）取得极小值，时，函数f（x）取得极大值，当x＝）＞0，f（）＜0，（﹣+a）+2＜0，×+2＜0，②，（﹣+a）+2＞0，且×+2＞0，①，且则①恒成立，由×+2＜0，2＜﹣××，平方得4＜﹣，即a3＜﹣27，则a＜﹣3，综上a＜﹣3，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：B．9．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（　　）A．【答案】A【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m＝＝30，B．C．D．则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P＝＝故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（x＝A．﹣【答案】D【解答】解：根据题意可知∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝又根据“五点法“可得∴φ＝∴f（x）＝sin（2x∴f（﹣故选：D．）＝sin（﹣，k∈Z，）＝sin（2x﹣）＝sin（﹣），＝2，＝，，＝．）单调递增，直线x＝）＝（　　）D．和为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣B．﹣C．，k∈Z，）＝sin＝．11．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（　　）A．1+【答案】C【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，2+（y﹣1）2＝9有公共点，直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）则有B．4C．1+3D．7≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，．故x﹣y的最大值为1+3故选：C．12．（5分）设A，B为双曲线x2﹣（　　）＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是A．（1，1）【答案】DB．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得kAB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知点A（1，　．【答案】．【解答】解：点A（1，则5＝2p，解得p＝，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为故答案为：．14．（5分）若θ∈（0，【答案】﹣．），tanθ＝＝，），tanθ＝，则sinθ﹣cosθ＝　﹣　．．）在抛物线C：y2＝2px上，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 　【解答】解：∵θ∈（0，∴令x＝3，y＝1，设θ终边上一点的坐标P（3，1），则r＝|OP|＝则sinθ﹣cosθ＝故答案为：﹣．＝，＝﹣＝﹣．15．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为 　8　．【答案】8．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，则﹣z表示直线y＝2x﹣z在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可知，当y＝2x﹣z经过点A时，Z最大，由可得y＝2，x＝5，即A（5，2），此时z取得最大值8．故答案为：8．16．（5分）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　2　．【答案】2．【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r＝＝＝2，解得r＝，设三棱锥S﹣ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，则OA＝2，OO1＝SA，∵故答案为：2．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下：试验序号i伸缩率xi伸缩率yi记zi＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为，样本方差为s2．（1）求，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后5365275435335542345678910，∴4＝3+，解得SA＝2．的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1）＝11，s2＝61．（2）≥2，有显著提高．【解答】解：（1）根据表中数据，计算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），填表如下：试验序号i伸缩率xi伸缩率yizi＝xi﹣yi计算平均数为＝zi＝×（9+6+8﹣8+15+11+19+18+20+12）＝11，968﹣835542345678910方差为s2＝2+42+02+82+72+92+12]＝61．＝×[（﹣2）2+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣19）（2）由（1）知，＝11，2＝2＜2＝5，所以≥2，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝﹣2n+15（n∈N•）．（2）当1≤n≤7时，Tn＝﹣n2+14n，当n≥8时，Tn＝n2﹣14n+98．【解答】解：（1）在等差数列中，∵a2＝11，S10＝40．∴，即，得a1＝13，d＝﹣2，则an＝13﹣2（n﹣1）＝﹣2n+15（n∈N•）．（2）|an|＝|﹣2n+15|＝即1≤n≤7时，|an|＝an，当n≥8时，|an|＝﹣an，当1≤n≤7时，数列{|an|}的前n项和Tn＝a1+⋯+an＝13n+＝﹣n2+14n，，当n≥8时，数列{|an|}的前n项和Tn＝a1+⋯+a7﹣⋯﹣an＝﹣Sn+2（a1+⋯+a7）＝﹣[13n+]+2×＝n2﹣14n+98．，PB＝PC＝，19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．（1）求证：EF∥平面ADO；（2）若∠POF＝120°，求三棱锥P﹣ABC的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】 （1）证明：在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足为H，设AH＝x，则HB＝2﹣x，因为FH∥CB，所以Rt△AHF∽Rt△ABC，所以x，＝，即＝，解得HF＝又因为∠BFH＝∠FBO，所以∠AOB＝∠FBH，且∠BHF＝∠OBA＝90°，所以Rt△BHF∽Rt△OBA，所以＝，即＝，解得x＝1，即AH＝1，所以H是AB的中点，F是AC的中点，又因为E是PA的中点，所以EF∥PC，同理，DO∥PC，所以EF∥DO，又因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO；（2）解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝，所以，因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P﹣ABC的高为PM，因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，所以，＝2×，＝．△ABC的面积为S△ABC＝×AB×BC＝×2×2所以三棱锥P﹣ABC的体积为V三棱锥P﹣ABC＝×220．（12分）已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）（ln2）x+y﹣ln2＝0；（2）．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，则f（x）＝（﹣1）ln（1+x），求导可得，f\'（x）＝当x＝1时，f（1）＝0，当x＝1时，f\'（1）＝﹣ln2，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣0＝﹣ln2（x﹣1），即（ln2）x+y﹣ln2＝0；（2）f（x）＝（+a）ln（1+x），则f\'（x）＝函数f（x）在（0，+∞）单调递增，则0，令g（x）＝ax2+x﹣（x+1）ln（x+1）（x＞0），求导可得，g\'（x）＝2ax﹣ln（x+1），当a≤0时，则2ax≤0，ln（x+1）＞0，故g\'（x）＜0，即g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意，令m（x）＝g\'（x）＝2ax﹣ln（x+1），则m\'（x）＝2a﹣当a，，化简整理可得，﹣（x+1）ln（x+1）+x+ax2≥，，，即2a≥1时，，m\'（x）＞0，故m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，即g\'（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以g\'（x）＞g\'（0）＝0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，当0＜a＜时，令m\'（x）＝当x∈单调递减，g\'（0）＝0，当x∈∵g（0）＝0，∴当x∈时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意，．时，g\'（x）＜g\'（0）＝0，g（x）单调递减，＝0，解得x＝，）上单调递减，即g\'（x）时，m\'（x）＜0，m（x）在区间（0，综上所述，a的取值范围为21．（12分）已知椭圆C：上．（1）求C的方程；+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．【答案】（1）椭圆C的方程为；（2）MN的中点为定点（0，3），证明过程见解析．【解答】解：（1）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为证明：（2）如图，；要使过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）＝0．Δ＝[8k（2k+3）]2﹣4（4k2+9）•16k（k+3）＝﹣1728k＞0．，，直线AP：y＝，取x＝0，得M（0，）；直线AQ：，取x＝0，得N（0，）．∴＝＝＝2＝2＝2×．∴MN的中点为（0，3），为定点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ（＜α＜π）．（1）写出C1的直角坐标方程；（2）若直线y＝x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点、求m的取值范围．【答案】（1）x2+（y﹣1）．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ（≤θ≤），2≤θ≤），曲线C2：（α为参数，＝1，（x∈[0，1]，y∈[1，2]）；（2）根据转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，因为≤θ≤，≤2θ≤π，x＝ρcosθ＝2sinθcosθ＝sin2θ∈[0，1]，y＝ρsinθ＝2sin2θ＝1﹣cos2θ∈[1，2]，所以C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，x∈[0，1]，y∈[1，2]；（2）由于曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C2：（α为参数，0＜y＜2）；如图所示：＜α＜π），转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，（﹣2＜x＜0，由于y＝x与圆C1相交于点（1，1），即m＝0，当m＜0时，直线y＝x+m与曲线C1没有公共点；当曲线C2与直线y＝x+m相切时，圆心C2（0，0）到直线y＝x+m的距离d＝解得m＝2（负值舍去），，由于直线y＝x+m与曲线C2没有公共点，所以m，故直线y＝x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点、实数m的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝2|x|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6﹣x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组【答案】（1）不等式的解集为[﹣2，2]．（2）8．【解答】解：（1）当x≥2时，f（x）＝2x+x﹣2＝3x﹣2，当0＜x＜2时，f（x）＝2x﹣x+2＝x+2，当x≤0时，f（x）＝﹣2x﹣x+2＝﹣3x+2，则当x≥2时，由f（x）≤6﹣x得3x﹣2≤6﹣x，得4x≤8，即x≤2，此时x＝2．当0＜x＜2时，由f（x）≤6﹣x得x+2≤6﹣x，得2x＜4，即x＜2，此时0＜x＜2．当x≤0时，由f（x）≤6﹣x得﹣3x+2≤6﹣x，得2x≥﹣4，即x≥﹣2，此时﹣2≤x≤0．综上﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]．（2）不等式组等价为，所确定的平面区域的面积．作出不等式组对应的平面区域如图：则B（0，2），D（0，6），由由，得，得，即C（2，4），，即A（﹣2，8），则阴影部分的面积S＝S△ABD+S△BCD＝×（6﹣2）×2+×（6﹣2）×2＝4+4＝8．