2023年12月2日发(作者：锡山区小升初数学试卷真题)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二 .数学 单项选择（共10小题，计30分）
1．设集合M0,1,2,N0,1，则MN( )
A．2 B．0,1 C．0,2 D．0,1,2
2. 不等式x12的解集是( )
A．x<3 B．x>－1 C．x<－1或x>3 D．－1 3．已知函数f(x)2x2，则f(1)的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4. 函数y2x1 在定义域R内是( ) A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数 5. 设a4,b80.90.481,c21.5，则a,b,c的大小顺序为 （ ） A、abc B、acb C、bac D、cab 6.已知a(1,2)，bx,1，当a+2b与2a-b共线时，x值为（ ） A. 1 B.2 C . 11 D. 327. 已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ） A.4 8．已知向量a(2,1)，b(3,)，且a⊥b，则（ ） A．6 B．6 C．B.5 C.6 D.7 33 D． 22) 9 点(0,5)到直线y2x的距离为( A． 5 2 B．5 C．3 2D．5 210. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A．12种 C．9种 B．10种 D．8种 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数= _________ ． 12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= _________ ． 13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 _________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ． 15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含3于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题12分）设数列{an}的前n项和Sn2ana1，且a1,a21,a3成等差数列。 （1）求数列{an}的通项公式； 11 （2）记数列{}的前n项和Tn，求得使|Tn1|成立的n的最小值。 an100017．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 18.（本小题满分12分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N。 （I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II）证明：直线MN//平面BDH （III）求二面角AEGM余弦值 C D GE EA B FD C MHA B 19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2的*图象上（n∈N）． （1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； x（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣数列{}的前n项和Tn． ，求 20.（本小题13分）如图，椭圆E:x22ab动直线l与椭圆相交于A,B两点。当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的y221的离心率是2，过点P(0,1)的2线段长为22。 （1） 球椭圆E的方程； （2） 在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPA恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 QBPB 21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e﹣ax﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围． x2 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A B 9 10 A 二、填空题： 11. 解解：复数答： ===﹣2i， 故答案为：﹣2i． 12. 解解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数， 答： ∴=1． 故答案为：1． 13. 解解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D， 答： 则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m ∴CD==46≈79.58m． 又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD=∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为：60m =≈19.5m 14. 解解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 答： 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点， 222则有PA⊥PB，∴|PA|+|PB|=|AB|=10． 故|PA|•|PB|≤故答案为：5 =5（当且仅当时取“=”） 15. 解解：（1）对于命题① 答： “f（x）∈A”即函数f（x）值域为R， “∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值， 故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b” ∴命题①是真命题； （2）对于命题② 若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值． ∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题； （3）对于命题③ 若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B， 则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞）， 并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M． ∴f（x）+g（x）∈R． 则f（x）+g（x）∉B． ∴命题③是真命题． （4）对于命题④ ∵函数f（x）=aln（x+2）+∴假设a＞0，当x→+∞时，（x）→+∞．与题意不符； 假设a＜0，当x→﹣2时，则f（x）→+∞．与题意不符． ∴a=0． →，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，（x＞﹣2，a∈R）有最大值， →0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f即函数f（x）=当x＞0时，（x＞﹣2） ，∴，即； 当x=0时，f（x）=0； 当x＜0时，，∴，即． ∴故命题④是真命题． 故答案为①③④． ．即f（x）∈B． 三、解答题 16. 解：（1）当n2时有，anSnSn12ana1(2an1a1) 则an2an1(n2) an=2 （n³2） an-1则an是以a1为首项，2为公比的等比数列。 又由题意得2a22a1a322a12a14a1a12 则an2n (nN*) （2）由题意得11n (nN*) 由等比数列求和公式得an211[1()n]21(1)n Tn21212121n11019-）=() 又当n10时，（则Tn1（ ）=1024，（）=512 22221成立时，n的最小值的n10。 1000Tn1点评：此题放在简答题的第一题，考察前n项和Sn与通项an的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。 17. 解解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100． 答： 则P（X=﹣200）=， P（X=10）=P（X=20）=P（X=100）=故分布列为： X P ﹣200 =， 10 20 =， ． 100 = =， 由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=． 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． 18. 【答案】 （I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 H N GLE FD C K QA B M （II） 连接BD，取BD的中点Q，连接MQ 11因为M、Q为线段BC、BD中点，所以MQ//CD//GH且MQCDGH 221又因N为GH中点，所以NHGH 2得到NHMQ且NH//MQ 所以四边形QMNH为Y 得到QH//MN 又因为QH平面BDH 所以MN//平面BDH（得证） （III） 连接AC，EG，过点M作MKAC，垂足在AC上，过点K作平面ABCD垂线，交EG于点L，连接ML，则二面角AEGMMLK 因为MK平面ABCD，且AEABCD,所以MKAE 又AE，AC平面AEG,所以MK平面AEG 且KLAEG，所以MKKL，所以三角形MKL为RT 设正方体棱长为a，则ABBCKLa， 所以MCa， 22a 4因为MCK45，三角形MCK为RT，所以MKMCcos452aMK2224所以tanMLK，所以cosMLK 3KLa4所以cosAEGMcosMLK 19. x解解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2的图象上， 答： ∴， 22 3 又等差数列{an}的公差为d， ∴==2， d ∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上， ∴ ∴ 又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n﹣3n． 2=b8， d=4=2，解得d=2． xx（2）由f（x）=2，∴f′（x）=2ln2， ∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为， 又，令y=0可得x=， ∴，解得a2=2． ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n， n∴bn=2． ∴∴Tn=∴2Tn=1++． +…++…++， ， 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣ ==． 20: 【答案】 解：（1）由题知椭圆过点2,1。得 c2ea221221解得：a2,bc2。 aba2b2c2x2y21。 所以，椭圆方程为：42(2)假设存在满足题意的定点Q。 当直线l平行于x轴时，不妨设Q0,a QAPA1，A,B两点关于y轴对称，得Q在y轴上。QBPB当直线l为y轴时，QAQBa2PA12,,a1。解得a2 a2PB12下证对一般的直线l:ykx1，Q0,2也满足题意。 由QAPA得y轴为AQB的角平分线。所以kQAkQB。 QBPB不妨设Ax1,y1,Bx2,y2 y1kx11,y2kx21 y12y22，化简得2kx1x2x1x2① x1x2又椭圆方程与直线方程联立得： ykx1，12k2x24kx20 22x2y4x1x24k2 ,xx122212k12k带入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。 21: x2x解解：∵f（x）=e﹣ax﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e﹣2ax﹣b， 答： 又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e， ∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e﹣2a≥0， x∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b； ②当，则1＜2a＜e， xx∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e﹣2a＞0， ∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增， g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当时，则2a≥e，g′（x）=e﹣2a≤0， x∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b， 综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为； （2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0， 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， 由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 若令h（x）=则∴h（x）在区间（1，．由，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 （1＜x＜e） ＞0⇒x＜ ）上单调递增，在区间（=+，e）上单调递减， ＜0，即gmin（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔， 又，所以e﹣2＜a＜1， ⇒综上得：e﹣2＜a＜1．
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函数,直线,存在,正方体
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