初中数学几何模型大全

2024年1月10日发(作者：数学试卷讲评的有效方式)

初中数学几何模型大全

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作

线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量 代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

边的垂

对称半角模型

说明：上图依次是

45°、30°、22.5

15°及有一

个角是

30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方 形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型 半角：有一个角含

1/2

角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二 分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼 接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法： 遇

60

度旋

60

度，造等边三角形 遇

90

度旋

90

度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋

180

度，造中心对称

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是 一个经常考察的内容。通过“

8

”字模型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形 的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混 用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边 形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两 组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正

方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中 点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三 角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直 角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰 直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋

转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角 形从而得证

几何最值模型

对称最值

（

两点间线段最短

）

对称最值

（

点到直线垂线段最短

）

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及 点到直线距离。

旋转最值

（共线有最值

）

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线 段，定长线段的和为最大值， 定长线段的差为最小值

剪拼模型

三角形→四边形

说明：剪拼主要是通过中点的

180

度旋转及平移改变 图形的形状。

矩形T正方形

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与 旋转完成形状改变

正方形

+

等腰直角三角形→正方形

旋转相似模型

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个 角是

300

角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转 相似。第三边所成夹角符合旋转“

8”字的规律。

相似模型

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在 证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作 用。

说明：（

1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以

30

度、

45

度、

60

度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之 间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交 弦定理（可以推广到圆幕定理）之间的比值可以转换 成乘积，通过等线段、

等比值、等乘积进行代换，进 行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题 冃的条件或者结论的比值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

＜1＞等边三角

形

＞条件：WaG均为竽边三倉形

A g⅛. ([)AOAC I^OBD,②\"EE∙60∙y

③OE平分\"EDr

<2)尊膜S

A Skfr= SMOCQ均为誓IBMft三角形

A 结论-(D A。\"\' ■

Z)BD J

② LAEfi

・ W J

A③OE平分\"—

<3> fflKS!RΞ角形

A ⅛ft= MWMeD均为等腰三角形

A 结论:φΔO4C∙ΔO5D.② LAEB ■ LAOB.

A③OE平分UEDo

A模型二手拉手模型-旋转型相似

⑴一«8况

A条件：2仏初，将AoCD檢转至右囲位gj

＞结论^

” 右图中①AoCgMλ40 8A⑵亡^OBD .

＞②延长M交加于点乙必吉\"\"C ■ \"6

＜2)特殊慣况

A 条f|：s CDIIABf ZL40∕<-90∖

将

AoCD旋转至右图 位削

A 箔论二右图中Θ ^oCD^OAB LOAC \'OBD ?②

^AC^BD于点八必有QBEe・SO\"

tan LOCD

必初4D * BdB： YD： J⑥九“冷“\"。

(5H⅜St ΛD.

BC9

I

＜对谢姮相垂直的四边形)

A模型三：对角互补模型

⑴全等县MO

>条件：①厶枪B・LDCE ∙ 900 J②OC平分LAOB

> 结论

1

①CD=CEQQD*nλ^-√2OC J

③

SlNXE ■ E皿D + SM)U - - OCl

A证聆S示，

(WE垂基如图，证明MYXW ■ ACE∖∖

②过点C作CF丄°∙如上因<⅛> ,证明AOX WEJ

>当JKE的—边交加的延长线于点D时：

以上三个第论=<∏CD=c∑

（不变）,

厂

①

cSWvT-SArtr\"■丄

OC\'

OE-OD ∙ JlOC、③ 2

此结论砂方法境 种l≡况 致，可自f冷试.

<2)全等县H(F

A条件：①厶\"用■

2厶QCE■ 120° ■

> (^OC^LAOBJ

A 结论2

(Dc ZJ-C£,② 0D +OE

・CX §

A UR腮示≡①可替考全笄型

W证法一

y

Il

①如團：在00上取一点Ff使OF=OC,证明MX下 为等边三角形。

A 1：① GDB

-

2ΓMW

LDCE -IXO- 2ct

J

② CD^CEi

A 结论；φ∕X ψ^2L lf>∕∕j ® OJ） + O£ - 26X ∙ CoSa

J

A @,^αxι \" ^MX-B * ∙^⅛αn ■（K ∙sina ∙CoSa .

A当ZDcF的一边交X。的延长线于点Q时（⅜∏⅛±S）:

原结论变成2①

② ________________________________________

⑧ _______________________________ I

可彗考上述第②种万注道厅证明。诸思孝初始条件的娈化对模型的彩响.

A对角互删型碍

①常见初始華件：四边形对角互补；注育两点：四点尹圈及直角三甬形斜边中线,

硼始粲件“角平分线”与“俩边相事\'的区别；

③ 两丫怖见的辎助线作法刁

魏意OC平分LAoHW↑f LCI）K^ LCED・LCoA・相尊如何Jt导？

A模型四：角含半角模型亦

<1>角含半角模型-1

A O≡

0正方形②

45o

l

A结论’(D EF ■ DF t BE .②KEF的周长为正方形MeD周长的一半$

A 豺h (D正万形MeJ②吩 \"♦处

A 结论二

LEAF - 45°

⑵鮎半角《03对~2

A条件=①正方形ABCDi②CEAF - 45°

S

A S⅛≡ EF ∙DF -BE

A φ RTMBC、② ZaIAW ■ 45。J

若浪锄Q肚外部时，结论刃丁

YE \"尸仍然成立.A 结论二

B\" «CE ≡ I)E

iA*h

M .41

V

(*i⅛^≡∙-)

1/ -45o.Λ

SM

・ J(IF

∙∙∙ ZvVf-Z

Λl∕WSAJ(W

Λ

∖4fXUX

A条件：①正方形砒D.②ZEAF - 45β

f

>结论：

WF为萼腥直曲三甬彤。

产模率五：倍长中线类模型

A 条件二備形肋C②BD ∙ BE •③DF

A 结论；AFkCF

模塵提取2①有平行线川Q MG

②平行线间^段有中点、DF・

On*⅛½ “8”字全等阳M ■ AE卜.

⑵*中-2

> 荼件=嗨行四边形

ABCDi ②

BC ■ IAB、Q) AM ∙ DM , ® CE JL AD.

A拮论,厶EMD・3乙MEA

： If Mt .UiJfCD . <ΨA .

⅛K EV.I⅛ii

∖A∖2MN卜・込\"CU 杓

邊耳・

Xf：K WfCF

D

.-H亿

模型六：相似三角形36

A条件：①M叭（•均 为竽腰直角三角形丿②

EF ∙CF

A 结论：（D DF∙RF ；②

I）F

丄

BF

<0 ≡ΛΞft形360-昭硼伺沖溉

A 尉h （DMM、心必均为等謄直角三角形,②EF心、

A结论2①DF ∙ BF、②DF丄BF

傀巴感;将I）F ⅜ Hl 4>比列C

UlMrU Wjitlf KΛ Λ X4KG . XArrC

A制条件： & ” 俺①MMBShW

W-<7> •

②乙•卜仝OAB

・“DC・90°；

③ RE∙CE°

V*>Λr ■A 结论

:（D^・【）E）②\"ED• 2GRO

（KH ∙⅛it<⅜

∠ ■ 90°

XMfV ItiI DF HAG. ft FG

・ DF • 4.

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A模型七：最短路程模型

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> 斛：①比・平分SoB ；②M为M上一走点；© P为(疋上T点；④0为°”上一动点; >求,wι*PQ最」、时，卩・。的位雋？

<3)最短路程模里二〈点到直埠B

条件：J(O4)∙B(-20M(0∕)

⅛8:

nħ何值时•

求鮮方法=Ol轴上取G2.0),梗m乙W

5 ,②过〃作创J丄M,交*由于点©良呀所求,

Ian LEtio « tan LoAC

2 ,即

E((M).

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1Λ≡vi≡角模型

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A模型九：梅似三角形模型

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