华东师范大学 数学分析 第10章

2024年1月10日发(作者：学而思6年级数学试卷下册)

第十章 定积分的应用

课后习题全解

§1 平面图形的面积（教材上册P242）

1．求由抛物线y=x2与y=2-x2所围成图形的面积。

解 该图形如图10-1所示.

yx2先由y2x2求出两线交点(1,1),所求面积为

{1183122x|A=[(2x)x]dx(22x2)dx=2x2=13.

31112.求有曲线y|lnx|与直线x10,x10,y0所围成图形的面积.

解 该图形如图10-2所示.

A10.1lnxdx101lnxdx

10 =(xlnxx)|10.1(xlnxx)|1

1 =10(99ln1081)

3.抛物线y22x把圆x2y28分成两部分,求这两部分面积之比.

y22x解 先由x2y28

{求出圆与抛物线交点为2,2.

设这两部分面积分别为s1及s2(图10-3)

s12(y2y2)dy

0y23288yarcsin1 =2(4226y)|0

2222 =243

s1s28

s1/s2(32)/(92)

4.求内摆线xacos3t,yasin3t(a0)所围成图形的面积.(图10-4).

a解

s4ydx

04(3a2sin4tcos2t)dt20

12a3a28220(sin4tsin6t)dt

5.求心形线ra(1cos)(a0)所围成图形的面积.

解 如图10-5所示

s2120a21cosd2

=32a2

6.求三叶形曲线所围成图形的面积.

解 如图10-6所示.

s612aa2sin3d2a24

§2 由平行截面面积求体积(教材上册p246)

1. 如图10-9所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截.试求截得楔形体的体积.

解 如图10-10所示,用垂直Oy轴的平面截割,得一直角三角形PQR设OP=z,则5x1高OR102x从而它的面积为

1

212x1x24x

xOz平面上椭圆方程为

x2

102z2421

则PQR面积为251Z于是所求体积

42

4z2

V225142dz2025z10016z234|0

4003

2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围立体的体积.

(1)ysinx,0x,绕x轴.(2)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a<0),0t2,绕x轴.(3)r=a(1+cos)(a>0),绕极轴。（4）b21,绕y轴.解

x2a2y2

1Vbay2(x)dx

V0sin2xdx22

(2)Vy2(t)dx(t)

a2223Va(1cost)a(1cost)dt5a

0b(3)V

V233r()sind,0,0rr()

232y2328aa(1cos)sind323

x(4)由b21,得yb1a2x2a2aa2222

4则Vydx2b(1b)dxab3a2a03．以知球半径为r，验证高为h的球缺体积（图10-11）

hVh(r

3)(hr)

2

解

V(r2x2)dx

rhr

rx2x23rrh

2hrh

3

§3 平面曲线的弧长与曲率（教材上册P252）

1．求下列曲线的弧长

1yx32,0x4;(2)xy1;(3)xacos3t,yasin3t(a0),0t2;(4)xacosttsint,ya(sinttcost)(a0,0t2);(5)rasin33(a0,03);(6)ra(a0),02.

解

(1)sba1y\'2(x)dx

827419

s4xdx0(10101)

(2)xcos4(t),ysin4t

222sx\'y\'

0ttdt

24sintcostcos4tsin4tdt022122[2(sint)]d(sint122)

00112322ln(12)2323(3)化为xya,设xacos3t,yasin3t(a0,0t2)

则S23asin2tcos2t(sin2tcos2t)dt

02asin2tdt0

6a32(4)x\'t2y\'t2a2t2cos2ta2t2sin2tat

22a222a

Satdt2t00

(5)r2r\'2asin2（图1012）

323aSasind

3203

(6)S20a22a2d

21ln(1]02122a[2

2a[14212ln(214)]§4 旋转曲面的面积（教材上册P225）

1．求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积

(1)ysinx,0x,绕x轴;(2)xa(tsint),ya(1cost)(a0),0t2;yx(3)a221,绕y轴;b22

(4)x2(ya)2r2(ra),绕x轴.解

(1)y\'cosx

由旋转体侧面积公式得

S2sin1cosxdx20201cos2xdx

2[2ln21]

(2)S2a(1cost)dx\'2(t)y\'2(t)

022ta(1cost)2asin2dt02

16a0sin3udu

643a2y2aby212(3)\'(y)[a1b2](1b2)y,

2yy212a[\'(y)]2[b(1)y](1)y22

abbb222a2b2y212a2y2)y2,

2(22

bbby222yayS2(y)1\'2(y)dy2a1212dx

2bbbbybb

ba42222b(ba)ydy,2bb当a=b时，S=4a2;b2a2

当ab时,S2a[aarcsin];

22bbaa2b2a当a>b时,S=2a[a+ln22bba（4）此圆分成两个单支

b2b2yar2x2及yar2x2S2

4

rrr2(arx)22rr2x22rr(ar2x2)rr2x2dx

ar

2．设平面光滑曲线由极坐标方程

r(),([,]0,,r0

给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。

解

yrsin,xrcos

旋转曲面

y\'r\'sinrcos,x\'r\'cosrsin

2

S2y()x\'()y\'d

22r\'cosrsinr\'sinrcosd

2rsinr2r\'2d2rsin3．试求下列极坐标曲线绕极轴所得旋转曲面的面积

（1） 心形线ra(1cos)(a0)

（2） 双纽线r2acos2(a0)

22

解

1S2a(1cos)sina2(1cos)2a2sin2d

024acos3sin(2acossin)d02224

28acos02sin2d

322a54ad2y22acos2sin0

cos224a22



§5 定积分在物理中的某些应用（教材上册P259）

1．有一等腰梯形闸门，它的上、下两底边各长10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。

解 如图（10-14）所示

阴影部分即从深度x到x+x这一窄条上的静压力为

FPS

106x)

20Vx(105x)x(V为液体比重，下同）Vxx(10所求静压力为

20xFVx(10)dx05x320V(5x)1502203

9.8(520)

1514373.33kN22.边长为a和b的矩形薄板，与液面成(090)角斜沉于液体中。设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h处，液体的比重为V。试求薄板每侧所受的静力。

解 如图（10-15）所示

dxFVa(hbsinx)

sinbsin1FVahbsinxdx

0sinbsinaVaV2bsin(hbsin)xx0sin2sin01abVhVab2sin

23．直径为6米的一球浸入水中，其球心在水面下10米处。求球面上所受静压力。

解 如图10-16所示建立坐标系

球面在水深xm处所受压力的微元为

dF232(x10)2dx

球面所受总压力13F2x32(x10)2dx7

1108.35(kN)

即球面上所受总压力为1108.35kN.

4．设在坐标轴的原点有一质量为m的质点，在区间[a,al][a0]上有一质量为M的均匀细杆，试求质点与细杆之间的引力。

解 如图10-17，以质点为原点，取一微元x，距原点x，m与x间的引力为

kmM

Fxlx2

m与M间的引力为

alkmM1kmM11kmM2dx

F

alxlaala(al)5．设有两条各长为l的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c，每根细杆的质量为M。试求它们之间的万有引力。（提示：在第4题的基础上再作一次积分）。

解 如图10-18所示

在l2上取一微元x，则x与l1引力为

xlF

x(xl)kMm则l1与l2引力为

clkM2Fdx

clx(xc)kMcl11kM2cldx2ln



2cxxcllc(c2l)226．设有半径为r的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为，在圆心处有单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。（图10-19）

解 取所对应的一段导线，电荷其电量为dQrd

它与圆心处正电荷在垂直方向上引力为

Fkrsinr2ksin

rrd2k

r 则导线与电荷作用力为0ksin7．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水。试问把水抽尽需做多少功？（如图10-20）

解 取一小薄层为微元

WVx(r2x2)x做的总功为

1022WVx(rx)dx01101Vx2r2x440

22500V76969.02kJ8．长10米的铁索下垂于矿井中，以知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？

解 取铁索的一小段为微元。（如图10-21），

Wx8gx(J)即

dW8gxdxJ10于是W8gxdx3920J09．一物体在某介质中按xct3作直线运动，介质的阻力与速度比。计算物体由x=0移至x=a时克服介质阻力所作的功。

dx的平方成正dta2Wf(x)dx,dx3ctdt 解

0dx2fk()9c2kt4dt

则Wc01a39ckt3ctdt27ck132423c01a3

t6dt722at273327c3kkac

c77010． 半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同。试问将球体从水中捞出需做多少功？（图10-22）

解 取一水平层的微元，对此微元须做功

Wv(2rx)Vv(2rx)[r2(rx)2]

v(2rx)(2rxx2)x

W2rv2rx2rxx2dx

044

vr4Jgr4kJ.

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