2021年陕西省中考数学真题及答案

2023年12月2日发(作者：江苏省如皋中学数学试卷)

2021年陕西省中考数学真题及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）1．计算：3×（﹣2）＝（　　）A．1B．﹣1C．6D．﹣62．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．3．计算：（a3b）﹣2＝（　　）A．B．a6b2D．C．D．﹣2a3b4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）A．60°B．70°C．75°（　　）D．85°5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）A．﹣5B．5C．﹣6D．67．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，则线段CE的长度是（　　）A．6cmB．7cmC．6cmD．8cm8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：xy……﹣260﹣41﹣63﹣4……下列各选项中，正确的是（　　）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．分解因式x3+6x2+9x＝　 　．10．正九边形一个内角的度数为 　 　．11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a的值为 　 　．12．若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可2以与该正方形的边相切）　 　．三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）14．（5分）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．15．（5分）解不等式组：16．（5分）解方程：﹣＝1．．17．（5分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．320．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张　 　；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线（结果保留根号）22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为 　 　，众数为 　 　；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．423．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　 　m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．26．（10分）问题提出5（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．62021年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）1．计算：3×（﹣2）＝（　　）A．1B．﹣1C．6D．﹣6【分析】根据有理数乘法法则进行运算．【解答】解：3×（﹣2）＝﹣4．故选：D．2．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A．不是轴对称图形；B．是轴对称图形；C．不是轴对称图形；D．不是轴对称图形；故选：B．3．计算：（a3b）﹣2＝（　　）A．B．a6b2C．D．﹣2a3b【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（a3b）﹣2＝故选：A．4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）＝．7A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定义，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），∴∠2＝180°﹣（25°+35°+50°），∴∠1＝180°﹣110°，∴∠1＝70°，故选：B．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（　　）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，8∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，∵tan∠ABD＝∴故选：D．6．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）A．﹣5B．5C．﹣6D．6，，【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原点的坐标代入求值即可．【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移8个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣5，把（0，0）代入，解得m＝﹣8．故选：A．7．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，则线段CE的长度是（　　）A．6cmB．7cmC．6cmD．8cm【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．9【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BM＝5，CM＝2，∴BM＝∴CN＝4，∴CE＝4CN＝2×4＝8，故选：D．＝＝4，×5＝3，8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：xy……﹣260﹣41﹣63﹣4……下列各选项中，正确的是（　　）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣610D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x﹣4＝（x﹣4）（x+2）＝（x﹣）4﹣∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，4）和（﹣1，（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当当x＞时，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．分解因式x3+6x2+9x＝　x（x+3）2　．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（9+6x+x5）＝x（x+3）2．故答案为x（x+5）210．正九边形一个内角的度数为 　140°　．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝故答案为：140°．11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a的值为 　﹣2　．＝140°．11【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+3＝0+a﹣4，解得：a＝﹣7．故答案为：﹣2．12．若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】反比例函数的系数为﹣2＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．【解答】解：∵2m﹣1＜2(m＜)，∴图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，又∵8＜1＜3，∴y5＜y2，故答案为：＜．13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切）　3+1　．【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，12∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝5﹣OE＝，，+3，∴AQ＝OA+OQ＝4+1＝3即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3故答案为3+2．三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）14．（5分）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+＝﹣．．﹣3﹣215．（5分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣8，解不等式≥2x﹣1，∴不等式组的解集为x＜﹣2．16．（5分）解方程：﹣＝1．【分析】方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得出（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），求出方程13的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣7）2﹣3＝（x+7）（x﹣1），x2﹣8x+1﹣3＝x3﹣1，x2﹣2x﹣x2＝﹣1﹣8+3，﹣2x＝3，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣3）≠0，所以x＝﹣是原方程的解．17．（5分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，则中点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．14【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．【解答】证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【分析】设这种服装每件的标价是x元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”从而得出等式方程，解方程即可求解；【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，10×0.8x＝11（x﹣30），解得x＝110，答：这种服装每件的标价为110元．20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张　　；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．15【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线（结果保留根号）【分析】本题设AD＝x,在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度．【解答】解：在△ADC中，设AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∴AD＝BD•tan30°，16即x＝(16+x)，+8，）＝16）m．，解得：x＝2∴AB＝7AD＝2×（8∴钢索AB的长度约为（1622．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为 　19.5℃　，众数为 　19℃　；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解即可；（2）根据加权平均数的定义列式计算即可；（3）用样本中气温在18℃~21℃的范围内的天数所占比例乘以今年9月份的天数即可．【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为故答案为：19.7℃，19℃；（2）这60天的日平均气温的平均数为×（17×8+18×12+19×13+20×9+21×6+22×8+23×6+24×5）＝20（℃）；＝19.5（℃），17（3）∵×30＝20（天），∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　1　m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；（3）令（2）中解析式y＝0，求出x即可．【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min跑了30m,∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）,“猫”5min跑了30m,∴“猫”的速度为：30÷5＝5（m/min）,∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),故答案为：1；（2）设AB的解析式为：y＝kx+b,∵图象经过A(4,30)和B(10,把点A和点B坐标代入函数解析式得：18,解得：,∴AB的解析式为:y＝﹣7x+58；(3)令y＝0,则﹣4x+58＝7，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣5＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．【分析】（1）取的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝∠COF，从而得到结论；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，则可判断△OBC∽△ABD，利用相似比求出BD＝8，则利用勾股定理可计算出AD＝10，接着利用圆周角定理得∠AFB＝90°，则可判断Rt△DBF∽Rt△DAB，然后利用相似比可计算出DF的长．【解答】（1）证明：取∵∴＝2＝，＝，的中点M、OF，∴∠COB＝∠BOF，19∵∠A＝∠COF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝2，＝，在Rt△ABD中，AD＝∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵∠BDF＝∠ADB，∴Rt△DBF∽Rt△DAB，∴＝，即＝，解得DF＝．25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接根据解析式即可求出B，C的坐标；（2）先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3，20取x＝0，得y＝8，∴C(8，8)，取y＝0，得﹣x5+2x+8＝5，解得：x1＝﹣2，x6＝4，∴B(4，6)；（2）存在点P，设P(0，∵CC\'∥OB，且PC与PO是对应边，∴即：解得：y1＝16，∴P(0，16)或P(2，26．（10分）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、，，，)．AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．【分析】（1）过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，先求出AH＝3最后用面积的差即可得出结论；，同理EG＝，21（2）分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，MK＝2x米，PK＝（800﹣x）米，进而得出S四边形OPMN＝4（x﹣350）2+470000，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝2，∴AH＝AD•sinA＝6×sin45°＝3，∵点E是AD的中点，∴DE＝AD＝8，同理EG＝，∵DF＝5，∴FC＝CD﹣DF＝3，∴S四边形ABFE＝S▱ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝7×3﹣×5×﹣＝；（2）存在，如图2，分别延长AE，与CD，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BN＝（800﹣x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣5x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣x（1200﹣6x）﹣＝7（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣7×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时．2223