高一数学笔记

2023年12月9日发(作者：苏教数学试卷难度分析表)

第一章集合

1一般地，探讨对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

2元素与集合的关系；

（1）假如a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

（2）假如a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）

A，记作aA（或a A）（举例）

3常用数集与其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

4任何一个集合是它本身的子集

5真子集的概念：若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：A B（或B A）

6空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本运算的一些结论：

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

若A∩B=A，则AB，反之也成立

若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

2AB，且BC，则AC

：

AA ○其次章函数

§1.2.2函数的表示法

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3 一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后依次，A到B的射与B到A的映射是截不同的．其中f表示详细的对应法则，可以用汉字叙述

补充：复合函数

假如y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则

y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

1.3.1函数的单调性

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

假如对于定义域I内的某个区间D内的随意两个自变量x1，x2，当x1

function）．

思索：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

留意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，○是函数的局部性质；

2 必需是对于区间D内的随意两个自变量x1，x2；当x1

2．函数的单调性定义

假如函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．推断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)－f(x2)；

○3 变形（通常是因式分解和配方）○；

4 定号（即推断差f(x1)－f(x2)的正负）○； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．

§1.3.2函数的奇偶性

1．偶函数（even function）（偶函数的图象关于y轴对称）；

一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(－x)=f(x)，则f(x)就叫做偶函数．

仿照偶函数的定义给稀奇函数的定义

2．奇函数（odd function）（奇函数的图象关于原点对称）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(－x)=—f(x)，则f(x)就叫做奇函数．

留意：○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或

f(－x)＋f(x) = 0，f(x)是奇函数．

留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

§1.3.1函数的最大（小）值

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意：

（1）对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

则，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思索：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

留意：

1 函数最大○（小）首先应当是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)

= M；

2 函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的，即对于随意的○x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的推断函数的最大（小）值的方法

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2 利用图象求函数的最大（小）值

○3 利用函数单调性的推断函数的最大（小）值

○ 假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

假如函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

§指数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，假如xna，则x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示．

式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）． 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a>0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00．

思索：（课本P58探究问题）nan=a肯定成立吗？．（学生活动）

结论：当n是奇数时，nana

a(a0)当n是偶数时，a|a|

a(a0)nn

．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义

规定：

amnnam(a0,m,nN*,n1)

mna1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

．有理指数幂的运算性质

（1）ar·arars

（2）(ar)sars

（3）(ab)raras

(a0,r,sQ)；

(a0,r,sQ)；

(a0,b0,rQ)．

§指数函数与其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential

function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

2 ．你能依据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

图象特征

a1

0a1

a1

函数性质

0a1

向x、y轴正负方向无限延长

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

自左向右看，

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R+

a01

增函数

图象渐渐上升

图象渐渐下降

在第一象限内在第一象限内的图象纵坐标的图象纵坐标都大于1

都小于1

x0,ax1

减函数

x0,ax1

在其次象限内在其次象限内的图象纵坐标的图象纵坐标都小于1

都大于1

函数值起先增函数值起先减图象上升趋势图象上升趋势长较慢，到了小极快，到了是越来越陡

是越来越缓

某一值后增长某一值后减小速度极快；

x0,ax1

x0,ax1

速度较慢；

课题：§对数

1．对数的概念

一般地，假如axN(a0,a1)，则数x叫做以底．a为．．N的对数（Logarithm），记作：

xlogaN a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式

1 留意底数的限制a0，且a1；

说明：○对数的性质

（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：loga10；

（3）底数的对数是1：logaa1；（4）对数恒等式：alog（5）logaann．

：§2.2.2对数函数（一）

（一）对数函数的概念

1．定义：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数（logarithmic

function）

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨 留意：○别．如：y2log2x，ylog5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数 指数 对数

○（二）对数的运算性质

假如a0，且a1，M0，N0，则：

1

loga(M·N)logaM＋logaN；

○2

logaMlogaM－logaN；

○留意：换底公式

logablogcb （a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca1．

logbaaNN；

x5N3

logaMnnlogaM

(nR)．

○利用换底公式推导下面的结论

（1）logabnnlogab；（2）logabmm函数对底数的限制：(a0，且a1)．

2 类比指数函数图象和性质的探讨，○探讨对数函数的性质并填写如下表

图象特征

a1

0a1

a1

函数性质

0a1

函数图象都在y轴右侧

图象关于原点和y轴不对称

向y轴正负方向无限延长

函数图象都过定点（1，1）

自左向右看，

自左向右看，

图象渐渐上升

图象渐渐下降

函数的定义域为（0，＋∞）

非奇非偶函数

函数的值域为R

11

增函数

减函数

第一象限的第一象限的图象纵坐标图象纵坐标都大于0

都大于0

x1,logax0

0x1,logax0

其次象限的其次象限的图象纵坐标图象纵坐标都小于0

0x1,logax0

x1,logax0

都小于0