2024年4月4日发(作者：有难度高三数学试卷吗)
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i的共轭复数为（ ）
i 1
A．B． ﹣i C． D． ﹣1
考点： 虚数单位i及其性质．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接利用复数的单位的幂运算求解即可．
607604+33
解答：
解：i=i=i=﹣i，
它的共轭复数为：i．
故选：A．
点评： 本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．
2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，
有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内
夹谷约为（ ）
A．134石 B． 169石 C． 338石 D． 1365石
考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
解答：
解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
607
故选：B．
点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇
数项的二项式系数和为（ ）
1211109
A．B． C． D．
2 2 2 2
考点： 二项式定理；二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
分析： 直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．
n
解答：
解：已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
n
可得
10
，可得n=3+7=10．
=2．
9
（1+x）的展开式中奇数项的二项式系数和为：
故选：D．
1
点评： 本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计
算能力．
4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ
1
，ς
1
），Y～N（μ
2
，ς
2
），这两个正态分布密度曲线
如图所示．下列结论中正确的是（ ）
22
A．
P（Y≥μ
2
）≥P（Y≥μ
1
）
对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） C．
B．
P（X≤ς
2
）≤P（X≤ς
1
）
D． 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题： 概率与统计．
分析： 直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．
解答：
解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ
1
＜μ
2
，从图中容易得到P（X≤t）≥P
（Y≤t）．
故选：C．
点评： 本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准
差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
5．（5分）（2015•湖北）设a
1
，a
2
，…，a
n
∈R，n≥3．若p：a
1
，a
2
，…，a
n
成等比数列；q：
2222222
（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）=（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．
p是q的充分必要条件 C．
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
考点： 等比数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑．
222222
分析：
运用柯西不等式，可得：（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）≥（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
）
2
，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．
2
解答：
解：由a
1
，a
2
，…，a
n
∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）≥（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），
若a
1
，a
2
，…，a
n
成等比数列，即有
222222
2222222
==…=，
2
则（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）=（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a
1
=a
2
=a
3
=…=a
n
=0，则a
1
，a
2
，…，a
n
不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
点评： 本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不
等式解题是关键．
6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）
=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]=sgnx B． sgn[g（x）]=﹣sgnx C． sgn[g（x）]=sgn[fD． sgn[g（x）]=﹣sgn[f
（x）] （x）]
考点： 函数与方程的综合运用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．
解答：
解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是
R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；
sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，
3
﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；
故选：B．
点评： 本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
属于中档题．
7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P
1
为事件“x+y≥”的概率，
P
2
为事件“|x﹣y|≤”的概率，P
3
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．B． C． D．
P
1
＜P
2
＜P
3
P
2
＜P
3
＜P
1
P
3
＜P
1
＜P
2
P
3
＜P
2
＜P
1
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算
比较即可．
解答： 解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：
P
1
：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），
则阴影部分的面积S
1
=1×1﹣
S
2
=1×1﹣2×=1﹣=，
=1﹣=，
S
3
=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，
∴S
2
＜S
3
＜S
1
，
即P
2
＜P
3
＜P
1
，
故选：B．
4
点评： 本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直
接通过图象比较面积的大小即可比较大小．
8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时
增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．
对任意的a，b，e
1
＞e
2
当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
B．
对任意的a，b，e
1
＜e
2
C．
D．
当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
解答：
222
解：由题意，双曲线C
1
：c=a+b，e
1
=；
双曲线C
2
：c′=（a+m）+（b+m），e
2
=
222
，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
，
故选：D．
点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x+y≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，
x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，则A⊕B中元
素的个数为（ ）
5
22
77 49 45 30
A．B． C． D．
考点： 集合中元素个数的最值．
专题： 新定义；开放型；集合．
分析： 由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，
1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）
（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，
0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，
2）}，根据定义可求
22
解答：
解：∵A={（x，y）|x+y≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，
0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣
2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，
﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，
﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）
（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），
（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，
3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，
﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素
故选：C．
点评： 本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元
素．
10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，
2n
[t
]=2，…，[t]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
3 4 5 6
A．B． C． D．
考点： 进行简单的演绎推理．
专题： 创新题型；简易逻辑．
分析： 由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4
解答： 解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），
又∵[t
]=2，∴t∈[2，3），
∴t∈[，），
24
又t
∈[2，3），∴t∈[4，9），
4
∴[t
]=4，
∴正整数n的最大值4
故选：B．
点评： 本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．
22
6
二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在
答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
解答：
解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
点评： 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．
12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos
2
cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数
为 2 ．
考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点
个数即可．
解答： 解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．
f（x）=4cos
=2sinx
2
cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
﹣|ln（x+1）|
=sin2x﹣|ln（x+1）|，
分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，
由函数的图象可知，交点个数为2．
所以函数的零点有2个．
故答案为：2．
7
点评： 本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．
13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得
公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°
的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100 m．
考点： 解三角形的实际应用．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦
定理求得h．
解答：
解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主
三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或
列式求解．
14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，
B（B在A的上方），且|AB|=2．
22
（1）圆C的标准方程为 （x﹣1）+（y﹣）=2 ；
22
（2）过点A任作一条直线与圆O：x+y=1相交于M，N两点，下列三个结论：
8
①=； ②﹣=2； ③+=2．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）
考点： 命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定．
专题： 创新题型；简易逻辑．
分析： （1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间
的关系，计算即可；
（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出
解答： 解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，
∴圆心C（1，），
22
则圆的标准方程为（x﹣1）+（y﹣）=2，
22
故答案为：（x﹣1）+（y﹣）=2．
（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），
又∵|AB|=2，且E为AB中点，
∴A（0，﹣1），B（0，+1），
22
∵M、N在圆O：x+y=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=
=
=
=
=
|NB|=
，
、、的值即可．
9
=
=
=
，
∴===，
同理可得
∴=
﹣
+
=，
，①成立，
=
=
﹣（
+（
）=2，②正确．
）=，③正确．
故答案为：①②③．
点评： 本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，
注意解题方法的积累，属于难题．
选修4-1：几何证明选讲
15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，
则= ．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 推理和证明．
分析： 利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．
10
2
解答：
解：由切割线定理可知：PA=PB•PC，又BC=3PB，
可得PA=2PB，
在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），
可得△PAB∽△PAC，
∴==．
故答案为：．
点评： 本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），
l与C相交于A，B两点，则|AB|=
．
考点： 简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后
求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．
解答： 解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，
由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x﹣y=﹣4．
22
联立，得，即．
∴A（
∴|AB|=
），B（），
．
故答案为：．
点评： 本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线
的位置关系，是基础的计算题．
11
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ π
0
x
）
2π
0 5 0
Asin（ωx+φ） ﹣5
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若
y=g（x）图象的一个对称中心为（
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析：
（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表
，0），求θ的最小值．
达式为f（x）=5sin（2x﹣）．
）．令（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣
2x+2θ﹣
θ=
=kπ，解得x=
，k∈Z．由θ＞0可得解．
．数据补全如下表：
，k∈Z．令=，解得
解答：
解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣
ωx+φ
x
0
π
2π
0 5 0
Asin（ωx+φ） ﹣5 0
）．
），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．
且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣
（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．
，0）成中心对称，令
．
=， 由于函数y=g（x）的图象关于点（
解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值
12
点评： 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）
的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．
18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公
比为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c
n
=
等比数列的求和公式，计算即可．
解答：
解：（1）设a
1
=a，由题意可得
，写出T
n
、T
n
的表达式，利用错位相减法及
，
解得，或，
n
﹣
1
当时，a
n
=2n﹣1，b
n
=2；
当时，a
n
=（2n+79），b
n
=9•；
n
﹣
1
（2）当d＞1时，由（1）知a
n
=2n﹣1，b
n
=2
∴c
n
==，
+7•
+5•
+
．
+
+9•
+7•
+…+
，
∴T
n
=1+3•+5•
∴T
n
=1•+3•
∴T
n
=2++
∴T
n
=6﹣
+…+（2n﹣1）•
+…+（2n﹣3）•
﹣（2n﹣1）•
，
+（2n﹣1）•
=3﹣，
，
点评： 本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的
积累，属于中档题．
19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD
13
中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接
DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角
（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用．
分析： 解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所
以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个
面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判
断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面
角的平面角，转化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐
标系，运用向量的数量积判断即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以
知，PB⊥平面DEF，所以
=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）
=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量
积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
解答： 解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，
14
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，
，
．
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=
则 tan
所以=
=tan∠DPF=
=
==，解得
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
（解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐
标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），
E是PC的中点，所以E（0，，），
于是=0，即PB⊥DE．
=（0，，），
=（λ1，﹣1），点
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以
=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；
=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
15
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
则运用向量的数量积求解得出cos==，
解得．所以所以==
时，=． 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
点评： 本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，
空间角的求解，属于难题．
20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使
用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每
天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：
吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：
元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元
的概率．
考点： 简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．
专题： 不等式的解法及应用；概率与统计．
分析： （1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，
目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获
利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．
（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．
解答： （12分）
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C
（6，0）．
将z=1000x+1200y变形为
当x=2.4，y=4.8时，直线l：
，
在y轴上的截距最大，
16
最大获利Z=Z
max
=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，
0）．．
将z=1000x+1200y变形为
当x=3，y=6时，直线l：
，
在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z
max
=3×1000+6×1200=10200．
当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，
4），D（9，0）．
将z=1000x+1200y变形为：，
当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利
Z=Z
max
=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z的分布列为：
Z 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P
1
=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
．
17
点评： 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率
的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON
可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖
画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与
椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小
值；若不存在，说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题： 创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进
行求解即可．
解答： 解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，
同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．
∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，
其方程为．
18
（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S
△OPQ
=
②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k
222
，
），
由消去y，可得（1+4k）x+8kmx+4m﹣16=0，
∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
222222
∴△=64km﹣4（1+4k）（4m﹣16）=0，即m=16k+4，①，
由，可得P（，），同理得Q（，），
原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x
P
﹣x
Q
|，
可得S
△OPQ
=|PQ|d=|m||x
P
﹣x
Q
|=|m|||=||②，
将①代入②得S
△OPQ
=||=8||，
当k＞时，S
△OPQ
=8（
2
）=8（1+）＞8，
当0≤k＜时，S
△OPQ
=8|
2
|=﹣8（）=8（﹣1+），
∵0≤k＜时，∴0＜1﹣4k≤1，
22
≥2，
∴S
△OPQ
=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，
∴当k=0时，S
△OPQ
的最小值为8，
综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．
点评： 本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形
的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
19
22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a
n
}的各项均为正数，b
n
=n（1+）a
n
（n∈N
+
），e为自
然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e的单调区间，并比较（1+）与e的大小；
xn
n
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令c
n
=（a
1
a
2
…a
n
）
，数列{a
n
}，{c
n
}的前n项和分别记为S
n
，T
n
，证明：T
n
＜eS
n
．
考数列与不等式的综合．
点：
专创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．
题：
分
x
（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e．取x=即可得到答
析：
案；
（2）由b
n
=n（1+）a
n
（n∈N
+
），变形求得
（n+1）．然后利用数学归纳法证明．
（3）由c
n
的定义、
n
n
，，，由此推测=
=（n+1）、算术﹣几何平均不等式、b
n
的定义及
n
，利用放缩法证得T
n
＜eS
n
．
x
解
（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e．
答： 当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
x
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e．
令，得，即．①
（2）解：；=；
．
20
由此推测：=（n+1）．②
n
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．
（2）假设当n=k时，②成立，即．
当n=k+1时，，由归纳假设可得
=
．
∴当n=k+1时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（3）证明：由c
n
的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b
n
的定义及①得
T
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
=
=
=
=
=
＜ea
1
+ea
2
+…+ea
n
=eS
n
．
即T
n
＜eS
n
．
点本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考
评： 查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是
压轴题．
21
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