考研数学三(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

2023年12月2日发(作者：南通2014模拟数学试卷)

考研数学三（线性方程组）历年真题试卷汇编1

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )．

A．当n＞m时，仅有零解

B．当n＞m时，必有非零解

C．当m＞n时，仅有零解

D．当m＞n时，必有非零解

正确答案：D

解析：解一 显然AB为m阶矩阵，因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组，而当m＞n时，有秩(AB)≤秩(A)≤n＜m．因而(AB)X=0有非零解．仅(D)入选． 解二 因秩(A)≤min(m，n)，秩(B)≤min(m，n)，而秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))，于是当n＞m时，有秩(A)≤m，秩(B)≤m，秩(AB)≤m，而AB为m阶矩阵．由于秩(AB)可能小于等于m，只能说当n＞m时，如果秩(AB)=m，则(AB)X=0只有零解，如果秩(AB)＜m，(AB)X=0必有非零解，因而(A)、(B)都不对． 又当n＜m时，秩(AB)≤n＜m，而AB为m阶矩阵，因而矩阵AB的秩小于未知数的个数，齐次方程(AB)X=0必有非零解，于是(C)也不对．仅(D)入选． 知识模块：线性方程组

2． [2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( )．

A．不存在

B．仅含一个非零解向量

C．含有两个线性无关的解向量

D．含有三个线性无关的解向量

正确答案：B

解析：解一 当A*≠O时，秩(A*)≠0．因而秩(A*)=n或秩(A*)=1．于是秩(A)=n或秩(A)=n-1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n-1．因而其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选． 解二 因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n-1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n－1．因而秩(A)=n-1．其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选． 解三 因A*≠o，故A*中至少有一个元素Aij=(－1)i+jMij≠0，即A的元素aij的余子式Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子行列式，故秩(A)≥n一1． 又由AX=b有解且不唯一，有秩(A)≤n－1＜n，故秩(A)=n－1，于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n－秩(A)=n－(n－1)=1．仅(B)入选． 知识模块：线性方程组

3． [2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．

A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]T

B．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]T

C．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T

D．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T

正确答案：C

解析：解一 仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合，即 2α1－(α2+α3)=(α1－α2)+(α1－α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1－(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为 X=α1+k[2α1－(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+k[2，3，4，5]T． 解二 仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故 α1－(α2+α3)=[2α1－(α2+α3)]=[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为Ax=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为 X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T， c为任意常数． 知识模块：线性方程组

4． [2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．

A．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)

B．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)

C．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)

D．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)

正确答案：C

解析：解一 仅(C)入选．因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n－秩(A)+1，故3－秩(A)+1≥3，即秩(A)≤1．又秩(A)≥1(如秩(A)=0，则A=0与AX=β≠0矛盾)，故秩(A)=1，所以AX=0的一个基础解系含n－秩(A)=3=1－2个解向量，而η3－η1，η2－η1均为AX=0的非零解，因而它们为AX=0的基础解系．又(η2+η3)／2中的系数1／2+1／2=1．由命题2．4．4．1知，(η2+η3)／1为AX=β的一特解．于是AX=β的通解为 (η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)． 解二 由非齐次线性方程组AX=B通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D)．事实上，(B)、(D)中的为AX=0的解，不是AX=B的特解，可排除(B)、(D)．又因AX=0的解η2－η1，η3－η1线性无关，故AX=0的基础解系至少包含2个解向量，从而排除(A)．仅(C)入选． 知识模块：线性方程组

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5． [2015年] 设矩阵若集合Ω={1，2}，则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( )．

正确答案：D

解析：注意到A为三阶范德蒙行列式，由秩(A)＜3得|A|=(2－1)(a－1)(a－2)=0，故a=1或a=2，即a∈Ω．排除(A)、(B)． 又当a=1时，由秩得到(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，亦即d∈Ω． 当a=2时，由故(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，亦即d∈Ω． 因而当a=1，2时，d∈Ω，排除(C)．仅(D)入选． 知识模块：线性方程组

[2016年] 设矩阵且方程组AX=β无解．

6． 求a的值；

正确答案：由得到a=0或a=2． 当a=0时， 故当a=0时，AX=β无解． 但当a=2时，故a=2时，AX=β有解，因而a=0时，AX=β无解． 涉及知识点：线性方程组

7． 求方程组ATAX=ATβ的通解．

正确答案：当a=0时， 则 由基础解系和特解的简便求法知，ATAX=0的基础解系为α=[－1，2，1]T． ATAX=β的特解为γ=[1，－2，0]T，故其通解为kα+γ(k为任意常数)． 涉及知识点：线性方程组

[2010年] 设已知线性方程组AX=b存在两个不同的解．

8． 求λ，a；

正确答案：解一 因AX=b有两个不同的解，则AX=0有非零解，因而AX=b有无穷多组解，故秩=秩(A)＜3．于是|A|=0，由 知λ=1或λ=－1．但当λ=1时，秩(A)=1≠秩()=2，因而λ=－1．当λ=－1时，有 因由秩(A)=秩=2＜3，得到a+2=0，即a=－2．因此λ=－1，a=-2． 解二 当λ=1时，方程组无解．当λ=－1时，由于秩(A)=秩=2．此时AX=b无解．将λ=一1，a=一2代入AX=b中，对其增广矩阵进行初等行变换，得到 由基础解系的简便求法得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1，0，1]T，AX=b的一个特解为β=[3／2，一1／2，0]T．因而AX=b的通解为 X=cα+β=c[1，0，1]T+[3／2，一1／2，0]T， c为任意常数． 解二 由知，原方程组的同解方程组为

令x3=0，得原方程组的一特解为η=[3／2，一1／2，0]T． 方程组对应的齐次方程组的等价方程组为其中x3为自由未知量．令x3=1，得齐次方程组的基础解系α=[1，0，1]T，故AX=b的通解为 X=η+kα=[3／2，一1／2，0]T+k[1，0，1]T， k为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

[2009年] 设

10． 求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

正确答案：Aξ2=ξ1，用初等行变换将其系数矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵，即 对应的齐次线性方程组的基础解系只含一个解向量α=[1／2，－1／2，1]T，原方程的一特解为η=[－1／2，1／2，0]T，故满足Aξ2=ξ1的所有向量 ξ2=k2α+η=k2[1／2，－1／2，1]T+[－1／2，1／2，0]=[k2／2－1／2，－k2／2+1／2，k2]T，其中k2为任意常数． 解方程组A2ξ3=ξ1，易求得因 对应的齐次线性方程组的一个基础解系含两个解向量α1=[－1，1，0]T，α2=[0，0，1]T，一特解为β=[－1／2，0，0]T，故满足A2ξ3=ξ1的所有向量 ξ3=k3α1+k4α2+β=[－k3－1／2，k3，k4]T，其中k3，k4为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

11． 对上题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

正确答案：证一 因ξ1，ξ2，ξ3为三维向量，可用行列式判别它们的线性相关性． 故ξ1，ξ2，ξ3线性无关． 证二 注意到Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1，自然会问Aξ1等于什么，易求得Aξ1=0．设 l1ξ1+l2ξ2+l3ξ3=0． ①

下面反复利用线性无关的向量ξ1≠0，证明l1=l2=l3=0．在式①两端左乘A，得到 l1Aξ1+l2Aξ2+l3Aξ3=l1·0+l2ξ1+l3Aξ3=l2ξ1+l3Aξ3=0．再在上面最后一个等式两端左乘A，得到 l2Aξ1+l3A2ξ3=l3ξ1=0．因ξ1≠0，故l3=0，代入式①得l1ξ1+l2ξ2=0，则 l1Aξ1+l2Aξ2=l2Aξ2=l2ξ1=0． 因ξ1≠0，故l2=0．再将l2=l3=0代入①得l1ξ1=0，因ξ1≠0，故l1=0．因此ξ1，ξ2，ξ3线性无关． 涉及知识点：线性方程组

12． [2002年] 设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

正确答案：设方程组的系数矩阵为A，由式(2．1．1．1)知|A|=[a+(n－1)b](a－b)n-1． (1)当a≠b且a≠(1－n)b时，|A|≠0，方程组仅有零解． (2)当a=b时，对A进行初等行变换得到 由基础解系的简便求法，得该方程组的一个基础解系为 α1=[－1，1，0，…，0]T， α2=[－1，0，1，0，…，0]T，…，αn－1=[－1，0，…，0，1]T．方程组的全部解为X=c1α1+c2α2+…+cn－1αn-1(c1，c2，…，cn-1为任意常数)． (3)当以=(1-n)b时，对A进行初等行变换得到 由基础解系的简便求法得到其基础解系为β=[1，1，…，1]T．方程组的全部解为X=Cβ，其中C为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

13． [2003年] 已知齐次线性方程组 其中试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

正确答案：方程组的系数行列式|A|为行和相等的行列式，易求得 (1)当|A|≠0，即b≠0且时，秩(A)=n，方程组仅有零解． (2)当|A|=0时，有b=0或两种情况． ①当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2++anxn=0． 由可知，ai(i=1，2，…，n)不全为零，不妨设a1≠0，则 因秩(A)=1，AX=a1x1+a2x2+…+anxn=0有非零解，一个基础解系含n—1个解向量：α1=[－a2／a1，1，0，…，0]T，α2=[－a3／a1，0，1，…，0]T，…，αn=[－an／a1，0，0，…，1]T． ②当即时，其系数矩阵可化为含最高阶单位矩阵的矩阵： 因而秩(A)=n—1，其基础解系只含一个解向量α=[1，1，…，1]T． 涉及知识点：线性方程组

[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中

14． 证明行列式|A|=(n+1)an；

正确答案：证一 利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．2知 故|A|=|A|T=(n+1)an． 证二 用数学归纳法证之． 当n=1时，|A|=|2a|=2a=(1+1)a1=2a，结论成立． 当n=2时，结论也成立． 假设结论对n－2，n－1阶行列式成立，则|A|n-2=(n－1)an－2，|A|n－1=nan-1．将|A|按第1行展开得到 |A|n=2a|A|n－1－a2|A|n-2=2－2a·nan-1－a2·(n－1)an-2=(n+1)an，即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n，都有|A|=(n+1)an． 证三 为方便计，令Dn=|A|．将其按第1列展开得到Dn=2aDn－1－a2Dn－2，即 Dn－aDn－1=aDn－1－a2Dn－2=a(Dn－1－aDn－2)=a·a(Dn－2－aDn－3) =a2(Dn－2－aDn－3)=…=an－2(D2－aD1)=an，故 Dn=an+aDn-1=an+a(an－1+aDn-2)=2an+a2Dn－2=… =(n－2)an+an－2D2=(n－2)an+an-2(a2+aD1) =(n－1)an+an－1D1=(n－1)an+an-1·2a=(n+1)an． 证四 利用行列式性质化成三角行列式求之． (注：命题2．1．1．2 设n阶三对称行列式则 ) 涉及知识点：线性方程组

15． 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

正确答案：由上题的结论知，当|A|=(n+1)an≠0即a≠0时，由克拉默法则知，该方程组AX=b有唯一解且唯一解的第1个分量为x1－D1／|A|，其中将A的第1列换成[1，0，…，0]T，得到 故x1=D1／|A|=nan-1／[(n+1)an]=n／[(n+1)a]． 涉及知识点：线性方程组

16． 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

正确答案：解一 当(n+1)an=0即a=0时，此时增广矩阵和系数矩阵的秩均为n－1＜n，故方程组有无穷多组解，且 是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n－秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法知，基础解系和特解分别为 α=[1，0，0，…，0]T， η=[0，1，0，…， 0]T，故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数． 解二 因秩(A)=秩=n－1，故|A|=(n+1)an=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为自由变量为x1，取x1=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]T，AX=0的通解为kα，k为任意常数． 又因AX=b的同解方程组为令满足上述方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]T．或在同解方程组中令自由变量x1=0，也可得到η．所以AX=b的通解为k[1，0，0，…，0]T+[0，1，0，…，0]T，尼为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

[2012年] 设

17． 计算行列式|A|；

正确答案：由式 知，|A|=1+(－14+1a4=1－a4=(1－a2)(1+a2)． 涉及知识点：线性方程组

18． 当实数a为何值时，方程组AX=β有无穷多解，并求其通解．

正确答案：为使秩(A)＜4，必有|A|=0，因而a=1或a=－1． 当a=1时，用初等行变换易化为行阶梯形矩阵，得到因秩(A)=3，而秩故a=1时，AX=β无解． 当a=－1时，用初等行变换将化为含最高阶单位矩阵的阶梯形矩阵：因秩故当a=－1时，AX=β有无穷多解． 由基础解系和特解的简便求法得到其对应的齐次方程组的一个基础解系只含一个解向量α=[0，0，1，1]T，原方程组的一特解为η=[0，－1，0，0]T，故原方程组的通解为 x=kα+η=k[0，0，1，1]T+[0，－1，0，0]T， k为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

[2017年] 设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．

19． 证明r(A)=2；

正确答案：设A的特征值为λ1，λ2和λ3，因A有3个不同的特征值，故A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 因为λ1，λ2，λ3两两不同，所以r(A)≥2．又因α3=α1+2α2，所以α1，α2，α3线性相关，从而r(A) 得AX=β的通解为 涉及知识点：线性方程组

21． [2007年] 设线性方程组 (I)与方程 (Ⅱ)：x1+2x2+x3=a-1．有公共解．求a的值与所有公共解．

正确答案：解一 将方程组(I)与方程(Ⅱ)联立得到 显然，方程组(Ⅲ)的解既满足方程组(I)，又满足方程(Ⅱ)，反之，方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解必满足方程组(Ⅲ)，因此为求方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解只需求方程(Ⅲ)的解即可． 用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵： (1)当a=1时， 方程组(Ⅲ)一个基础解系只含n－秩(A)=3－2=1个解向量α=[－1，0，1]T．因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为kα(k为任意实数)． (2)当a=2时，秩(A)=秩=3=n，方程组(Ⅲ)有唯一解，此时 故方程组(Ⅲ)的解为β=[0，1，－1]T，即方程组(I)与方程(Ⅱ)有唯一公共解为β=[0，1，－1]T． 解二 先求出方程组(I)的解，将其代入方程(Ⅱ)求出其公共解．方程组(I)的系数行列式为一个三阶范德蒙行列式，其值为 (1)当a≠1且a≠2时，方程组(I)只有零解．此零解不满足方程(Ⅱ)，故a≠1且a≠2时方程组(I)与方程(Ⅱ)没有公共解． (2)当a=1时，D=0，方程组(I)的系数矩阵A的秩，秩(A)知，其基础解系只含一个解向量α1=[－1，0，1]T，所有解向量为k1α1，其中k1为任意常数．将此解代入方程(Ⅱ)，有 x1+2x2+x3=-k1+2·0+k1=0=a－1．因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为k1α1=[－k1，0，k1]T． 事实上，当a=1时，方程(Ⅱ)是方程组(I)的一个方程，方程组(I)的解都满足方程(Ⅱ)，所以当a=1时方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为 k1α1=k1[－1，0，1]T，其中k1为任意常数． (3)当a=2时，D=0，则方程组(I)必有非零解，由 知，一个基础解系只含一个解向量α2=[0，－1，1]T．方程组(I)的所有解为k2α2=[0，－k2，k2]T．将其代入方程(Ⅱ)，有 x1+2x2+x3=0－2k2+k2=－k2=a－1=1． 为此仅取k2=－1．因而当a=2时，其公共解为[0，1，－1]T这一个解． 涉及知识点：线性方程组

22． [2005年] 已知齐次线性方程组(I)与方程组(Ⅱ)同解，求a，b，c的值．

正确答案：解一 方程组(Ⅱ)的未知数的个数大于方程的个数，故必有无穷多解，因而必有基础解系．于是方程组(I)也有无穷多解，则方程组(I)的系数矩阵的秩必小于3．由此可确定a．而方程组(I)的系数矩阵 因秩(A)＜3，从而a=2，且α=[1，－1，1]T为方程组(I)的一个基础解系．它当然也是方程组(Ⅱ)的解．将x1=－1，x2=－1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可求得b=1，c=2或b=0，c=1． 当b=1，c=2时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵化为其基础解系也只含一个解向量α=[－1，－1，1]T，故方程组(I)与(Ⅱ)同解． 当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化为其基础解系含两个解向量，方程组(I)与(Ⅱ)的解不同，因而它们不同解． 因而当a=2，b=1，c=2时，两方程组同解，故所求的常数为a=2，b=1，c=2． 解二 因方程组(I)与(Ⅱ)同解，而方程组(Ⅱ)有无穷多组，故方程组(I)也有无穷多组解，则方程组(I)与(Ⅱ)的联立方程组 也必有无穷多组解．因而其系数矩阵A的秩必小于等于2，而用初等行变换化A为阶梯形，得到 由式①得到a=2，解式②与式③得到b(1-b)=0，故b=1或b=1．当b=1时，有c=2；当b=0时，c=1． 上面由方程组(Ⅲ)有无穷多解求出了参数a，b，c的取值，但这些取值能否保证两方程组同解，还要加以判别．事实上，当a=2，b=1，c=2时，方程组(I)的基础解系为[-1，－1，1]T．而对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施行初等行变换，有 显然，它也有相同的基础解系[－1，－1，1]T，故方程组(I)与(Ⅱ)同解，但当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可由初等行变换化为显然，其基础解系为α1=[0，1，0]T，α2=[－1，0，1]T与方程组(I)的不同，所以它们不同解． 涉及知识点：线性方程组