2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2023年12月2日发(作者：高考数学试卷选择题分数)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

理科数学试题

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分．

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A{xR|x|2}｝，B{xZ|x4}，则AB

（A）（0，2） (B）[0,2］ （C）｛0,2] （D）{0,1,2}

(2）已知复数z3i,z是z的共轭复数，则zz=

2(13i)11 (B） （C) 1 （D)2

42x（3）曲线y在点(1,1)处的切线方程为

x2(A)(A)y2x1 (B)y2x1 （C）

y2x3 （D）y2x2

（4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的P0(2,2)，函数图像大致为

d2tOπ4

A B C D

（5)已知命题

p1：函数y2x2x在R为增函数，

p2:函数y2x2x在R为减函数，

则在命题q1：p1p2，q2:p1p2，q3：p1p2和q4:p1p2中，真命题是

(A）q1，q3 （B)q2,q3 （C）q1,q4 （D）q2，q4 (6）某种种子每粒发芽的概率都为0。9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

(A）100 （B）200

（C）300 (D）400

（7）如果执行右面的框图,输入N5，则输出的数等于

开始输入Nk=1,S=0S=S+1k(k+1)54（A） (B）

4565（C） (D）

56（8）设偶函数f(x)满足f(x)x8(x0)，

则{x|f(x2)0}

（A）

{x|x2或x4} （B）

{x|x0或x4}

（C)

{x|x0或x6} (D）

{x|x2或x2}

3k=k+1是k

 （B） （C) 2 (D）

2

22（10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积（9)若cos为

(A）

a

21tan(B）

72a

3(C）

112a

3（D)

5a

2|lgx|,0x10,(11)已知函数f(x)1若a,b,c互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc

x6,x10.2的取值范围是

(A）

(1,10) （B)

(5,6) （C）

(10,12) (D）

(20,24)

(12)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则E的方程式为

x2y2x2y2x2y21 （B）

1 (C）

1 （（A）

364563D） x2y21

54第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题,每个试题考生都必须做答，第（22）题~第(24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）设yf(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算积分10f(x)dx，先产生两组（每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…xN和y1,y2,…yN，由此得到N个点(xi,yi)(i1,2,…,N)，再数出其中满足yif(xi)(i1,2,…,N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分近似值为 .

（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种)

（15）过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为____

（16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD的面积为33，则BAC=_______

三,解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

（17)（本小题满分12分)

2n1设数列an满足a12,an1an32

10f(x)dx的1DC，ADB=120°,AD=2,若△ADC2（1)求数列an的通项公式；

(2)令bnnan,求数列的前n项和Sn

（18)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高 ,E为AD中点

（1）证明：PEBC (2）若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

(19）(本小题12分)

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

男

是否需要志愿

需要

不需要

40

160

30

270

女

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3)根据（2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由

n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2k)

0。050 0.010 0。001

k

(20)（本小题满分12分）

3。841 6。635 10。828

x2y2设F1,F2分别是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l

ab与E相交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。

(1)求E的离心率；

(2） 设点P(0,1)满足PAPB，求E的方程

（21）（本小题满分12分)

设函数f(x)e1xax。

（1）若a0，求f(x)的单调区间；

x2（2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

（22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图：已知圆上的弧ACBD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD;

（Ⅱ)BC=BE ×CD．

(23）(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程

已知直线C1：

（Ⅰ)当=2x1tcosxcos（为参数)．

(t为参数),圆C2ytsinysin时，求C1与C2的交点坐标：

3（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)=2x41．

(Ⅰ）画出函数yf(x)的图像：

(Ⅱ）若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围 2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷)

理科数学答案

1．【解析】A{xR|x|2,}{xR2x2}，

B{xZ|x4}{xZ0x16},故AB{0,1,2}．应选D．

2．【解析】z3i3i13i11(3i)(13i)(3i)

2284(13i)223i13i111zz(3i)(3i)．应选A．

4443i3i2112另解：由z可得．

zzz222224(13i)13i3．【解析】由y应选A．

4．【解析】通过分析可知当t0时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案A，D，再根据当t2x2,ky可得y1(x2)2x2x2x12,y12(x1),y2x1

4时,可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B,应选C．

xxxx5．【解析】：p1：函数y22在R为增函数为真命题，而函数y22为偶函数,则y22在R不可能为减函数,p2:函数y22在R为减函数为假命题，则xxxxp1为假命题，p2为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C． 6．【解析】由题意可知播种了1000粒,没有发芽的种子数服从二项分布，即~B(1000,0.1),而X2，则EX2E210000.1200．应选B．

7．【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

11111

122334455611，应选D．

22334455666S0

8．【解析】当x0时，则x0，由偶函数满f(x)足f(x)x8(x0)可得,

3x38(x0)(x2)38(x2),f(x2)

f(x)f(x)x8,则f(x)=33x8(x0)(x2)8(x2)3令f(x2)0，可解得x4,或x0．应选B．

另解：由偶函数满f(x)足f(x)x8(x0)可得f(x)f(x)x8,

则f(x2)f(x2)x28，要使f(x2)0,

只需x280,x22，解得x4,或x0．应选B．

9．【解析】由cos333334,是第三象限的角可得sin．

55311tancossin51,应选A．

2221sin4cos21tancossin222543另解：由cos，是第三象限的角可得sin．

553sin1tan2sin53，2131．

tan132cos1cos1421tan25210．【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,则其外接球的半径为

a2a727a27222R()()a，球的表面积为R4a,应选B．

22sin6012123y

11．【解析】作出函数f(x)的图象如右图，

O

1

10

12

x 不妨设abc，则lgalgb则abcc(10,12)．应选C．

1c10(0,1)

212．【解析】由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点可设双曲线的方程为

x12y12x22y22x2y22221(ab9)，设A(x1,y1),B(x2,y2),即

221,221

2abababb252y1y2b2x1x2b212015则221，则2,b5,a24，

a4x1x2ay1y2a15312x2y21．应选B． 故E的方程式为45N13．【解析】：由题意可知1NN为1．

N10f(x)dx1得10f(x)dx1N1，故积分f(x)dx的近似值0N14．【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等．

15．【解析】设圆的方程为(xa)(yb)r,

则(4a)(1b)r,(2a)(1b)r,解得a3,b0,r222222222b11,

a22，故所求圆的方程为(x3)2y22．

16．【解析】由△ADC的面积为33可得

A

SADC13ADDCsin60DC33

2231SABC(33)ABACsinBAC

22解得DC232，则BD31,BC333．

B

D

C

AB2AD2BD22ADBDcos1204(31)22(31)6,AB6

AC2AD2CD22ADCDcos6044(31)24(31)24123

AC6(31) BA2AC2BC26241239(423)6361则cosBAC

2ABAC266(31)12(31)2故BAC60．

三、解答题

（17）【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时,

an1[(an1an)(anan1)(a2a1)]a1

3(22n122n32)222(n1)1.

而

a12,

所以数列｛an｝的通项公式为an1n22。

（Ⅱ)由bn1nnann22知

Sn12223325n22n1 ①

从而

22Sn=123225327n22n1 ②

①-②得

(122）Sn=2232522n1n22n1．

即

S1n=9[(3n1)22n12]

（18)【解析】以H为原点，HA,HB,HP 分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0),B(0,1,0)

(Ⅰ）设

C(m,0,0),P(0,0,n)(m0,n0)

则D(0,m,0)，E(12,m2,0)．

可得

PE=(1,m22,n),BC=(m,1,0)．

因为PEBCm2m200

所以

PEBC

(Ⅱ）由已知条件可得

建 m33,n1,故 C(,0,0)

33313,0),E(,,0),P(0,0,1)

326

D(0, 设

n(x,y,x)为平面PEH的法向量

1x3y0nHE026 则 即

nHP0z0因此可以取n(1,3,0)，

由PA(1,0,1),

可得|cos〈PA,n〉|=2

42

4所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为（19）【解析】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%

500500(4027030160)29.967. （2）K200300704302由于9．967〉6．635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

（III）由（II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

（20）【解析】（I）由椭圆定义知AF2BF2AB4a，又2ABAF2BF2，

得AB4a

3l的方程为yxc，其中ca2b2。 yxc设Ax1,y1，Bx2,y2,则A、B两点坐标满足方程组x2y2

221ab化简的a2b2x22a2cxa2c2b20

a2c2b22a2c则x1x22

,x1x2ab2a2b2因为直线AB斜率为1，所以AB22x2x12x1x24x1x2

44ab222,a2b得a2故

23abc所以E的离心率eaa2b22

a2（II)设AB的中点为Nx0,y0，由（I）知

x1x2a2c2cx02c，.

yxc0022ab33由PAPB,得kPN1,

即y011

x0得c3，从而a32,b3

x2y21。 故椭圆E的方程为189（21）解:(1）a0时,f(x)e1x,f\'(x)e1．

当x(,0)时，f\'(x)0;当x(0,)时，f\'(x)0．故f(x)在(,0)单调减少,在(0,)单调增加

（II)f\'(x)e12ax

由(I)知e1x，当且仅当x0时等号成立．故

xxxxf\'(x)x2ax(12a)x， 从而当12a0，即a1时，f\'(x)0 (x0)，而f(0)0,

2于是当x0时，f(x)0．

由e1x(x0)可得e

xx1x(x0)．从而当a1时，

2f\'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a),

故当x(0,ln2a)时,f\'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时,f(x)0．

综合得a的取值范围为(,]．

12（22)解：（I）因为ACBC，所以BCDABC．

又因为EC与圆相切于点C,故ACEABC，

所以ACEBCD．

(II）因为ECBCDB,EBCBCD，

所以BDC∽ECB,故即BCBECD．

2BCCD，

BEBC （23)【解析】(Ⅰ）当223时，C1的普通方程为y3(x1)，C2的普通方程为13y3(x1)xy1。，联立方程组 ，解得C1与C2的交点为（1，0）。

2222xy1（Ⅱ）C1的普通方程为xsinycossin0。

A点坐标为sin2cossin，

故当变化时，P点轨迹的参数方程为：

12xsin12122为参数(x)y，P点轨迹的普通方程为.

416y1sincos20,半径为故P点轨迹是圆心为，(24)【解析】

141的圆。

42x5，x2f(x)（Ⅰ）由于则函数yf(x)的图像如图所示。

2x3，x2（Ⅱ)由函数yf(x)与函数yax的图像可知,当且仅当a1或a2时,函数2yf(x)与函数yax的图像有交点.故不a的取值范围等式f(x)ax的解集非空时，2为，1，.

2