2024年3月17日发(作者：阜阳大学今年数学试卷分析)

试题出处：2020届湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联考（改编）

抛物线与圆，求三角形面积最值

若点

P

是抛物线

x

2

=2y

上的动点

,

点

M,N

在

x

轴上，圆

x

2

+(y−1)

2

=1

内切于

PMN,

求

PMN

面

积的最小值

.

答案：8

解法一：动点设一个参数，利用勾股定理列等式

如图,不妨设点

P(2t,2t

2

)

(t1)

,圆心为

C

,两切点为

D,E

.分别过点

P

作

PH⊥x

,作

PGx

轴,过点

M

作

x

轴垂线与

PG

交于点

G

，且

OM=m,ON=n

.

在

RtPCE

中，由勾股定理得，

M

P

G

D

C

O

E

N

x

H

y

PE

2

=PC

2

−CE

2

=4t

2

+(2t

2

−1)

2

−1=4t

4

，即

PE=2t

2

.

在

RtPNH

中，由勾股定理得

PN

2

=PH

2

+NH

2

,

即

(

2t

2

+n

)

=4t

4

+(2t−n)

2

，可得

n=

2

t

.

t+1

在

RtPMG

中，由勾股定理得

PM

2

=PG

2

+GM

2

,

即

(

2t

2

+m

)

=4t

4

+(2t+m)

2

，可得

m=

2

t

.

t−1

S

PMN

12t

4

2

2

=(m+n)2t=

2

=

2t−1

1

−

1

t

2

t

4

又

1111

2

11

−=−(−)+

t

2

t

4

t

2

244

当

t

2

=2

时，

S

PMN

有最小值8.

1 / 5

解法二：动点设两个参数，利用直线与圆相切列等式

设

P(x

0

,y

0

),M(a,0),N(b,0)

，其中

y

0

2

且

ab

.

直线

PN

的方程为：

y=

直线

PN

与圆相切，

y

0

(x−b)

，

x

0

−b

圆心

(0,1)

到直线

PN

的距离为1，

b−x

0

−by

0

y

0

+(b−x

0

)

22

=1

(

y

0

−2

)

b

2

+2x

0

b−y

0

=0

同理可得，

(

y

0

−2

)

a

2

+2x

0

a−y

0

=0

.

实数

a,b

是关于

x

的一元二次方程

(

y

0

−2

)

x

2

+2x

0

x−y

0

=0

的两根，

−2x

0

a+b=

y

0

−2

,

−y

0

ab=

y

0

−2

(

a−b

)

=

(

a+b

)

−4ab=

22

4x

0

2

+4y

0

2

−8y

0

(

y

0

−2

)

2y

0

y

0

−2

2

,

x

0

2

=2y

0

(

a−b

)

=

2

4y

0

2

(

y

0

−2

)

2

，

a−b=

S

PMN

y

0

2

14

=(b−a)y

0

==y

0

−2++48

2y

0

−2y

0

−2

当

y

0

=4

时，

S

PMN

有最小值8.

解法三：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式

设点

P(x

0

,y

0

),M(−a,0),N(b,0)

圆心为

C(0,1)

,两切点为

D,E

.

在

RtPCD

中，

PD=PC

2

−CD

2

=x

0

2

+(y

0

−1)

2

−1

x

0

2

=2y

0

，

PD=y

0

PM=PD+DM=PD+MO

2 / 5

(

x

0

+a

)

2

+y

0

2

x

0

2

y

0

=y

0

+a

，化简得

MO=a==

2(y

0

−x

0

)y

0

−x

0

x

0

2

y

0

=

同理，可得

NO=b=

2(y

0

+x

0

)y

0

+x

0

S

PMN

=

S

PMN

y

0

y

0

11

(MO+NO)y

0

=(+)y

0

22y

0

−x

0

y

0

+x

0

y

0

3

y

0

2

4

=

2

==y−2++48

0

y

0

−x

0

2

y

0

−2y

0

−2

当

y

0

=4

时，

S

PMN

有最小值8.

解法四：动点设一个参数、再设直线斜率，利用直线与圆相切列等式

1

设

P(m,m

2

)(m2)

，直线

PM,PN

的斜率一定存在，分别设其为

k

1

,k

2

，

2

1

则直线

PM

的方程为：

y−m

2

=k

1

(x−m)

，

2

1

2

m−k

1

m−1

2

1+k

2

1

由直线与圆相切得：

=1

，

化简得：

(m

2

−1)k

1

2

+(2m−m

3

)k

1

+

1

4

m−m

2

=0

……..①

4

1

同理可得：

(m

2

−1)k

2

2

+(2m−m

3

)k

2

+m

4

−m

2

=0

……..②

4

实数

k

1

,k

2

是关于

x

的一元二次方程

(m

2

−1)x

2

+(2m−m

3

)x+

m

3

−2m

k

1

+k

2

=

2

m−1

，

1

42

m−m

k

1

k

2

=

4

2

m−1

1

4

m−m

2

=0

的两根，

4

m

2

m

2

分别令方程①，②中的

y=0

，得

x

M

=m−,x

N

=m−,

2k

1

2k

2

m

2

11m

2

k

2

−k

1

MN=x

M

−x

N

=−=

2k

1

k

2

2k

1

k

2

S

PMN

2

1m

2

m

4

k

1

−k

2

m

4

(k

1

+k

2

)−4k

1

k

2

=MN=

=

228k

1

k

2

8k

1

k

2

3 / 5

化简得

S

PMN

m

4

116

==(m

2

−4+

2

+8)8

2

2m−82m−4

当

m

2

=8

时，

S

PMN

有最小值8.

解法五：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式

y

P

D

C

M

O

E

N

x

如图，设

P(x

0

,y

0

),

切点分别为

D,E

且

PMN

的内切圆半径

r=1

则

S

PMN

=

111

MNy

0

=(PM+PN+MN)r=(PM+PN+MN)

222

1

S

PMN

=(OM+PE+ON+PE+MN)=MN+PE

2

=PC−1+MN=x

0

2

+(y

0

−1)

2

−1+MN

2

=2y

0

+(y

0

−1)

2

−1+MN=y

0

+MN2y

0

MN

1

y

0

MN2y

0

MN

2

y

0

MN16

S

PMN

=

1

y

0

MN8

2

S

PMN

有最小值8.

评论与赏析：

圆锥曲线中求三角形面积的最值一直是考试的热点、难点问题.解法1跳出了解析几何的大量

计算，两次用勾股定理将线段长用动点中的参数表示出.解法2利用直线与圆相切的性质及韦达定

理找到线段整体与动点中的参数的关系.解法3利用三角形内切圆的性质和坐标运算将线段长用动

点中的参数表示出来.解法4设切线斜率利用韦达定理找到线段与动点中的参数的关系.解法5巧妙

利用三角形内切圆性质、这一题的数量特点及基本不等式直接得出面积的最值.

4 / 5

推广：过抛物线

x

2

=2py(p0)

上一点

P(x

0

,y

0

)(y

0

2p)

作圆

C:x

2

+(y−p)

2

=p

2

的两条切线，分

别与

x

轴交于

M,N

两点，则

PMN

的最小值为

8p

2

.

相似题：在平面直角坐标系

xoy

中，过点

P(2t

2

,2t+1)

作圆

E:(x−1)

2

+(y−1)

2

=1

的两条切线

PM,PN

，切点分别为

M,N

.当

t(1,+)

时，设切线

PM,PN

与

y

轴分别交于点

B,C,

求

PBC

面积

的最小值.

答案：8

5 / 5


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