高中数学竞赛模拟题(十六套)

2023年12月10日发(作者：数学试卷高考今年难吗江苏)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题

武钢三中岑爱国

一试

一、填空题（每小题８分，共６４分）

AN1．方程

BDCM2．如图，在

=，则m+2n的值为

３．

4．单位正方体

这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .

５．设数列

6．已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为

7．若 8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．

二、解答题（共５６分）

9．（16分）设

之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．

（1）求数列的通项公式；

（2）设集合

，

求证：．

10．（20分）过抛物线

的距离均不为整数．

11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a， b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立．

二试

一．（40分）如图，已知 A求证：

FPBDEC二．（40分）设．

三. （50分）已知n个四元集合

，试求n的最大值．这里

四．（50分）设且m为正整数的二进制表示数的各位数字之和，，则称是“好数”.试问：

为数列的前n项和. 若存在无穷多个正整数n，满足，（1）2，3，5是否都是好数？

（2）是否都是好数？

模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题

江苏省盐城中学陈健

第一试

一、填空题：（每小题7分，共计56分） 1. 若函数，则yf(22x)的反函数必过点__________

yf(x)图象经过点（2，4）2.

a、b、c是从集合1，2，3，4，5中任意选取的3个不重复的数，则abc为奇数的概率为___________

(n1)4n413. 已知数列an的通项公式是an，则数列an的前n项和Sn=_____

22(n1)n11yx2的准线与y84. 抛物线轴交于点A，过A作直线交抛物线于点M、N，点B在抛物线对称轴上，且(BMMN)MN，则OB2的取值范围是____________

5. 已知,R，直线xyxy1与1

sinsinsincoscossincoscos的交点在直线yx上，则sincossincos

6. 如图，四面体ABCD中，ADB为等腰直角三角形，

ADB900，AD1，且BDCADC600，

则异面直线AB与CD的距离为______________

7. 已知点A(2,2)、P(x,y)，且x,y满足

0x,y2xy2，则PA长的取值范围是________

112xy8. 将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_ 不同的染法.（用数字作答）

二、解答题：（三题共计44分） 9. （本题14分）已知二次函数fxax2bx1a0,bR，设方程fxx 有两个实数根x1,x2．

①如果x12x24，设函数fx的对称轴为xx0，求证：x01；

x12，且fxx的两实根的差为2，求实数b的取值范围. ②如果0

27an45an3610．（本题15分）数列{an}满足：a01,an12,nN.

证明：（1）对任意nN,an为正整数；(2)对任意nN,anan11为完全平方数

11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.

求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.

第二试

1.（本题50分）凸四边形ABCD中，AB是最长边，点M,N分别在边AB,BC上，且线段AN,CM平分四边形ABCD的面积，求证：线段MN平分对角线BD.

2. （本题50分）定义f(x,y,z)(xyyzzx)(xyz)，其中x,y,z为正实数，求f(x,y,z)的值域.

(xy)(yz)(zx)

3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.

4.（本题50分）设n是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k，下述不定方程

33x13x2...xny3k2有无穷多个正整数解(x1,x2,...,xn;y). 模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷

福州一中危志刚

第一试

一，填空题（每小题7分，共56分）

1、设1f(x)适合等式f(x)2f()x,则f(x)的值域是

x2、若对所有正数x,y,不等式xyaxy都成立，则a的最小值是

3、等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个.

4、在平面直角坐标系中，定义点Px1,y1、Qx2,y2之间的“直角距离”为

d(P,Q)x1x2y1y2.若Cx,y到点A1,3、B6,9的“直角距离”相等，其中实

数x、y满足0x10、0y10，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为．

5、将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有

种不同的染法.（用数字作答）

6、若26292n为一个平方数，则正整数n

7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为21，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为

338、设函数f(x)x33x26x14，且f(a)1，f(b)19，则ab

二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分） 9．已知抛物线y22px(p0)，其焦点为F，一条过y焦点F，倾斜角为为坐标原点），交的面积．

(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O准线于点B，连接BO，交准线于点求四边形ABBAA，

OFxan1,当n为偶数时，2a10．数列an定义如下：a11，且当n2时，n

1,当n为奇数时．an1已知an30，求正整数n．

11．对一个边长互不相等的凸n(n3)边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？

第二试（每题50分，共200分）

1、已知，A、B、C、D是圆上顺次四点，且ABAD，BCCD，BAD的平分线交圆于X，BCD的平分线交圆于Y，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么BD必为圆的直径．

2、设a,b[0,1]，求S小值．

ab(1a)(1b)1b1a的最大值和最 xyzxy3、求所有满足方程组xzyxz的三元实数组(x,y,z)．

yzxyz

4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．

（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）

模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题

东北育才学校张雷

一试

一、填空题（共56分，每题7分）

1、函数f(x)log1sinx的单调递增区间是_______________________．

22、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有______

种.

3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.

○1三角形 ○2正方形 ○3梯形 ○4五边形 ○5六边形

4、已知ab（其中a,b是大于1的正整数，且a,b互质）化为最简二次根式后是mnp形式，其中m,n,p是大于1的正整数，且m,p互质，如果mnp9，则ab的最小可能值是________.

5、若关于x的方程x2(a2b26b)xa2b22a4b10的两个实数根x1,x2满足x10x21,则a2b24a4的最小值与最大值的积是_________.

6、我们定义运算aba42a2b2b4，如5354252325416，

3525423252542162252，用整数1，2，3，4和三个 号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________.

x27、平面上满足约束条件xy0的点(x,y)形成的区域为D，区域D关于直线y2x对称的区域为E，则区域D和区域Exy100中距离最近的两点的距离为___________.

8、令p(n)表示正整数n的所有数字的和，如p(4)4,p(50)5,p(123)6，则

p(1)p(2)p(3)p(2008)p(2009)的值是_____________.

二、解答题（共44分）

9、（14分）已知圆C1和圆C2的两条外公切线为x轴及直线l度之积为68，求圆心C1和C2所在直线的方程和m.

:ymx(m0)，若两个圆的一个交点为(9,6)，且两圆半径长10、（15分）已知函数f(x)x2x1x2x1，求f(x)ax1的解集中元素的个数。

11、（15分）如果a,b都是正实数，请给出一个你认为的最小正数t，使得满足abt的任意实数a,b，不等式aa1bb2成立，并证明你的结论.

模拟试题五联赛模拟题

一试

一、填空题 1.不等式x(x1)y(1y)的解集中x,y能使x2y2k成立时的k的最小值为．

2.一个三位自然数(a1a2a3)如果同时有a1凹数），则所有凹数的个数是．

a2及a3a2称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是3.若x是一个十进制四位整数，记x的各位数码之积为T(x)，各位数码之和为S(x)，p为素数，且T(x)pk，S(x)pp5，则x中的最小者是．

i2i3in4.已知复数列{an}的通项公式为an(1i)(1)(1)(1)，则anan1等于

5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1kV2，则kmin ．

6.x,yR且x3x13y2y，则xy的最大值是___________．

，则u的最大值7.已知x和y是实数，z1(x4)yi，z2(x4)yi，z1z210，令uxy34为．

8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．

二、解答题

9.已知函数1f(x)的定义域是(0,)，并且满足f(x)f()0．如果函数

x1mxg(x)f()是奇函数，试求实数m的值．

x110.已知数列{an}中，a11,an1an12an

(nN*) 求证：a200518

11.已知圆O:x2y21和抛物线yx22上有三个不同的点P,Q,R．如果直线PQ和PR都与圆O相切．求证：直线QR也与圆O相切．

二试

一、令I为ABC内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明:

ABC内接于半径为R的圆O，或bcIGBCbc3a，其中a,b,c分别为ABC三个内角A、B、C所对应的三边长．

二、已知：a,b,c为正实数，且a4b4c43，证明：1111

4ab4bc4caa2b2ab三、设a,b是正整数，满足ab1,f(a,b)，求f(a,b)所有可能

ab1取到的整数值．

四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次

考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友

的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．

试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论

模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题

哈师大附中刘利益朱逢迁

第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1．从1,2,，则取到合数的个数的数学期望是 .

,100中任取5个数（可以相同）已A，B两点．2．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于知OA、AB、OB成等差数列，且BF与FA同向．则双曲线的离心率为 . 3．在ABC中，如果a4．已知集合M2b26c2，则(cotAcotB)tanC的值等于 .

1,2,3,N1,2,3,4，定义函数f:MN．设点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))，ABC的外接圆圆心为D，且DADCDB(R)，则满足条件的函数f(x)有＿＿＿＿个．

5．设f(x)是定义在R上的函数，对任意的xR，都有f(x3）f(x)3,

f(x2)f(x)2，如果

f(1)2010，则f(2011)的值为 .

2010(n1)ank*(nN),则 . 6．数列an满足:

a11,an12nank1ak7．立方体ABCDA1B1C1D1中，点M,N分别在线段AB，BB1上（不包括线段的端点），满足AMB1N，则A1M与C1N所成角的取值范围是 .

8．若非负实数x,y,z满足x2y2z2x2y3z13，则(xyz)min .

4二、解答题（共56分）

9．（本题满分16分）

已知直线右焦点，试求:xmyq与椭圆：3x24y212交于不同两点A、B. 设A关于椭圆长轴的对称点为A1，F为椭圆的A1、F、B三点共线的充要条件.

10．（本题满分20分）

正数a,b,c同时满足：abc1111，2229．求证：存在以a,b,c为三边长的三角形．

4abc

11．（本题满分20分）

2an2an11数列an满足：a11,a22，，(n1,2,3,).试求.

a20102anan1（注：a表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.）第二试

一、（本题满分40分）

如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，圆O在D、E两点的切线交于点H，证明：HM

HBEBC．

AODMC

二、（本题满分40分）

已知a,b,c都是非负实数，且abc2，求Pabbcca的最大值．

1c21a21b2 三、（本题满分50分）

设数列an满足：a1a21,an2an1an(nN*)．

*求证：对任意的nN，a2n1都不含4q3型质因子（qN）．

四、（本题满分50分）

单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线．求证：总有某三个点为顶点的三角形面积小于8．

模拟试题七联赛模拟题

一、填空题：

1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为 .

2. 在圆4cos上有两点A，B，它们的极角分别是25,5；由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是 .

3. A , B为锐角，则 cos 2

A + cos 2

B =

4sin7(AB) 成立的充要条件是 .

4. 一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为 .

5. 锐角△ABC中，AD是高线，

ABAC4217=17，4BC5AD17,△ABC的面积为 . 6．对任意实数 k，曲线 x 4

+ k x 3

y－6 x 2

y 2－k x y 3

+ y 4

= 0总可把圆 x 2 + y 2

= 1 分成等分 .

7. 数 N =

(2k1)的末三位数是 .

k120108. 已知方程x3－7x2+1=0的最大实根为t，则[t2000] 被7除的余数_______.

二、解答题：

9. 已知三棱锥Ａ— BCD 在顶点 A 处的三个面角（即 ∠BAC，∠CAD，∠DAB ）分别为75°，90°，105°；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高.

10．用1，2，3这三个数字构造n 位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的n 位数？

11. 已知抛物线 C 1

: y = x 2

+ 2 x 和 C 2

: y =－x 2

+ a .如果直线 l 同时是C 1和C 2

的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段 .

⑴ a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

⑵ 若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 .

加试模拟题

1. 设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足BPPEFQ＝QCBF2＝CE2 .

求证：OO′⊥ PQ . AO\'FOPQEBC

2. 求证：1ln(n1)＜11231n≤1＋lnn, n=1,2,… ;

3. 对于给定的正整数 k ，以f 1

( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方；并设

f n + 1

( k ) = f 1

[ f n ( k ) ] ，n = 1 , 2 , 3 , … ; 试求f 2010

( 2 2009

) 的值.

4．某种彩票的对奖号是个三位数（000 — 999），开出的中奖号也是个三位数．买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖．为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？

模拟试题八 2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题

人大附中陈维兵一试

一、填空题：

1 求方程x22xsin(xy)10的实数解_____________

2 已知数列{an}满足a12,an12an1(nN*)，则a2010________

4an63 两位数ab(a0,b0) 若满足(ab,ba)1，则称ab为好数，则好数共有_____个。

4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。

．．．ABCD与正方体的某一个平面平行，且5 若a是12b与12b的等比中项，则2aba2b的最大值为。

6 已知抛物线22)，则PAPFy24x及其上的一点P, 焦点F(1，0)和A(5，22的最小值为。

7 有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。

8 设常数k 使得方程2x22y25xyxyk0在平面直角坐标系xOy中表示两条相交直线，交点为P. 若点A,B分别PAPB______ .

在这两条直线上，且PAPB1，则

二、解答题： 9 已知x,yz3zwy,z，wR，求M2xy2222xyzw的最大值。

10 数列{an}定义如下：a12,an124an2，而数列{bn}定义为bn2n1an,nN*

（1）求{an}的通项公式

（2）证明：bn（3）证明：bnbn1,nN*.

7,nN*.

x2y211 已知椭圆221(ab0)，其长轴为A1A，P是椭圆上不同于A1,A的一个动点，直线PA,PA1分别与同一ab条准线l交于M,M1准线两点，试证明：以线段MM1为直径的圆经过椭圆外的一个定点。

二试

1、在等腰△ABC中, AB=AC , D是边AC的中点, E是点D在BC上的投影, F是DE的中点. 证明: BF垂直于AE的充要条件是: △ABC是正三角形. A

2、设△ABC的三边分别是a, b, c，且a+b+c=3. 求证：

1349a2b2c2abc332.

3、设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1

4、用100种颜色对100  100的棋盘进行染色，使得每一格均被染为其中一种颜色且每种颜色恰好使用了100次. 求证：棋盘上存在一行或一列，其中的方格被染为至少10种颜色。

模拟试题九 2010年全国高中数学联赛模拟试题

（命题人：湖南省长沙市第一中学于杰延）

一、填空题（每小题8分，共64分）

1．用Sn与an分别表示区间an0,1内不含数字9的位小数的和与个数．则lim= .

nSnsin3cos32. 已知k，则k的取值范围为．

sincos 3. 在空间，从一点O出发引四条射线OA，OB，OC，OD，如果∠AOB＝∠BOC＝∠DOA＝∠AOC＝，则cos=

4. 如图，平面α中有△ABC和△A1B1C1分别在直线m的两侧，它公共点，并且关于m成轴对称，现将α沿m折成一个直二面角，A1，B1，C1六个点可以确定的平面个数为

5. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2010个数是

们与m无B

则A，B，C，染1，再染9后面最邻数17、19、7，9，12， 6. 十个元素组成的集合M{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}．M的所有非空子集记为Mi(i1,2,1,2,,1023).则mi

i11023,1023)，每一非空子集中所有元素的乘积记为mi(i 7. 设A={(x，y)| 0≤x≤2，0≤y≤2}，B={(x，y)| x≤10，y≥2，y≤x－4}是直角坐标平面xOy上的点集. 则xxyyC12,1(x,y)A,(x,y)B所成图形的面积是

2211223b2ab，则aba2b2 8.已知正实数a、b满足：a的最大值是

二.(16分) 设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f(2010)|.

三.(20分) 求最大的正数，使得对任意实数a、b，均有a2b2ab2≤a2abb2

3四.(20分) 已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

加试

一.(40分) △ABC内接于⊙K，BD是∠B的平分线，现有⊙K1与BD⊙K也相切(如图)，证明：切点Ｉ是△ABC的内心.

相切于点I，且与AC及D

.K1

二.(40分) 设a1,a2,,an为正数，证明：

a1a2

ana2a3ana3anana14a29a3n2an

三.(50分) 一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，每两个题恰好有两名参赛者解出.试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.

四．(50分) 设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个．求p．

模拟试题十 2010年联赛模拟试题

青岛二中邹明

一.填空题(本题共8道小题每小题7分,满分56分)

1.设函数f(x)=log0.5(x2-2ax+3)(a>0)的值域为(,1],

g(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为A,集合B=[1,1],若A∩B≠Φ,则实数k的取值范围是___________;

22.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则满足xsinθ-ycosθ=方程是______________________；

sin2cos21xy且a2b2x2y222的点(x,y)的轨迹3.使得12n(n>2)为整数的最小正整数n=_________; 4.如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p>0)

运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C 与x轴的

C•

1|AM|xx.则函数f(x)=交点.如果x|AN|的值域是______________;

5.对于所有自然数n,使得a(9·2010n+1)·2010n+(b-1)·2010n+1=(c·2010n+1)2

恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________；

6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_______________.

7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是________.

8.非负实数x,y,z满足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是___________.

三.解答题(本题共3道满分44分)

x2y29.(14分)如图,已知A,B是椭圆221(ab0)的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于abE

点M,

直线PB, AQ相交于点N.

(Ⅰ)求证:MN⊥AB;

(Ⅱ)若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程.

10.(15分)设a,b∈R, 点集A={(n,na+b)|n∈Z },B={(m,m2+17)|m∈Z },

C={(x,y)|x2+2y2≤66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足 A∩B≠Φ且(a,b)∈C.

11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意

x∈R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x).

(1)求f(x),g(x);

(2)定义数列{an}:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n≥2).

二试题

(本题共4道小题每小题50分,满分200分)

一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆Г1,Г2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r∶R.求证:

(Ⅰ)CD=EF;

(Ⅱ)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.

Г2

2(xn11)二.(50分)设数列{xn}满足:x1=2011,xnxn1,n=2,3,….其中[x]表示不超过x的最大整数.求数列{xn}的通项xn.

nE

Г1

三.(50分)给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得pn+qn+rn-1, pn+qn+rn-2,…,pn+qn+rn-k均为合数.

四.(50分)设正整数a1,a2,…,a2010满足:

（1）ai≠211(i=1,2,…,2010),

（2）任意连续若干项之和≠211.

2010求min{ai1i}.

模拟试题十一全国高中数学竞赛模拟卷

湖南师大附中周正安

第一试

一、填空题(每小题8分，共64分) 1．已知不等式x25x6x2a的解集A满足A1，则a 。

2．求值tan18tan36tan36tan54tan54tan72tan144tan162 。

3．在等差数列an中，amn3,anm3，则amn 。

4．某底面是单位圆的圆锥具有性质：在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为。

5．设非零复数a,b,c满足aabc，ab3c，c1，

c(ab)2000(ab)2000n则n 。

6．用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出个不同的六位数。

7．已知a0，如果函数(xa)2f(x)2x1在[1,1]上为增函数，则a的取值集合为。

8．将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有种。

二、解答题(共56分)

9．(16分)已知数列an满足：anaa2ana1a2n (1n5)

a1 (n6)n112记bn2a12a2an。

(1) 求数列bn的通项公式；

2(2) 求出所有的正整数n，值得bn1bnbn2。

10．(20分)定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)

(1)设g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在xx0(x0(1,4))处有斜率为-8的切线，求a的取值范围；

(2)当x,yN且xy时，求证：F(x,y)F(y,x)。

11．(20分) 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|PC||BC|PBBC.

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点。

第二试

一、(40分)已知ABC的内心为I,同理可得点B\'和点O1,O2,O3分别过B、C，A、C和A、B且与I直交。O1与O2相交于另一点C\'，A\'。

I半径的1。

2求证：A\'B\'C\'的外接圆半径等于二、(40分)设xy1,x,yR，

求证：xxyy1y1x1yxxyx11。

y1三、(50分)已知P为质数n，m均是正整数，试求方程pnm38的所有解。

四、(50分)证明：在任意2n2个人中，可以找到两个人A、B，使得其余2n个人中，至少有n个人他们中的每一个，或者都认识A、B；或者都不认识A、B。

模拟试题十二高中数学联赛模拟试题

第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．

1．对于任意的x，都有acosxbcos2x1，则ab的最大值是。

（注：ab,ab,2010bC恒成立，则常数C的最大值是．2．对于任意实数a，b，不等式max）

maxx,y,z表示x，y，z中的最大者．3．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________．

4．已知四个整数a,b,c,d都是偶数，且0abcd，da90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则abcd的值等于．

PF1x2y21的左右焦点分别为F1与F2，5．已知椭圆点P在直线l：x3y8230上. 当F1PF2取最大值时，164PF2的值为．

6．已知数列{an}的前n项之和为Sn，且Sn22SnanSn10，n1,2,3,，则Sn的表达式为___________________．

7．已知定义在R上的偶函数线f(x)的图象关于直线x1对称，且当0x1时，f(x)21x2，若直线yxa与曲yf(x)恰有三个交点，则实数a的取值范围为________________．

8．某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________________．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分16分）已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，

设弦AB、CD的中点分别为M、N. ( 1 )求证：直线MN必过定点；

( 2)分别以弦AB和CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.

2．（本小题满分20分）设函数f(x)x2axb（其中，数列{an}和{bn}定义为：a1a,b为实常数）12，2an1f(an)15，bn前n项的和记为Sn．

1（n1,2,3,2an），已知不等式f(x)2x24x30对任意实数x均成立，数列{bn}的（1）求实数a、b的值；

（2）若数列{bn}的前n项的乘积记为Tn，证明：对任意正整数n，2n1TnSn为定值；

4n（3）证明：对任意正整数n，都有21Sn2．

53．（本小题满分20分）设x1,x2,,xn为n个正实数（n2,nN），且x1x2xn1，

将x1x2,,1x11x1x2,xn1x1x2xn中最大的数记为S ．

(1)令yk1x1x2xk，k1,2,,n，求证：y1y2yn1S ；

(2)对于给定的正整数n，n2，求S的最小值，并求出S取最小值时x1,x2,,xn的值．

第二试

一、（本小题满分40分）如图，已知两圆O1与O2内切，另四个圆O3、O4、O5、O6均与O1内切，与O2外切，且连心线O3O4、O5O6与O1O2的夹角相等，求证：点O3、O4、O5、O6共圆．

O6 二、（本小题满分40分）设xi4,10,i=1,2,3,n．试求下面式子的最大值与最小值：

nxiSxi,其中，xn1x1．

i1xixi1i1n三、（本小题满分50分）正整数m，n均大于1，已知nn1n2（m，n）．

nm刚好有3个不同的质因子，求所有满足要求的数组四、（本小题满分50分）甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，……，如此进行下去．如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜．请问：分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜？说明理由

模拟试题十三高中数学竞赛模拟试卷

-------大连市第24中学李振权

一试

一、填空题

1．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=3xn13xn2005，则xn1n=

2、一个七位数a，其各位数字相加得到b，已知ab仍为一个七位数，且ab各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为。

3．z1、z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z1-z2|=2恒定，而z3=z1(1+i)-z2i，则|z3|的最大值为_________.

x2y21中，F是左焦点，点C是左准 4.在椭圆259线上一点，过C点的直线l交椭圆于A、B两点，

连结FA、FB、FC，且FAB50，

FBA20，则FCA__________________。

5．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.

6．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有种不同的分法。

8、已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的菱形，侧棱长为x，BAD60，A1ABA1AD45，当x___________时，AC1平面A1BD．

二、解答题

9、已知ABC中，AC=2AB.过点C、A分别作ABC外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆BAC。于点D. 求证：直线BP平分 10．已知a, b, c∈R，且满足+kabc≥(a+b)+(a+b+4c)，求k的最小值。

abc22211．已知a>0，函数f(x)=ax-bx,

（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；

（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b

12、已知数列{an}满足a1a，an1(4n6)an4n10．

2n1（Ⅰ）判断数列an2是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由；

2n1（Ⅱ）当a1时，求数列{an}的前n项和为Sn；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明当n3时，1111S3S4Sn10二试

．

一、（50分）已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q ≠

B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D．证明CD平分线段QH．

二、（50分）设f(x)xnax2bxc,n为自然数，

已知f(1)0,f(1)6,f(2)9，f(3)4,f(6)119，求f(x)．

三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？

四、（50分）设|X|为子集XS中元素的个数；又为SX，是X的补集；Ci是ai对k个参赛选手有相同的判决，证明kb1.

a2b 模拟试题十四

一.填空题

1.已知f(x)1x,对于nN,定义f1(x)f(x),fn1(x)f[fn(x)],若f13(x)f31(x),

2x则f16(x)的解析式为______________.

2.设abcd,若变量x,y,z,t是a,b,c,d的某一个排列,那么表达式

n(x,y,z,t)(xy)2(yz)2(zt)2(tx)2可以取____________个不同的值.

3.设Sn是集合1A{1,,22,Sn1}lim__________. 含有3个元素的所有子集的元素之和，则nn22n124.已知,是方程axbxc0(a,b,c为实数)的两根,且是虚数,5985k1是实数,则

()k=_____________.

5.当且仅当n被k整除时，多项式x模均为1,则x1x22n1(x1)2n不被x2x1整除，则整数k=_________. 6.已知纯虚数x1,x2,,x1999的x2x3x1998x1999x1999x1被4除所得余数为_______________.

7.设集合M{x|0x11,xZ},F{(a,b,c,d)|a,.b,c,dM},映射f:FZ使得

f(a,b,c,d)abcd,已知(u,v,x,y)39,(u,y,x,v)66,则(x,y,u,v)____________.

8.12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至少要________周.

二．解答题

ffx2y21．F1,F2是椭圆221的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在x轴上，求值

abtan

PF1F2PF2F1tan22.

2.数列{an}中,ann3(ni1992i2)2,求该数列前n项和Sn.

3.定义在(-1,1)上的函数xy);

f(x)满足:1)对任意x,y(1,1)都有f(x)f(y)f(1xy2)当x(1,0)时,有f(x)0.

求证:11f()f()511f(11)f()(nN).

2n3n12

第二试

一. 如图在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:GACEAC. A

二．设a,b,c0,abbcca1,求证:311116b36c36a.

abcabc三．证明:对于大于2的任意正整数a,存在无穷多个nN,使得n|an1.

四．设p是奇质数,a,b是小于p的正整数,证明:abp的充分必要条件是对任何小于p的正整数n,均有[2an2bn][]等于正pp奇数.

第十五套：联赛模拟

上海延安：丁虬骋

一、填空题

1. 若不等式x(x28)(8x)(x1)对一切实数x(0,2)恒成立，则实数的取值范围是

(1x)(1x2)(1x4)1y72. 方程组的实数解(x,y)共有组

247(1y)(1y)(1y)1x3. 正方体ABCDA1B1C1D1中，点M,N分别在线段AB，BB1上（不包括线段的端点），满足AMB1N，则A1M与C1N所成角的取值范围是

4. 已知P是直线yx1上一点,M,N分别是圆C1:(x3)2(y3)21与圆C2:(x1)2(y4)21上的点,则的最大值为

PMPN5. 设函数n1i1x*，定义Snf()，其中nN，且n2，

f(x)log2n21xi1则Sn= .

6. 长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA14，AD3，则异面直线A1D与B1D1间的距离为 .

22010[]1005= （其中x表示不超过x的最大整数）.

312227. 求和：[][][]3338. 扔6次骰子，令第i次得到的数为ai，若存在正整数k使得ai6的概率pi1knm，其中m,n是互质的正整数，则log6mlog7n= .

二、解答题

9. 设a0,a1,,an,为实数列，满足an12an1，其中nN.

5求证：当n25时，an5an5.

10.

x2y2设F椭圆221(ab0)的焦点，AB,CD为过焦点的弦，满足ABCD，求“蝶形”ACFBD面积的最大ab值和最小值.

11. 设函数f(x)ax28x3(aR). （1）若g(x)xf(x),f(x)与g(x)在x同一个值时都取得极值，求a的值.

（2）对于给定的负数a，有一个最大的正数M(a)，使得x[0,M(a)]时，恒有|f(x)|5.

①M(a)的表达式；

②M(a)的最大值及相应的a值.

第二试

1、在RtABC中，CD是斜边上的高，记I1,I2,I分别是ADC,BCD，ABC的内心，I在AB边上的射影为O1；CAB，ABC的角平分线交BC，AC分别于P，Q；PQ的连线与CD相交于O2.求证：四边形I1O1I2O2为正方形.

QI1O2II2PA

DO1Ba3b3c3abc2、设a,b,cR,求证:.

2222222aab2b2bbc2c2cca2a33、设ABC的内切圆半径为1，三边长BCa,CAb,ABc.若a、b、c都是整数，求证：ABC为直角三角形. 4求证：面积为1的凸n边形n6可以被面积为2的三角形覆盖．

第十六套：高中数学联赛模拟题

华南师大附中宋红军

一试

姓名成绩

一：选择题(每小题8分，共64分)

1、设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，从X到Y的映射这样的映射一共有 18 个。

f满足条件：对于每个xX，恒有x+f(x)为奇数，则

2、已知x+lgx=10,y+10y=10，则x+y= 10 。

73、设f(z)=3z(cos +isin)，这里z是复数，用A表示点f(1+3i)，B表示点f(0)，C表示点4i，则∠ABC= 60 。

4、设抛物线y2=2x的焦点为F，以P(4.5,0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于点M、N。则|MF|+|NF|的值是 8 。

5、已知四棱锥S—ABCD的底面为平行四边形，面SAC⊥面SBD，若△SBC、△SCD、△SDA的面积分别为5,6,7，则△SAB的面积等于 38 。

6、若1≤a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤64，则Q=

a1aa3 +

3 +

5 的最小值为。

a2a4a64

7、一个由16个小方格组成的种不同的染法。

44的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，有 90

8、已知M=27t=35s，其中t是奇数，s不能被3整除，则M的所有形如2p3q（其中p,q为自然数）的约数之和等于 92820 。

二：解答题（9小题每小题16分，10、11小题20分，共56分）

9、数列{an}定义如下：a0=a1=1,an+2=14an+1-an(其中nN)，求证：对所有的正整数n，2an-1是完全平方数。

证明：数列{an}对应的特征方程为x2-14x+1=0，其两根为x1=7+43,x2=7-43，

∴ an=·(7+43)n+·(7-43)n

又a0=a1=1

∴

=

2-32+3 ,=

44∴ an=

2-32-32+32+3 ·(7+43)n+ ·(7-43)n= ·(2+3)2n+ ·(2-3)2n

4444∴ 2an-1=2-32+3 ·(2+3)2n+ ·(2-3)2n-1

22 =(3-123+12)·(2+3)2n+()·(2-3)2n-1

22 =[3-13+1·(2+3)n-·(2-3)n]2

22n由二项式定理得：(2+3)n=i=0in-iCn·2·(3)i

可设(2+3)n=x+y3,其中x,y为整数，则(2-3)n=x-y3

∴ 2an-1=[3-13+1·(2+3)n-·(2-3)n]2=(3y-x)2

22又∵ 3y-x为整数

∴ 2an-1是完全平方数。

解法二：用归纳法证明。

（构造数列{bn}:b0=-1,b1=1,b2=5,bn+2=4bn+1-bn，证明2an-1=bn2）

10、已知a,b,c为正实数，求证：(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)≥(a+b+c)3

证明：∵ a,b,c为正实数

∴ a5-a3-a2+1=a3(a2-1)-(a2-1)=(a-1)2(a+1)(a2+a+1)≥0

∴ a5 -a2+1>a3

∴ a5-a2+3≥a3+2

同理可得：b5-b2+3≥b3+2；c5-c2+3≥c3+2；

∴ (a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)

≥(a3+2)(b3+2)(c3+2)

=a3b3c3+2a3b3+2b3c3+2a3c3+4a3+4b3+4c3+8 =(a3+b3+c3)+(a3+a3b3+1)+(a3+a3c3+1)+(b3+a3b3+1)+(b3+b3c3+1)+

a3b3c3+1+1)

(c3+a3c3+1)+(c3+b3c3+1)+(a3+b3+c3+

≥a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3b2c+3ac2+3bc2+6abc

=(a+b+c)3

当a=b=c=1时取等号。

11、点P到定点F(-1,2)和到定直线x=-3的距离之和等于4。（1）求点P的轨迹方程，并画出曲线L。（2）直x=-1+tcos

线l: ( 为倾斜角，t为参数)。与曲线L交于P、Q两点，记f ( )=｜PQ｜，试求f ( )的表达y=2+tsin

式及其最大值和最小值。

解：(1)设P点的坐标为：P(x,y)，则有

(x+1)2+(y-2)2+|x+3|=4

∴ 当x≥-3时，(y-2)2=-4x

当x≤-3时， (y-2)2=12(x+4)

2(y-2)=-4x (x≥-3)∴ P点的轨迹方程为：

2(y-2)=12(x+4) (x≤-3)(2)以F(-1,2)为极点，x轴正向为极轴，建立极坐标系，则

当x≥-3时，P点轨迹为以F(-1,2)为焦点的抛物线，

此时的抛物线椎坐标方程为=2 (-120≤≤120)；

1+cos当x≤-3时，P点轨迹也为以(-1,2)为焦点的抛物线；此时的抛物线椎坐标方程为=直线方程为 =0；

6 (120≤≤240)；1-cos直线与曲线相交有两种情况：（1）直线只与一条抛物线相交时，这条抛物线方程必为：=2 且60≤≤120，此时

1+cos4≤|PQ|=

22416 + =

2 ≤31+cos1-cos1-cos 当=90时取最小值；当=60时取最大值。

（2）直线与两条抛物线都相交时，-60≤≤60，此时

4≤|PQ|=

26816 + = ≤

31+cos1+cos1+cos当=0时取最小值；当=60时取最大值。

41-cos2 (60≤≤120)∴ f ( )=81+cos (-60≤≤60)16 ，最小值为4。

且f ( )的最大值为二试

姓名成绩

一：本题满分40分

给定锐角△ABC，在BC边上取点A1、A2(A2位于A1与C之间)；在CA边上取点B1、B2(B2位于B1与A之间)；在AB边上取点C1、C2(C2位于C1与B之间)。使得∠AA1A2=∠AA2A1=∠BB1B2=∠BB2B1=∠CC1C2=∠CC2C1。直线AA1、BB1、CC1可构成一个三角形，直线AA2、BB2、CC1可构成另一个三角形，求证：这两个三角形的六个顶点共圆。

一：证明：设上述两个三角形分别为图中所示的△UVW和△XYZ，则

∵ ∠BB2B1=∠CC1C2

C1A∴ ∠AB2B=∠AC1C

UC2YBA1VXB2WZA2CB1∵ ∠BAB2=∠CAC1

∴ △AB2B∽△AC1C

∴

AC1AB2 = 且∠ABB2=∠ACC1

ACAB同理可得：∠BAA1=∠BCC2

∴ ∠A1VB=∠BAA1+∠B1BB2+∠ABB2=∠BCC2+∠C1CC2+∠ACC2=∠ACB

同理可得：∠ACB=∠AXB2

∴ ∠A1VB=∠AXB2

同理可得：∠A2ZC=∠AUC1

在△ABV中：AVABABAB = = =

sin∠ABVsin∠AVBsin∠A1VBsin∠ACB同理可得：ABAC =

sin∠ACBsin∠ABC；AZACACAC = = =

sin∠ACZsin∠AZCsin∠A2ZCsin∠ABC∴ AV=AZ 同理可得：BW=BX；CU=CY

又AC1AC1AUAC = = ·

ACsin∠AC1Usin∠AUC1sin∠ABC=AB2AB2ABAX · = =

ABsin∠ACBsin∠AXB2sin∠AB2X∴ AU=AX 同理可得：BV=BY；CW=CZ

∴ UX∥BC；UX∥CA ∴ ∠AUX=∠AA1A2=∠BB1B2=∠BWX

∴ X位于△UVW的外接圆上

同理可得：Y位于△UVW的外接圆上；Z位于△UVW的外接圆上 ∴ U、V、W、X、Y、Z六点共圆。

二：本题满分40分

设a, b, c > 0，求证：111 + + ≥a1 + bb1 + cc1 + a33abc(1+3abc) 。

证：记k =

aaaabc > 0，作分式变换 a = k·1 b = k·2 , c = k·3 ，

a3a1a2a1, a2, a3 > 0，

则原不等式等价于

a3a1a23 + + ≥ …… *

a1 + ka2a2 + ka3a3 + ka11 + k由Cauchy 不等式有 ∑a1 ·∑a1a2 + ka3 ≥ a1 + a2 + a3

2 …… ①

a2 + ka3而 ∑a1a2 + ka3 = 1 + ka1a2 + a2a3 + a3a1 …… ②

∑a1

2 ≥ 3a1a2 + a2a3 + a2a1 …… ③

由①②③立得*，故原不等式得证。

三：本题满分50分

求所有正整数a1,a2,…,an，使得99aaa =

0 +

1 +…+

n-1 ，其中a0=1,(ak+1-1)ak-1≥ak2(ak-1),k=1,2,…,n-1。

an100a1a2解：设a1,a2,,an是满足已知条件的正整数。因为a01，所以a11，

否则a0991a1100, 即有a12，且a1a0，假设akak1,ak2，则 ak1222ak(ak1)ak(ak1)ak1ak，综上所述，有

ak1ak1ak12(ak1)重写为

ak1ak,ak12，其中k0,1,2,,n1将不等式(ak11)k1akak1akak1aakk1，即。

ak(ak1)ak11akak1ak11an1aaaaain1求和可得ii1n1

anan1ai1ai2anai11对于ki1,i2,,n1及当i0时，有1991100100，即，则a12。

a1a1100a119999当i1时，有a1a1991200200，即a21，则a25。

a2100a1a219949当i2时，有11991a1155，即55a3551，则a356。

99a3a2100a1a2a3111991a1a21，即

a4a3100a1a2a3a41当i3时，有5614100a456141001，则a478400。

当i4时，有1199125560，不可能。

a5a41因此，a12,a25,a356,a478400是惟一的解。

四：本题满分50分 12设n和k是正整数，满足 n

解：如果棋盘上不存在k×1或1×k个没放“车”的方格，则称棋盘上的“车”的放法是“好的”。记行和列分别是第0行到第n-1行和第0列到第n-1列。一个理想的“好的”放法如下：将“车”放在(i,j)上，其中i,j分别表示为第i行、第j列，使k|i+j+1。由于n<2k，所以i+j+1=k,2k或3k。从而构成三条由“车”构成的斜线。因为3k≤2n，则这三条斜线上分别包含k个方格、2n-2k个方格和3n-3k个方格（特别地3k=2时，第三条斜线不存在）。所以共有4(n-k)个方格放有“车”。

下面证明这是“车”满足“好的”放法的最小值。

假设用m个“车”存在一个“好的”放法，划分棋盘为9个矩形区域 A B C

如右图示，使得每个角所在的区域A、C、G、I为(n-k)×(n-k)的区域，B、 D E F

H有n-k行，2k-n列，D、F有2k-n行，n-k列。因为2k-n>0，因此这种 G H I

分法是合理的。

假设在矩形区域B中有b行没有“车”，H中有h行没有“车”，D中有d列没有“车”，F中有f列没有“车”。任取B中没有“车”的b行中一行，并向左、右延伸到整个棋盘，则这一行延伸到A的部分至少含有1个“车”，否则放法不是“好的”。同理，这一行在C的部分至少含有1个“车”。在A和C中对这一行中的两个“车”所在的方格各作一个记号。

同理对H中没有“车”的h行有同样的结论。而对D和F中没有“车”的d列和f列也具有同样的结论。因此在A∪C∪G∪I中总共有“车”的方格作了2(b+h+d+f)次记号，而每个方格最多做了两次记号。所以有记号的方格至少有b+h+d+f个，它们中的每一个方格内都有1个“车”。因此，在A∪C∪G∪I中至少的b+h+d+f个“车”。

又由于B中至少有n-k-b个“车”, H中至少有n-k-h个“车”，D中至少有n-k-d个“车”，F中至少有n-k-f个“车”，所以m≥4(n-k)

综上所述：要使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”，至少要放4(n-k)个“车”。

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