2019年高考理科数学全国卷3含答案

2024年3月15日发(作者：幼儿园大班的数学试卷期末)

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅲ卷）

注意事项：

1

．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2

．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。

3

．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1

．已知集合

A{1,0,1,2}，B{x|x

2

1}

，则

AB

A

．



1,0,1



2

．若

z(1i)2i

，则

z=

A

．

1i

B

．

1+i

C

．

1i

D

．

1+i

B

．



0,1



C

．



1,1



D

．



0,1,2



3

．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小

说四大名著

.

某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了

100

位学生，其中阅读

过《西游记》或《红楼梦》的学生共有

90

位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80

位，阅读过

《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有

60

位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与

该校学生总数比值的估计值为

A

．

0.5 B

．

0.6 C

．

0.7 D

．

0.8

4

．（

1+2x

2

）（

1+x

）

4

的展开式中

x

3

的系数为

A

．

12 B

．

16 C

．

20 D

．

24

5

．已知各项均为正数的等比数列

{a

n

}

的前

4

项和为

15

，且

a

5

=3a

3

+4a

1

，则

a

3

=

梦想不会辜负每一个努力的人- 1 -

A

．

16 B

．

8 C

．

4 D

．

2

6

．已知曲线

yae

x

xlnx

在点（

1

，

ae

）处的切线方程为

y=2x+b

，则

A

．

ae，b1

B

．

a=e

，

b=1 C

．

a



e



1

，

b



1

D

．

a



e



1

，

b1

2x

3

7

．函数

y



x

在



6,6



的图像大致为



x

2



2

A

．

B

．

C

．

D

．

8

．如图，点

N

为正方形

ABCD

的中心，△

ECD

为正三角形，平面

ECD

⊥平面

ABCD

，

M

是线

段

ED

的中点，则

A

．

BM=EN

，且直线

BM

，

EN

是相交直线

B

．

BM≠EN

，且直线

BM

，

EN

是相交直线

C

．

BM=EN

，且直线

BM

，

EN

是异面直线

梦想不会辜负每一个努力的人- 2 -

D

．

BM≠EN

，且直线

BM

，

EN

是异面直线

9

．执行下边的程序框图，如果输入的



为

0.01

，则输出

s

的值等于

A

．

2



1

2

4

B

．

2



1

2

5

C

．

2



1

2

6

D

．

2



1

7

2

x

2

y

2

10

．双曲线

C

：

=1

的右焦点为

F

，点

P

在

C

的一条渐近线上，

O

为坐标原点，若



42

PO=PF

，则△

PFO

的面积为

A

．

32

4

B

．

32

2

C

．

22

D

．

32

11

．设

f



x



是定义域为

R

的偶函数，且在



0,+



单调递减，则

2

1

3

）＞

f

（



2

）＞

f

（



3

）

22

4

2

1

3

B

．

f

（

log

3

）＞

f

（



3

）＞

f

（



2

）

22

4

2

1

3

C

．

f

（



2

）＞

f

（



3

）＞

f

（

log

3

）

22

4

2

1

3

D

．

f

（



3

）＞

f

（



2

）＞

f

（

log

3

）

22

4



12

．设函数

f



x



=sin

（



x



）

(



＞0

)

，已知

f



x



在



0,2



有且仅有

5

个零点，下述四个

5

A

．

f

（

log

3

结论：

①

f



x



在（

0,2

）有且仅有

3

个极大值点

梦想不会辜负每一个努力的人- 3 -

②

f



x



在（

0,2

）有且仅有

2

个极小值点



）单调递增

10

1229

④



的取值范围是

[

，

)

510

③

f



x



在（

0,

其中所有正确结论的编号是

A

．①④

B

．②③

C

．①②③

D

．①③④

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

13

．已知

a

，

b

为单位向量，且

a

·

b=0

，若

c2a5b

，则

cosa,c

___________.

S

10



___________.

14

．记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和，

a

1

≠0，a

2

3a

1

，则

S

5

x

2

y

2

15

．设

F

1

，F

2

为椭圆

C:

+



1

的两个焦点，

M

为

C

上一点且在第一象限

.

若

△MF

1

F

2

为

3620

等腰三角形，则

M

的坐标为

___________.

16

．学生到工厂劳动实践，利用

3D

打印技术制作模型

.

如图，该模型为长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

挖去四棱锥

O

—

EFGH

后所得的几何体，其中

O

为长方体的中心，

E

，

F

，

G

，

H

分别为所

在棱的中点，

AB=BC=6cm, AA

1

=4cm

，

3D

打印所用原料密度为

0.9 g/cm

3

，不考虑

打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

___________g.

三、解答题：共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17~21

题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第

22

、

23

题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共

60

分。

梦想不会辜负每一个努力的人- 4 -

17

．（

12

分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将

200

只小鼠随机分成

A

，

B

两组，每组

100

只，其中

A

组小鼠给服甲离子溶液，

B

组小鼠给服乙离子溶液，每只小

鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小

鼠体内离子的百分比

.

根据试验数据分别得到如下直方图：

记

C

为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于

5.5

”，根据直方图得到

P

（

C

）的估计

值为

0.70

．

（

1

）求乙离子残留百分比直方图中

a

，

b

的值；

（

2

）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）．

18

．（

12

分）

△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

a

sin

（

1

）求

B

；

（

2

）若△

ABC

为锐角三角形，且

c=1

，求△

ABC

面积的取值范围．

19

．（

12

分）

图

1

是由矩形

ADEB

，

Rt

△

ABC

和菱形

BFGC

组成的一个平面图形，其中

AB=1

，

BE=BF=2

，∠

FBC=60°

，将其沿

AB

，

BC

折起使得

BE

与

BF

重合，连结

DG

，如图

2.

（

1

）证明：图

2

中的

A

，

C

，

G

，

D

四点共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

；

（

2

）求图

2

中的二面角

B−CG−A

的大小

.

A



C



b

sin

A

．

2

梦想不会辜负每一个努力的人- 5 -

20

．（

12

分）

已知函数

f(x)2x

3

ax

2

b

.

（

1

）讨论

f(x)

的单调性；

（

2

）是否存在

a,b

，使得

f(x)

在区间

[0,1]

的最小值为

1

且最大值为

1

？若存在，求出

a,b

的所有值；若不存在，说明理由

.

1

x

2

21

．已知曲线

C

：

y=

，

D

为直线

y=



上的动点，过

D

作

C

的两条切线，切点分别为

A

，

2

2

B.

（

1

）证明：直线

AB

过定点：

（

2

）若以

E(0

，

的面积

.

（二）选考题：共

10

分。请考生在第

22

、

23

题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22

．

[

选修

4−4

：坐标系与参数方程

]

（

10

分）

如图，在极坐标系

Ox

中，

A(2,0)

，

B

(2,)

，

C

(2,

5

)

为圆心的圆与直线

AB

相切，且切点为线段

AB

的中点，求四边形

ADBE

2



4





，

)

，

D(2,)

，弧



AB

，

BC

4





，

(1,0)

(1,)

，

(1,)

，曲线

M

1

是弧



所在圆的圆心分别是，

CD

AB

，曲线

M

2

是弧

BC

2



.

曲线

M

3

是弧

CD

（

1

）分别写出

M

1

，

M

2

，

M

3

的极坐标方程；

（

2

）曲线

M

由

M

1

，

M

2

，

M

3

构成，若点

P

在

M

上，且

|OP|3

，求

P

的极坐标

.

梦想不会辜负每一个努力的人- 6 -

23

．

[

选修

4−5

：不等式选讲

]

（

10

分）

设

x,y,zR

，且

xyz1

.

（

1

）求

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2

的最小值；

（

2

）若

(x2)

2

(y1)

2

(za)

2



1

3

成立，证明：

a3

或

a1

.

2019

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

一、选择题

1

．

A 2

．

D 3

．

C 4

．

A 5

．

C 6

．

D 7

．

B 8

．

B 9

．

C 10

11

．

C 12

．

D

二、填空题

13

．

2

3

14

．

4 15

．

(3,15)

16

．

118.8

三、解答题

17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

梦想不会辜负每一个努力的人

A

- 7 -

．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

18．解：（1）由题设及正弦定理得

sinAsin

A



C



sinBsinA

．

2

因为sinA



0，所以

sin

A



C

sin

B

．

2

ACBBBB

cos

，故

cos2sincos

．

22222

由

ABC180

，可得

sin



因为

cos

B1

B

0

，故

sin



，因此B=60°．

22

2

3

a

．

4

（2）由题设及（1）知△ABC的面积

S

△

ABC





csinA

sin



120



C



31



． 由正弦定理得

a



sinCsinC2tanC2

由于△ABC为锐角三角形，故0°

30°

1

33

a2

，从而

．

S

△

ABC



2

82



33



因此，△ABC面积的取值范围是



．



8

,

2







19．解：（1）由已知得AD



BE，CG



BE，所以AD



CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，

C，G，D四点共面．

由已知得AB



BE，AB



BC，故AB



平面BCGE．

又因为AB



平面ABC，所以平面ABC



平面BCGE．

（2）作EH



BC，垂足为H．因为EH



平面BCGE，平面BCGE



平面ABC，所以EH



平

梦想不会辜负每一个努力的人- 8 -

面ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=

3

．



以H为坐标原点，

HC

的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，



则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，

3

），

CG

=（1，0，

3

），

AC

=（2，

–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则







CG



n



0,





x



3z



0,

即











2x



y



0.



AC



n



0,



所以可取n=（3，6，–

3

）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以

cos



n,m



因此二面角B–CG–A的大小为30°．

20. 解：（1）

f



(x)6x

2

2ax2x(3xa)

．

令

f



(x)0

，得x=0或

x

n



m3



．

|n||m|2

a

.

3

若a>0，则当

x

(,0)







a



a



,



时，

f



(x)0

；当

x





0,



时，

f



(x)0

．故



3



3





a



a



f(x)

在

(



,0),



,





单调递增，在



0,



单调递减；



3



3



若a=0，

f(x)

在

(,)

单调递增；

梦想不会辜负每一个努力的人- 9 -

若a<0，则当

x





,





a



a





时，；当



(0,)

x



f(x)0



,0



时，

f



(x)0

．故

3



3



a



a



f(x)

在





,



,(0,



)

单调递增，在



,0



单调递减.

3



3



（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由（1）知，

f(x)

在[0，1]单调递增，所以

f(x)

在区间[0，l]的最小值为

f(0)=b

，最大值为

f(1)2ab

.此时a，b满足题设条件当且仅当

b1

，

2ab1

，即a=0，

b1

．

（ii）当a≥3时，由（1）知，

f(x)

在[0，1]单调递减，所以

f(x)

在区间[0，1]的最大值

为

f(0)=b

，最小值为

f(1)2ab

．此时a，b满足题设条件当且仅当

2ab1

，

b=1，即a=4，b=1．

a

3



a





b

，最大值为b（iii）当0

f(x)

在[0，1]的最小值为

f





27



3



或

2ab

．

a

3

若

b1

，b=1，则

a3

3

2

，与0

27

a

3

若

b1

，

2ab1

，则

a33

或

a33

或a=0，与0

27

综上，当且仅当a=0，

b1

或a=4，b=1时，

f(x)

在[0，1]的最小值为-1，最大值为

1．

21．

解：（1）设

D



t,







1





,

2



A



x

1

,y

1



，则

x

1

2

2y

1

.

1

2



x

.

由于

y\'x

，所以切线DA的斜率为

x

1

，故

1

x

1



t

y

1



整理得

2 tx

1

2 y

1

+1=0.

设

B



x

2

,y

2



，同理可得

2tx

2

2 y

2

+1=0

.

梦想不会辜负每一个努力的人- 10 -

故直线AB的方程为

2tx2y10

.

1

所以直线AB过定点

(0,)

.

2

（2）由（1）得直线AB的方程为

ytx

1

.

2

1



y



tx







2

2

由



，可得

x2tx10

.

2



y



x





2

于是

x

1

x

2

2t,x

1

x

2

1,y

1

y

2

t



x

1

x

2



12t

2

1

，

|AB|1t

2

x

1

x

2

1t

2





x

1

x

2



2

4x

1

x

2

2



t

2

1



.

2

t



1

2

设

d

1

,d

2

分别为点D，E到直线AB的距离，则

d

1



t

2



1,d

2



因此，四边形ADBE的面积

S

1

|AB|



d

1

d

2







t

2

3



t

2

1

.

2

.

1



设M为线段AB的中点，则

M



t,t

2





.

2







2

由于

EMAB

，而

EM



t,t2



，

AB

与向量

(1, t)

平行，所以

t



t

2

2



t0

.解得t=0或

t1

.

当

t

=0时，S=3；当

t1

时，

S42

.

因此，四边形ADBE的面积为3或

42

.



,CD



所在圆的极坐标方程分别为



2cos



，

AB,BC

22.解：（1）由题设可得，弧





2sin



，



2cos



.

所以

M

1

的极坐标方程为





2cos





0









，

M

2

的极坐标方程为

4







π







2sin













π



4

3π



3π



，

的极坐标方程为





2cosπ

M

3



.

4



4



梦想不会辜负每一个努力的人- 11 -

（2）设

P(



,



)

，由题设及（1）知

若

0







π

4

，则

2cos



3

，解得





π

6

；

若

π3

4







π

4

，则

2sin



3

，解得





π2π

3

或





3

；

若

3π5π

4







π

，则

2cos



3

，解得





6

.

综上，P的极坐标为





3,

π





6





或





π





3,

3





或







3,

2π



3





或







3,

5π



6





.

23

．解：（

1

）由于

[(x1)(y1)(z1)]

2

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2

2[(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)]

3





(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2





，

故由已知得

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2



4

3

，

当且仅当

x=

5

3

，

y=

–

1

3

，

z

1

3

时等号成立．

所以

(x1)

2

(y1)

2

(z1)

2

的最小值为

4

3

.

（

2

）由于

[(x2)(y1)(za)]

2

(x2)

2

(y1)

2

(za)

2

2[(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)]

3





(x2)

2

(y1)

2

(za)

2





，

(x



2)

2



(y



1)

2



(z



a)

2



(2



a)

2

故由已知

3

，

当且仅当

x



4



a

3

，

y



1



a2a



2

3

，

z



3

时等号成立．

22

a)

2

的最小值为

(2a)

2

因此

(x2)(y1)(z

3

．

由题设知

(2a)

2

3



1

3

，解得

a3

或

a1

．

梦想不会辜负每一个努力的人- 12 -

梦想不会辜负每一个努力的人- 13 -