高二上期末数学试卷(及答案)

2023年12月2日发(作者：温州中考三模数学试卷分析)

高二上期末数学试卷(及答案)

高二上期末数学试卷(及答案)

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.直线x-y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是45度。

2.命题“∃x∈R，ex=x-1”的否定是“对任意x∈R，都有ex≠x-1”。

3.过点A（-1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y-2=0.

4.已知一个物体的运动方程是s=1-t+t^2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是6米/秒。

5.“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件。

6.过点（2，0）、（0，-2）的椭圆的标准方程为(x/2)^2+(y/-1)^2=1.

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为45度。

8.直线3x+4y=b与圆x^2+y^2-2x-2y+1=0相交，则b的取值范围为-5≤b≤5. 9.若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm^3，则它的侧面积为4√3cm^2.

10.下列命题，其中正确的是④：若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1.

11.椭圆(x/2)^2+y^2=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为(x-1)^2+(y-2)^2=5.

12.已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=-3，则其渐近线方程为y=±(2/3)x。

13.定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为(1.+∞)。

14.已知动点A、B分别在图中抛物线y^2=4x及椭圆(x/3)^2+y^2=1上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是4+2√13≤l≤4+2√10.

二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知圆C：（x-1）^2+y^2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点。 1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；

解：圆心C为(1,0)，直线l过点P(2,2)，因为CP垂直于l，所以l的斜率为-1/2，过点P的直线方程为y-2=(-1/2)(x-2)，化简得l的方程为x+2y-6=0.

2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；

解：设弦AB的中点为M，则PM垂直于AB且经过圆心C，所以PM的斜率为2/3，又因为PM平分AB，所以AM=MB，设AM=MB=t，则AP=2-t，PB=2+t，根据圆的方程可得(2-t-1)^2+2^2=9，解得t=2/3，所以AM=MB=2/3，AB的斜率为-3/4，过点P的直线方程为y-2=(-3/4)(x-2)，化简得l的方程为3x+4y-14=0.

3) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长。

解：设弦AB的中点为M，则PM垂直于AB且经过圆心C，所以PM的斜率为1，又因为l的倾斜角为45°，所以l的斜率为1，设AB的斜率为k，则k=1，又因为AB经过点P(2,2)，所以AB的方程为y=x，将其代入圆的方程可得(x-1)^2+x^2=9，解得x=2±√2，所以AB的长为2√2.

分析】题目考查命题的否定，需要掌握命题的否定规律，以及指数函数的性质． 解答】解：命题“∃x∈R，ex=x﹣1”可以表示为：存在一个实数x，使得ex=x﹣1成立．

该命题的否定为：对于任意实数x，都有ex≠x﹣1不成立，即存在实数x，使得ex=x﹣1成立．

因为ex>0，所以当x=0时，ex=1>x﹣1，因此命题“∃x∈R，ex=x﹣1”成立．

点评】本题考查了命题的否定，需要掌握命题的否定规律，同时需要对指数函数的性质有一定的了解．

3．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣x＋3，则f（1）的值为2．

分析】题目考查函数的计算，需要掌握函数的定义及运算法则．

解答】解：将x=1代入函数f（x）=x3﹣3x2﹣x＋3中，可得f（1）=1﹣3﹢3＋3=2．

因此，f（1）的值为2．

点评】本题考查函数的计算，需要掌握函数的定义及运算法则．

4．已知点A（1，2），B（4，7），则向量AB的模长为．

分析】题目考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则． 解答】解：向量AB的坐标表示为（3，5），则向量AB的模长为|AB|=√32+52=√34．

点评】本题考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．

5．已知函数f（x）=x2﹣2x+1，则f（x）的最小值为．

分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

解答】解：将f（x）=x2﹣2x+1表示为f（x）=（x﹣1）2，由于平方数非负，因此f（x）的最小值为0，当且仅当x=1时取到．

点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

6．已知函数f（x）=x3﹣3x，则f（x）的单调递增区间为．

分析】题目考查函数的单调性，需要掌握函数单调性的判断方法．

解答】解：对函数f（x）求导，可得f\'（x）=3x2﹣3，令f\'（x）=0，解得x=±1，因此f（x）的单调递增区间为（，1）和（1，+∞）． 点评】本题考查函数的单调性，需要掌握函数单调性的判断方法，同时需要掌握求导的知识．

7．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1与圆C2：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1的交点为A、B两点，则线段AB的长度为．

分析】题目考查圆的交点及线段长度的计算，需要掌握圆的性质及线段长度的计算方法．

解答】解：联立圆C1和圆C2的方程，可得x2﹣6x+y2﹣8y+15=0，化为标准形式为（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，因此圆C1和圆C2的交点为A（2，3）和B（4，1）．

因此，线段AB的长度为√（4﹣2）2+（1﹣3）2=2√2．

点评】本题考查圆的交点及线段长度的计算，需要掌握圆的性质及线段长度的计算方法．

8．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[0，2]上的最大值为．

分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

解答】解：对函数f（x）求导，可得f\'（x）=2x﹣2，令f\'（x）=0，解得x=1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣1． 因此，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=0．

点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

9．已知向量a=3i﹣2j﹢k，向量b=2i﹣3j﹣k，则向量a﹣b的模长为．

分析】题目考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．

解答】解：向量a﹣b=（3﹣2）i﹣（﹣2﹣（﹣3））j﹢（1﹣（﹣1））k=5i﹢1j﹢2k，因此向量a﹣b的模长为|a﹣b|=√52+12+22=√30．

点评】本题考查向量的计算，需要掌握向量的定义及运算法则．

10．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）的图象关于直线y=x的对称图象为函数g（x）的图象，且g（x）在x=1处取得最小值，则g（x）的解析式为．

分析】题目考查函数的对称性，需要掌握函数的对称性及函数的计算方法．

解答】解：由题意可知，f（x）的图象关于直线y=x的对称图象为函数g（x）的图象，因此g（x）=f﹣1（x）=（x﹢1）2﹣2，即g（x）=x2﹢2x﹣1． 因为g（x）在x=1处取得最小值，因此g\'（1）=0，解得a=1，因此g（x）的解析式为g（x）=x2﹢2x﹣1．

点评】本题考查函数的对称性，需要掌握函数的对称性及函数的计算方法．

11．已知点A（2，﹣1），B（4，3），C（﹣1，2），则三角形ABC的面积为．

分析】题目考查三角形的面积计算，需要掌握三角形面积计算的方法．

解答】解：由向量AB和向量AC可以求得向量AB×AC=（﹣11，10，14），因此三角形ABC的面积为S=|AB×AC|/2=√627/2．

点评】本题考查三角形的面积计算，需要掌握三角形面积计算的方法．

12．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[1，3]上的最小值为．

分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

解答】解：对函数f（x）求导，可得f\'（x）=2x﹣2，令f\'（x）=0，解得x=1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣1． 因此，f（x）在[1，3]上的最小值为f（3）=2．

点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

13．已知函数f（x）=x3﹣3x，则f（x）在[0，2]上的最大值为．

分析】题目考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

解答】解：对函数f（x）求导，可得f\'（x）=3x2﹣3，令f\'（x）=0，解得x=±1，因此f（x）在x=1处取得极小值，此时f（1）=﹣2．

因此，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=0．

点评】本题考查函数的最值，需要掌握函数的求导及最值的判断方法．

14．已知函数f（x）=x2﹣2x，则f（x）在[0，2]上的平均值为．

分析】题目考查函数的平均值，需要掌握函数的平均值的计算方法．

解答】解：f（x）在[0，2]上的积分为∫02（x2﹣2x）dx=（x3/3﹣x2）|02=4/3，因此f（x）在[0，2]上的平均值为4/3÷2=2/3． 点评】本题考查函数的平均值，需要掌握函数的平均值的计算方法．

二、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

1）求证：BE∥平面PDF；

2）求证：平面PDF⊥平面PAB．

PA⊥平面

A．∠BDE=∠EDF，∠PDF=90°

B．∠BDE=∠EDF，∠PAB=90°

C．∠BDE=∠PDF，BE∥PAB

D．∠EDF=∠PDF，BE∥PAB

解析】

1）因为E是PC的中点，所以BE∥PD；

又因为∠BAD=45°，所以∠BPD=∠APD=45°；

又因为F是AB的中点，所以DF⊥AB； 因此，∠BDE=∠EDF；

又因为BE∥PD，所以∠BDE=∠PDF；

因此，BE∥平面PDF．

2）因为ABCD是平行四边形，所以平面PAB和平面PCD平行；

又因为PA⊥平面PCD，所以PA垂直于平面PAB；

又因为∠BAD=45°，所以∠PAB=90°；

又因为F是AB的中点，所以DF⊥AB；

因此，∠EDF=∠PDF；

又因为BE∥

设侧棱长为s，则有

h2= s2 - a2/4

由正四棱锥的体积公式可得

V=1/3 * a2 * h = 4

代入h2的表达式，整理得

s2= 4a2/3 + 16/3

由正四棱锥的侧面积公式可得

S= 1/2 * s * l

其中l为侧棱斜高，由勾股定理可得

l=√(h2 + s2/4) 代入s2的表达式，整理得

l=√(4a2/3 + 16/3 + (s2-a2/4))

代入已知条件S=8，解方程可得s=2√3

故答案为：8cm2

11.已知椭圆 $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ 的左焦点为 $F_1$，点 $P$ 在椭圆上，且线段 $PF_1$ 的中点 $M$ 在

$y$ 轴正半轴上。求以线段 $F_1P$ 为直径的圆的标准方程为

$x^2+(y-3)^2=10$。

分析】由中位线定理可知 $PF_2$ 垂直于 $x$ 轴，根据椭圆的标准方程求出焦距 $c$，进而设 $|PF_1|=t$，根据勾股定理求得 $t$ 和 $|PF_2|$，可得 $M$ 的坐标，进而求出所求圆的标准方程。

解答】设 $M$ 的坐标为 $(0.m)$，则 $PF_2$ 的长度为

$b-m$。由勾股定理可得 $|PF_1|^2=|PF_2|^2+c^2$，即

$t^2=(b-m)^2+c^2$。由椭圆的定义可得 $c=sqrt{a^2-b^2}$，代入上式得 $t^2=(b-m)^2+a^2-b^2$，整理可得

$m=frac{a^2}{b}-frac{t^2}{2b}$。

又因为 $M$ 在 $y$ 轴正半轴上，所以 $m>0$，即

$frac{a^2}{b}-frac{t^2}{2b}>0$，解得 $t

$P$ 在椭圆上，所以

$frac{x_P^2}{a^2}+frac{y_P^2}{b^2}=1$，代入 $|PF_1|=t$ 可得 $(x_P-t)^2+y_P^2=b^2$。

由于 $M$ 是 $PF_1$ 的中点，所以 $MF_1=frac{t}{2}$，即 $(x_P-frac{t}{2})^2+(y_P-m)^2=frac{t^2}{4}$。联立以上两式，解得 $x_P=frac{t^2}{4b}$，$y_P=frac{a^2}{b}-frac{t^2}{2b}$。

以 $F_1P$ 为直径的圆的圆心为 $(frac{t}{2}。frac{a^2}{b}-frac{t^2}{4b})$，半径为 $frac{t}{2}$，代入圆的标准方程可得 $x^2+(y-3)^2=10$。

点评】本题考查了椭圆的基本性质和勾股定理的应用，难度适中。需要注意对中位线定理的理解和灵活运用，以及对代数式的化简和方程的解法。

故AB∥x轴，点N的坐标为（1，y2）．

根据抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式，可得：

抛物线焦半径p=1，椭圆焦半径c=2

则有：

x1 = p = 1

x2 = c + p = 3

因为AB∥x，所以有y1 = y2 = 2

故三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1+2√(1+(y2-2)²)+√(2²+(y2-2)²)

将x1和y2代入上式，可得：

2+√5 ≤ l ≤ 2+2√2

故答案为：2+√5 ≤ l ≤ 2+2√2

点评】本题考查了抛物线和椭圆的性质，以及利用焦半径公式和参数方程计算周长的方法，属于中档题。注意在计算周长时，要注意参数的代入和计算过程的准确性。

连接ME、BF，由三角形的中位线定理可得ME=BF，且ME∥BF，又因为ABCD是平行四边形，所以MEBF是平行四边形，故BE∥MF，又因为E是PC的中点，所以PE∥BF，故BE∥平面PDF；

2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=BC=2，又因为F为AB的中点，所以DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，故DF⊥平面PAB，由线面垂直的判定定理可得平面PDF⊥平面PAB．

点评】本题考查了平行四边形、垂直关系的证明，要善于利用中位线定理、线面平行、线面垂直的判定定理，注意画图，注意符号的书写．

18．（文科班选做此题）已知$a>0$，命题$p$：$forall

xgeq 1$，$x-sqrt{x}geq 2$恒成立，命题$q$：点$P(1,1)$在圆$(x-a)^2+(y-a)^2=4$的外部，是否存在正数$a$，使得$plor

q$为真命题；$pland q$假命题，若存在，请求出$a$的范围；若不存在，请说明理由．

分析】（1）利用二次函数的性质，可得到$p$的真值表达式，进而得到$a$的范围；

2）判断$q$的真假需要求出圆的方程，再判断点$P$是否在圆的外部，从而得到$q$的真假，进而得到$a$的范围．

解答】解：（1）当$xgeq 1$时，$x-sqrt{x}geq 2$的充要条件是$x^2-2x-4geq 0$，即$(x-1)^2-5geq 0$，解得$xin(-infty,1-sqrt{5}]cup[1+sqrt{5},+infty)$；

又圆$(x-a)^2+(y-a)^2=4$的圆心为$(a,a)$，半径为$2$，点$P(1,1)$到圆心的距离为$sqrt{2(a-1)^2}$，点$P$在圆的外部的充要条件是$sqrt{2(a-1)^2}>2$，即$|a-1|>sqrt{2}$；

综上所述，$plor q$为真命题的充要条件是$ain(-infty,1-sqrt{5}]cup(1+sqrt{2},+infty)$；

pland q$为假命题．

点评】本题考查的是命题逻辑、二次函数性质、圆的方程及点与圆的位置关系等知识点，需要考生综合运用多个知识点进行分析和判断，解题难度较大．

分析】本题为一道解析几何的题目，需要运用向量、平面方程、距离公式等知识进行求解。首先要确定三点的位置关系，然后确定所求点在哪个平面上，最后利用距离公式求出所求点到直线的距离。

解答】解：设所求点为P（x，y，z）。

则向量AP为

向量BP为

向量CP为

则向量AP与向量BP的叉积为

则所求平面的法向量为

所以所求平面的方程为

即

由于P点到直线的距离为所求平面的方程中P点的坐标满足该方程，因此将P点的坐标代入所求平面的方程，得

即

故所求点到直线的距离为

点评】本题考查了解析几何的多个知识点，需要考生对向量、平面方程、距离公式等知识点熟练掌握，并能够合理运用。在解题时要注意确定点的位置关系，选择合适的方法进行求解。

1）根据已知条件，可得椭圆E的方程为：

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$

其中，$a=sqrt{b^2+4}$，$c=sqrt{a^2-b^2}$，$e=frac{c}{a}$。

2）设点A$(x_1,y_1)$，B$(x_2,y_2)$，由直线$x=my-1$与椭圆E的交点可得：

begin{cases}frac{x_1^2}{a^2}+frac{y_1^2}{b^2}=1x_1=my_1-1end{cases}$$

begin{cases}frac{x_2^2}{a^2}+frac{y_2^2}{b^2}=1x_2=my_2-1end{cases}$$

解得：

x_1=frac{a^2m-2c}{a^2m^2+1},y_1=frac{bm}{a^2m^2+1}$$

x_2=frac{a^2m+2c}{a^2m^2+1},y_2=-frac{bm}{a^2m^2+1}$$

则$Delta OAB$的面积为：

begin{aligned}S_{Delta

OAB}&=frac{1}{2}|overrightarrow{OA}timesoverrightarrow{OB}|&=frac{1}{2}left|begin{matrix}x_1&y_1&0x_2&y_2&00&0&1end{matrix}right|&=frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|end{aligned}$$

将$x_1$，$y_1$，$x_2$，$y_2$代入上式，可得： S_{Delta OAB}=frac{ab}{2(a^2m^2+1)}$$

由于$a$，$b$，$m$均为正数，故$S_{Delta OAB}$的最大值为$frac{ab}{2}$。

3）设圆的方程为$(x+2)^2+(y-frac{a}{2})^2=frac{a^2}{4}$，则圆心为$(-2,frac{a}{2})$。

由于$A$，$B$在直线$x=my-1$上，故$A$，$B$的纵坐标之和为$2my-2$，即圆心的纵坐标为$2my-2$。

当$2my-2=frac{a}{2}$时，圆心在直线上，此时圆与直线相切；当$2my-2>frac{a}{2}$时，圆心在直线上方，此时圆与直线相离；当$2my-2

综上所述，当$m>frac{a}{4}$时，圆与直线相交；当$m=frac{a}{4}$时，圆与直线相切；当$m

2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my-1代入椭圆的方程可得（3+m^2）y^2-2my-2=0，判别式为4m^2+8（3+m^2）>0恒成立，设直线与x轴的交点为N（-1，0），则|y1-y2|=2√(1-m^2)，S△AOB=1/2|ON||y1-y2|=√(1-m^2)，令t=m-1/m，则m^2=t^2-2，∴S△AOB=√(1-t^2)取得最大值，最大值为1；

3）AB中点为H（x，y），由（2）可得y=(y1+y2)/2，G（-2，0），∴|GH|^2=(x+2)^2+y^2=(my+1)^2+y^2=(1+m^2)y^2+2my+1=(1+m^2)y^2+2y+1，|AB|^2=(1+m^2)(y1-y2)^2=(1+m^2)(4-4m^2)，故|GH|^2-|AB|^2=(1+m^2)y^2+2y+1-(1+m^2)(4-4m^2)=8m^2+8>0，即G与AB为直径的圆在椭圆的外部。