2023年12月11日发(作者：刘耀文同款数学试卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学全国1卷
一、 选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分。在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设x=1-i则|x|=（ ）
1+2iA.2 B.
3 C.2 D.1
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7}.则B∩CuA=（ ）
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
3.已知a=log20.2,b=2,c=0.2,则（ ）
0.20.3A.a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比5-15-10.6182,(2)称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是() A.165cm B.175cm C.185cmD.190cm 5.函数f（x）=sinx+x的[-π,π]图像大致为（ ） 2cosx+x 6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2…,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生 255=（ ） o1 / 8 A. 23 B.23 C. 23 D. 23 8.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)A.b，则a与b的夹角为（ ） 25 B. C. D. 633612+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（ ） 9.如图是求11 B. A2 2AA11C. A D. A1 12A2AA. A X2y210. 双曲线C：2-2=1（a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 abA.2sin40° B.2cos40° C.11 D. sin50ocos50o1，则411.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=b=（ ） cA. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.已知椭圆C的焦点为F（0），F（，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|=2|F2B|，1-1，21.0）|AB|=|BF1|，则C的方程为（ ） X22X2y2X2y2X2y2y=1 B. =1 C. =1 D. =1 A. 2324354二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.曲线y=3(x+x)e在点（0,0）处的切线方程为 14. 记Sn为等比数列{an}的前n项和, 若a1=1, S3=15. 函数f(X)=sin(2X+2X3, 则S4= 43)-3cosx的最小值为 216.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 2 / 8 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ n(ad-bc)2附：K (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P（K2≥k） k 18.（12分） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5 （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的取值范围. 3 / 8 19.（12分） 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN||平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离. 20.（12分） 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f\'(x)为f(x)的导数. （1）证明：f\'(x)在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围. 21.（12分） 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4, （1）若A在直线x+y=0上，求M的半径； 4 / 8 M过点A，B且与直线x+2=0相切. （2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0. （1）求C和L的直角坐标方程； （2）求C上的点到L距离的最小值. 1-tx=1+t22y=4t1+t25 / 8 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明： （1）111++a2+b2+c2 abc333（2）(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24 答案与解析 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 1l.A 12.B 二、填空题 513.y=3x 14. 8 15.-4 16. 2 三、解答题17.解： （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为率的估计值为0.6. 40=0.8，因此男顾客对该商场服5030=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的额5050100(4020-3010)24.762 （2）K505070302 由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异。 18.解： 6 / 8 （1）设{an}的公差为d 由S9=-a5，得a1+4d=0. 由a3=4得a2+2d=4. 于是a=8，d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2n. （2）由（1）得a1=-4d，故an=(n-5)d，Sn=2n(n-9)d 2由a>0知d<0，故Sn≥an，等价于n-11n+10≤0，解得1≤n≤10. 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，nN） 19.解 （1）（1）连结B1C，ME，因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C又因N为A1D的中点，所以ND=1A1D. 2由题设知A1B1llDC，可得B1CllA1D，故MEllND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED又MN平面C1DE，所以MN/平面C1DE. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得DE从而CHBC，DECC1，所以DE平面C1CE，故DECH. 平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离， 417由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E=17，故CH= 17从而点C到平面C1DE的距离为20.解 （1）设g(x)=f(x)，则g（x）=cosx+xsinx-1，g’(x)=xcosx. ’417 17）时，g’(x)>0；当x∈[,π]时，g’(x)<0，所以g’(x)在（0，）单调222递增，在[,π]单调递减. 2又g（0）=0，g（）>0，g（π）=-2，故g（x）在（O，π）存在唯一零点所以f\'（x）在2当x∈（0，（0，π）存在唯一零点 （2）由题设知f（π）>aπ，f（π）=0，可得a≤0. 由（1）知，f\'（x）在（0，π）只有一个零点，设为x0，且当x∈（0，x0）时，f\'（x）>0；7 / 8 当x=（x0，π）时，f\'（x）<0，所以f（x）在（0，x0）单调递增，在（xo，π）单调递减. 又f（0）=0，f（π）=0，所以，当x=[0，π]时，f（x）≥0. 又当a≤0，x=[0，π]时，ax≤0，故f（x）≥ax. 因此，a的取值范围是（-∞，0]. 21.解： （1）因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x+y=0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设M（a，a）. 因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r=|a+2|. 2由已知得|AO|=2，又MOAO,故可得2a+4=（a+2）²，解得a=0或a=4. 故M的半径r=2或r=6. （2）存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下： 设M（x，y），由已知得M的半径为r=|x+2|，|AO|=2. 由于MOAO，故可得x²+y2+4=（x+2）2，化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C:y2=4x是以点P1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1. 因为|WA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P. 8 / 8
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