小学数学奥数精讲速算与巧算

2023年12月10日发(作者：八上名校期中数学试卷)

小学数学奥数精讲速算与巧算

在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。

一、先讲加法的巧算，加法具有以下两个运算律：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：

a+b=b+a

其中，a,b各表示任意数字。例如，5+6=6+5

一般地，多个数相加，任意改变相加的顺序，其和不变。例如，

a+b+c+d=d+b+c+a=…

其中，a,b,c,d各表示任意一数。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即：

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

其中，a,b,c,各表示任意一数。例如：

4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）

一般地，多个数相加，可先对其中几个数相加，再与其他数相加。把加法交换律和加法结合律综合起来运用，就得到加法的一些巧算方法。

1、凑整法。

先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其他的数相加。

例1：计算（1）23+54+18+47+82

（2）1350+49+68+51+32+1650

2、借数凑整法

有些题目直观上凑数不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976+85，可在85中借出24，即把85拆分成24+61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。

例2：计算（1）57+64+238+46

（2）4993+3996+5997+848

二、减法和加减法混合运算的巧算。

加、减法有如下一些重要性质：

1、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如：

a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b

2、在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变，如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如：

a+(b-c)=a+b-c

a-(b+c)=a-b-c

a-(b-c)=a-b+c

3、在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数原来的运算符号不变，如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。例如：

a+b-c=a+（b-c）

a-b+c=a-（b+c）

a-b-c=a-（b+c）

灵活运用这些性质，可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。

三、分组凑整法

例3 计算（1）875-364-236

（2）1847-1928+628-136-64

（3）+2234-48-24

例4 计算（1）512-382

（2）6854-876-97

（3）397-146+288-339 四、加法中的巧算

1.什么叫“补数”？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如： 87655→12345， 46802→53198，87362→12638，…

下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

例1 巧算下面各题：

①36+87+64

②99+136＋101

③ 1361＋972＋639＋28

解：①式=（36＋64）＋87

=100＋87=187

②式=（99＋101）＋136

=200+136=336

③式=（1361＋639）＋（972＋28）

=2000+1000=3000

3.拆出补数来先加。

例2 ①188＋873

②548＋996

③9898＋203

解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）

＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4）

=544+1000=1544

③式=（9898＋102）＋（203-102）

=10000+101=10101

4.竖式运算中互补数先加。

如：

五、减法中的巧算

1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例 3 ① 300-73-27

② -10

解：①式= 300-（73＋ 27）

= 300-100=200

②式=1000-（90＋80＋20＋10）

=1000-200=800

2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

例4① 4723-（723＋189）

② 2356-159-256

解：①式=4723-723-189

=4000-189=3811

②式=2356-256-159

=2100-159

=1941

3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

例 5 ①506-397

②323-189

③467＋997

④987-

解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）

=109 ②式=323-200+11（把多减的11再加上）

=123+11＝134

③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）

＝1464

④式=987-（178＋222）-390

＝987-400-400+10=197

六、加减混合式的巧算

1.去括号和添括号的法则

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

a -（b＋a＋d）＝a-b-c-d

a -（b-c）＝a-b+c

例6 ①100＋（10＋20＋30）

② 100-（10＋20+3O）

③ 100-（30-10）

解：①式=100＋10＋20＋30

=160

②式=100-10-20-30

=40

③式=100-30＋10

＝80

例7 计算下面各题：

① 100＋10＋20＋30

② 100-10-20-30

③ 100-30＋10

解：①式=100＋（10+20+30）

=100＋60=160

②式=100-（10＋20+30） ＝100-60=40

③式=100-（30-10）

=100-20=80

2.带符号“搬家”

例8 计算 325＋46-125＋54

解：原式=325-125＋46+54

＝（325-125）+（46＋54）

=200+100＝300

注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉

例9 计算9+2-9＋3

解：原式=9-9＋2+3=5

4.找“基准数”法

几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

＝640

七、乘法中的巧算

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2=10 25×4=100 125×8=1000

例1 计算①123×4×25

② 125×2×8×25×5×4

解：①式=123×（4×25）

=123×100＝12300

②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

=1000×100×10=1000000

2.分解因数，凑整先乘。

例 2计算① 24×25

② 56×125 ③ 125×5×32×5

解：①式=6×（4×25）

=6×100=600

②式=7×8×125=7×（8×125）

=7×1000=7000

③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000

3.应用乘法分配律。

例3 计算① 175×34＋175×66

②67×12+67×35＋67×52+6

解：①式=175×（34+66）

=175×100=17500

②式=67×（12＋35＋52＋1）

＝ 67×100＝6700

（原式中最后一项67可看成 67×1）

例4 计算① 123×101 ② 123×99

解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123＝12300＋123=12423

②式=123×（100-1）

=12300-123=12177

4.几种特殊因数的巧算。

例5 一个数×10，数后添0；

一个数×100，数后添00；

一个数×1000，数后添000；

以此类推。

如：15×10=150

15×100=1500

15×1000＝15000

例6 一个数×9，数后添0，再减此数；

一个数×99，数后添00，再减此数； 一个数×999，数后添000，再减此数；…以此类推。

如：12×9＝120-12＝108

12×99＝1200－12＝1188

12×999＝12000-12=11988

例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。如：6×5＝30

16×5＝80

116×5=580。

例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。如 2222×11＝24442

例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.

24×15

＝（24+12）×10

＝360

因为

24×15

＝ 24×（10+5）

＝24×（10＋10÷2）

=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字×（十位数字加1）×100+25如15×15=1×（1+1）×100+25=225

25×25=2×（2+1）×100+25=625

35×35=3×（3+1）×100+25=1225

45×45=4×（4+1）×100+25=2025

55×55=5×（5+1）×100+25=3025

65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

85×85=8×（8+1）×100+25=7225

95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

八、除法及乘除混合运算中的巧算

1.在除法中，利用商不变的性质巧算

商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11 计算①110÷5②3300÷25

③ 44000÷125

解：①110÷5=（110×2）÷（5×2）

＝220÷10=22

②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

＝13200÷100＝132

③ 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

＝352000÷1000＝352

2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12 864×27÷54

＝864÷54×27

=16×27

=432 3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。例13① 13÷9＋5÷9 ②21÷5-6÷5

③2090÷24-482÷24

④187÷12-63÷12-52÷12

解：①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

=18÷9＝2

②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

＝15÷5=3

③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

＝1608÷24＝67

④187÷12-63÷12-52÷12

＝（187-63-52）÷12

＝72÷12=6

4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：