2023年12月10日发(作者：数学试卷学情点评分析)
2020
考研数学二真题及解析完整版
一、选择题：1~8
小题，第小题
4
分，共
32
分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.
x ® 0+
，下列无穷小量中最高阶是（ ）
A.
ò
x
t2
0
(e-1)dt
B.
ò0
x
ln
(1+
t3
)dt
C.
ò
sin x
0
sint
2dt
cos x
D.
ò0
1-
sin3
tdt
答案：D
解析:A.
ò
x
(et
2
- 1)dt ~ò
x
t
2dt =
x3
B.
ò
ln
(0
1 + t3
)0
dt ~
ò
t
2dt = x
23
x x
3
2
5
0 0
5
C.
òsin x
sin t2dt ~
òx
t2dt =
1
x3
0 0
3
1-cos x
1
2
3
x
D.
ò
3
0
sintdt ~
ò
02
t
2
dt
t
2 2
2
æ
1
5
2
=
ö
2
1
5
5
çx=xè
2
÷ø
10 2
1
x) =
ex-1
2.
f (ln |1 + x |
(ex
-1)(x - 2)
第二类间断点个数（
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：
x = 0, x = 2, x = 1, x = -1
为间断点
）
1
e-1
e-1
ln | x +1| eln |1+ x | e-1
ln |1+ x |
= - = lim= -
lim
lim f (x) = lim
xx®0
x®0 x®0
2 2
x®0
(e
-1)(x - 2)
x
-2x
x-1
x = 0
为可去间断点
= ¥
lim f (x) = lim
x®2 x®2
(ex
-1)(x - 2)
ex-1
ln |1+ x |
1
x = 2
为第二类间断点
lim f (x) = lim
x®1-
x®1-
= 0
(e-1)(x - 2)
x
ex-1
ln |1+ x |
1
lim f (x) = lim
eln |1+ x |
= ¥
x
x®1+
x®1+
(e-1)(x - 2)
1
x-1
x = 1
为第二类间断点
lim
f (x) = lim
eln |1+ x |
= ¥
x®-1 x®-1
(ex
-1)(x - 2)
1
x-1
x = -1
为第二类间断点
3.
arcsin x
òx(1- x)
dx =
1
π2
A.
4
π2
B.
8
C.
π
4
π
8
D.
答案：A
解析：
x
d x
x(1- x)
，则
1
0令u =
原式=
òarcsin u
2 2
u(1- u)
·
2u d u
1
arcsin u
= 2
d uò0
1- u2
p
2
t令u = sin t 2ò
cos t d t
0
cos t
p
2
2
2
p= 2 ×
1
t
=0
2 4
4.
f (x) = xln(1- x), n ³ 3
时，
f (0) =
A.
-
2 (n)
n!
n - 2
B.
n!
n - 2
(n - 2)!
C.
-
n
(n - 2)!
D.
n
答案：A
解析：
f (x) = x2
ln(1- x), n ³ 3
0 2 2 (n -1) 2 2 (n -2)¢¢f
(n)
(x) = C
n
x[ln(1- x)](n)
+ C1
+ C
n
(x) [ln(1- x)]n
(x) [ln(1- x)](n -1)!(-1)
=
n(1- x)
(n - 2)!(-1)
[ln(1 - x)](n-1)
=
(1- x)n-1
(n - 3)!(-1)
[ln(1 - x)](n-2)
=
(1- x)n-2
(x2
)¢
= 2x;(x2
)
¢
= 2.
(n -1)!(-1) (n - 2)!(-1) n × (n -1) (n - 3)!(-1)
+ 2n × x × + 2 × f
(n)
(x) = x2
×
nn -1(1- x)
(1- x)
2 (1- x)n -2
f
(n)
(0) = -
n!
.
n - 2
ìxy xy ¹ 0
ï
5.关于函数
f (x, y) =
í
x y = 0
给出以下结论
ï
y x = 0
î
¶f
= 1
①
¶x
(0,0)
¶2
f
= 1
②
¶x¶y
(0,0)
③
lim
( x, y )®(0,0)
f ( x, y) = 0
④
lim lim f ( x, y) = 0
正确的个数是
y®0 x®0
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：
①
f (x, 0) - f (0, 0)
¶f
= lim
¶x
(0,0)
x®0
x
x - 0
= lim = 1
x®0
x
¶f
②
xy ¹ 0
时，
= y
¶x
¶f
y
=
0
时，
= 1
¶x
¶f
x = 0
时，
= 0
¶x
f¢(0, y) - fx¢(0, 0)
-1
= lim
x= lim不存在.
¶x¶y
y®0
y
y®0
y
(0,0)
xy ¹ 0, lim
③
( x, y )®(0,0)
f (x, y) = lim xy = 0
( x, y )®(0,0)
y = 0, lim f (x, y) = lim x = 0
( x, y )®(0,0)
( x, y )®(0,0)
x = 0, lim f (x, y) = lim y = 0
( x, y )®(0,0)
( x, y )®(0,0)
lim
f (x, y) = 0
( x, y )®(0,0)
xy ¹ 0, lim f (x, y) = lim xy = 0
④
x®0
x®0
y = 0, lim f (x, y) = lim x = 0
x®0
x®0
x = 0, lim f (x, y) = lim y = y
x®0
x®0
从而limlim f (x, y) = 0.
y®0 x®0
6.设函数
f (x)
在区间[-2, 2]
上可导，且
f
¢(x) > f (x) > 0
，则（ ）
A.
f (-2)
f (-1)
> 1
B.
f (0)
f (-1)
> e
C.
f (1)
2f (-1)
< e
D.
f (2)
3f (-1)
< e
答案：B
解析：由
f
¢(x) > f (x) > 0知
f
¢(x)
f (x)
- 1 > 0
即(ln f (x) - x)¢
> 0
令
F (x) = ln f (x) - x
，则
F (x)在[-2, 2]
上单增因-2 < -1
，所以
F (-2) < F (-1)
即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1
f (-1)
f (-2)
> e
同理，
-1 < 0, F (-1) < F (0)
即ln f (-1) + 1 < ln f (0)
f (0)
f (-1)
> e
7.
设四阶矩阵
A =
(aij
)
不可逆，
a12
的代数余子式
A12
¹ 0,a1,a2
,a3
,a4
为矩阵
A
的列向量
A*
为
A
的伴随矩阵.则方程组
A*
x = 0
的通解为（ ）.
A.
x = k1a1
+ k2a2
+ k3a3
，其中
k1
, k2
, k3
为任意常数
B.
x = k1a1
+ k2a2
+ k3a4
，其中
k1
, k2
, k3
为任意常数
C.
x = k1a1
+ k2a3
+ k3a4
，其中
k1
, k2
, k3
为任意常数.
D.
x = k1a2
+ k2a3
+ k3a4
，其中
k1
, k2
, k3
为任意常数 答案：C
解析：
∵A 不可逆
组. ∴|A|=0
∵
12
A¹ 0
∴
r( A) = 3
*
r( A) = 1
∴
*
A∴
x = 0
的基础解系有 3 个线性无关的解向量.
AA =| A | E = 0
∵
*
∴A 的每一列都是
Ax = 0
的解
*
又∵
12
A¹ 0
∴a1
,a3
,a4
线性无关
*
a
+
2 3
k
1
k
a
+
3 4k
a∴
Ax = 0
的通解为
x =1
A
为
A
属于特征值 1 的线性无关的特征向量，aA
的属于特征
8.
设 3 阶矩阵，a1
,a2
为
3
为
æ
1 0 0
ö
ç÷PAP = 0 -1 0
的可逆矩阵
P
可为（ 值-1 的特征向量，则满足
ç ÷
ç
0 0 1
÷
è ø
-1
）.
A.
(a-a1
+a3
,a2
,
3
)
B.
(a1
+a2
,a2
, -a3
)
-aC.
(a1
+a3
,
3
, -a3
)
-a-aD.
(a1
+a2
,
3
,
2
)
答案：D
解析：
aaaAa1
=
1
, A2
=
2
Aaa3
= -3
æ
1 0 0
ö
ç ÷! PAP = 0 -1 0
ç ÷
ç ÷è
0 0 1
ø
-1
P
的 1，3 两列为 1 的线性无关的特征向量a1
+a2
,a2
P
的第 2 列为
A
的属于-1 的特征向量a3.
P = (a-a1
+a2
,
3
,a2
)
二、填空题：9~14
小题，每小题
4
分，共
24
分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9.设ìï
x = t
2
+
1
，则
í
d
2
y
=
.
ï2
î
y = ln
(t + t
+1
)
dx2
t =1
解析：
dy
dy
1
æ2
ç1
+
t
2
t
ö+ 1
÷
dx
=
dt
dx
=
t
è+
t
+ 1
ø
t
dt
t
2
+1
=
1
t
ædy2
d
æç
è
d
dy
t
ö÷
ø
d
ç
dy
è
dt
÷öø
-
12
dx2= = dt
dx
dx
= t
t
dt
t
2
+1
= -
t
2
+1
t3
dy2
dx2= -
t =1
10.
ò1 1
0
dyò
y
x3
+1dx =
.
1
0
ò
1
解析：
òdyy
x3
+1dx
1 x
2
=
ò3
0
dxò0
x+ 1dy
1
3
x
2
=
ò0
x + 1dxò0
dy
=
ò1
0
x3
+ 1x2dx
1
1
1
(x3
+ 1)
2
d (x3
+ 1)
=
ò3
0
1 2
1)
2
= ×
(x3
+
3 3
0
3
ö
2
æ
=
22
-
1÷
ç
9
è ø
11.
3
1
z = arctan[xy + sin(x + y)]
，则
dz
设
|(0,p)=
.
解析:
dz =
¶z
dx + dy
¶x ¶x
1
¶z
[ y + cos(x + y)],
¶z
= π- 1
=2
¶x
1+[xy + sin(x + y)]
¶x
(0,π)
¶z
1
¶z
=[x + cos(x + y)],
= -1
2¶y
1+[xy + sin(x + y)]
¶y
(0,π)
¶z
¶z
= (π -1)dx - dy
∴
¶x
(0,π)
12. 斜边长为 2
a
等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度g
，水密度为r，则该平板一侧所受的水压力为
为
解析：建立直角坐标系，如图所示
F =2òrgx ×(a - x) d x
0
= 2rg
òa
ax - x
2
d x
0
a
1
öa
æ
a
= 2rg
ç
x2
-
x3
2 3
÷
è ø
0
1
=
rga3
3
y = y(x)
满足
y
¢
+ 2 y¢
+ y = 0
，且
y(0) = 0, y¢(0) = 1
，则 13.设
ò
+¥
y(x) d x =
0
解析：特征方程l+ 2l+1 = 0
2
l1
=
l2
= -1
! y(x) = (C + C x)e- x
1 2
ò
+¥
y(x) d x = - y
¢(x) + 2 y
¢(x) d x
0
ò
+¥
0
+¥= -[ y¢(x) + 2 y(x)]
0
= [ y¢(0) + 2 y(0)] = 1
0 -1 1
a 1 -1
14.行列式
=
-1 1 a 0
a
0
解析：
1 -1 0
-1
1
a
0
1 a
-1 0
=
0
-1
a
0
a
0 -1
a 1
1
a
0 a
1
-1
0
a
a 0
0 a
-1
1
1 -1
0 a
0 a
=
-1 1
-1 + a
2
1
a -1+ a
2
1
-1
1
= - a
1 - 1
a 0
0 a a
0 0 a a
a a2
- 2 1
= - a 2 -1 = a
4
- 4a
2.
0 0 a
三、解答题：15~23
小题，共
94
分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 10 分）
x1+ x
(x > 0)
的斜渐近线方程.
求曲线
y =
x(1+ x)
解析：
lim
y
=
lim
= lim
x1+ x
x®+¥
(1+ x)x
x
x®+¥
x
xx
x
x®+¥
(1+ x)
x ln x
e=
lim
x ln(1+ x )
x®+¥
e= lim ex (ln x -ln(1+ x ))
x®+¥
= lim e
x®+¥
x×ln
x+1-1
1+ x
= lim e
x®+¥
æ1
öx lnç
1-
÷
1+ x
è ø
x®+¥
= lim e
æ
1
öx×ç
-
÷
è
1+ x
ø
=
-1e
x®+¥
lim (y - e-1x)
æ1+ x
= lim
x-1
ö
- ex
÷
ç
x
x®+¥
(1+ x)
è ø
æ
xx
ö
= lim x
- e
-1
֍
x
x®+¥
(1+ x)
è ø
æ
x ln x
ö
-1
=
lim x ×
çe
1+ x
- e
÷x®+¥
è ø
æ
x ln x
+1
ö
=
lim xe
çe
1+ x
-1
÷
x®+¥
è øx
ö÷æ
-1
ç
x ln
1+=
xlim ex ×
+1
x
®+¥
è ø
-
1
1
1
× ln
t
+1
1t
1+
t
= lim e-1
t ®0+
t
1
ln
+ t
= lim e-1
t +21
t ®0+
t
1
-1
-1
t - ln(1+ t)
= lim e=
e
2
t ®0+
t2∴曲线的斜渐近线方程为
y = ex + e-11
-1
2
16.（本题满分 10 分）
已知函数
f (x)
连续且
x®0
续.
lim
f (x)
x
= 1, g( x) =
f ( xt)dt, 求g \'( x)
1
ò
0
并证明
g \'(x)在x = 0
处连
解析：因为lim
1
f (x)
= 1
x®0
x
f (0) = lim f (x) = 0
x ®0
所以
g(0) =
òf (0)dt = 0
0
g(x) =
òf (xt)dtxt = u
因为
0
1
1
x
0
x
òx
f (u)du
当
x ¹ 0
时，
g¢(x) =
xf (x) -
ò0
f (u)du
x2
g(x) - g(0)
x - 0
当
x = 0
时，
g¢(0) = lim
ò= lim
x ®0
x
0
x ®0
ì
x
f (u)du
,
x ¹ 0
0
ï
ò2ï
g¢(x) =
í
x
ï 1
, x = 0
ïî 2
xf (x)
x
又因为lim g¢(x) = lim -
f (u)du
f (u)du
1 f (x) 1=
lim
=
2x
2
x ®0
x 2
ò0
x®0 x®0
x2
x
é
ùf (u)du
1 1f (x)
ò
ú
= 1 - =
= limê
-
0
ú
x®0
ê
x 2 2 x2
êë
úû
g¢(x)在x = 0
处连续
17.（本题满分 10 分）
求二元函数
f (x, y) = x3
+ 8 y3
- xy
的极值解析：求一阶导可得
= 3x2
- y
¶x
¶f
= 24 y2
- x
¶y
¶f
1x =
ì
x = 0
íï
6
í1
可得
y = 0ï
y =
î ï
= 0
ïî 12
î
¶y
令
ì¶f
= 0
x ïí¶¶f
ì求二阶导可得
¶2
f
¶2
f
¶2
f
= 6x
2
= -1
2= 48 y
2¶x
¶xy
¶y
当
x = 0, y = 0时.A = 0.B = -1.C = 0
-
AC - B2
< 0
故不是极值.
当
x =
1
y =
1
时
6 12
A = 1.B = -1.C = 4.
AC - B2
> 0.A = 1 > 0故æ
1
,
1
ö
且极小值
ç
è
6 12
÷ø
33
极小值
f
æ
1 1
ö
81 1
çè
, ÷
=
æç
1
ö÷
+
æ
1
ö
6 12
ø è
6
ø
çè
12
÷ - 6 ´ = -
ø
12 216
18. 已知
，求
2 f (x) + x f
2
( )
1
=
x2
+ 2x
f (x)
，并求直线
y =
1
，
x
1+ x2
2
围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
解析：①! 2 f (x) + x f
2
æç
1
ö÷
x2
+ 2x
=
…①
è
x
ø
1+ x2
1
+ 2
1
2 f
æ1
ç
è
1
ö
x
ø÷
+
1
x2
x
+ 2 x
x2f
(x
)
=
=…②
1+
1
x 1+ x2
①´ 2 - ②´ x2得
f (x) =
x
x2
+
1
②
2
V =
p×
çæ
è
2
3
÷ö
×
3 -pæ
1
ö3
x2
ç ÷
-
ø
è2
ø
ò1
p
x2
+1
dx
=
3 3
p-
1
p-p×
+
p2
24
4 12
=
p
-
1
p-
3
p
12 4 4
与函数
y =
f (x)
所
2 19.（本题满分 10 分）
òò
x2
+ y2
平面 D 由直线
x = 1, x = 2, y = x与x
dxdy.
轴围成，计算
D
解析：积分区域如图：
òò
x2
+ y2
D
x
dxdy
ò0
p
ò 1
2
=
4
dq
r coscosq
r
q
× rdr
cosq
p
=
ò
4
1
×
1
cos2
2
q
r
dq
0
cosq
2
1
cosq
=
1
pò
4
1
×
3
dq
2
0
cosq
cos
q
2
=
3
p
2
ò
4
sec3
0
qdq=
3
p
4
2
òsec0
qd tanq
=
3
é
p
p
2
êsecqtanq
-ù
4
ë
0
ò
4
0
tan
2
secqdqú
û
=
3
é
-
p
4
q2
êë
ò0
(sec2
q
-1) sec
dqúù
p
p
û
=
3
æ
-
q
q+
q
ö
2
ç4
è
ò0
sec3
d
ò4
0
sec dq÷
ø
p3
æç
p
ö
=
-
ò4
sec3
qdq+ ln | secq+ tanq|
÷
4
2
ç0
è
0
÷
ø
=
3
æ
2
ç
-
ò
p
q
q+
(
4
è
sec3
ln
+
1
)ö
0
d
÷ø
p
1
ò3
dq=
+
ln
0
4
secq(
+1)
所以
2 2
3
ö
òò
x2
+2æ
2 1
x
y
dxdy =
ç
+(
2 +1)÷
D
2
è
22ln
ø
3
=
é
+ ln
4
ë
(
2 + 1)ù
û
20.（本题满分 11 分）
设函数
f (x) =
edt.
ò
1
x
t
2
xÎ(1, 2), f (x) = (2 -x)e;
证：存在
hhhÎ(1, 2), f (2) = ln 2 ×e.
（2）证：存在
2
x2
F (x) = f (x)(x - 2) = (x - 2)
e dt
证明（1）构造辅助函数
ò
1
xt2显然
F (1) = 0, F (2) = 0, 又F (x)在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,
由罗尔定理知$xÎ (1, 2), 使得F \'(x) = 0
F \'(x) =
edt + (x - 2)e又因为
ò
1
x
t2
x2
= f (x) + (x - 2)ex
2
)e.
所以
f (x) = (2 -x令
g(x) = ln x
由柯西中值定理得$hÎ(1, 2)
h2f (2) - f (1) f (2) e
=he
= =
1 g(2) - g(1) ln 2
x2
n2
使得
h
2eh
即
f (2) = ln 2 ×h21.（本题满分 11 分）
设曲线
y = f (x)
可导，且
f
¢(x) > 0(x ³ 0)
，
f (x)
的图象过原点 O
曲线上任意一点 M 的切线与 X 轴交于 T，MP ^ x
轴，曲线
y = f (x), MP, x
轴围成的面积与DMTP
面积比为 3：2，求曲线方程.
解析：设切点
M
坐标为(x, y)
，则过
M
的切线方程为
Y - y = y¢(X - x)
令Y = 0
得
X = x -
由题意得
yy¢
òx
1
0
f (t)dt
3
×
y
× y
=
2
2 y¢
整理并求导得3yy
¢
- 2 y¢2
= 0
令
y¢
= p
y
¢
= p
dp
代入上式得
dy
3yp
dp
dy
- 2 p
2
= 0
2
解得
p = C1
y
3
2
即
y¢
= C1
y
3
dy
= C dx
2
1
y
3
1
3y
3
= C1x+C2
由
y(0) = 0
得C2
= 0.
1
3y
3
= C1x
y = Cx3
22.（本题满分 11 分）
设 二 次 型
f (x , x , x ) = x
2
+ x
2
+ x
2
1 2 3 1 2 3
+ 2ax x
1 2
+ 2ax x
1 3
+ 2ax x
2 3
æç
xçx
1
÷ö
= P
æç
yy
1
÷ö
得
g
(
y , y , y
)
= y
2
+ y
2
+ç
2
÷ ç
2
÷
4 y
2
+ 2 y y
.
1 2 3 1 2 3 1
è
x
÷ ç
y
÷
2
3
ø è
3
ø
（1）
求
a
的值；
（2）
求可逆矩阵 P.
解析：
A =
éê1
êa
a
1
aaùú
ú
（1）
令
f (x1, x2
, x3
)
的矩阵
êëa a 1úû
é1 1 0ù
B =
êê1
1 0ú
f ( y1, y2
, y3
)
的矩阵
êú
ë0 0 4úû
经 可 逆 线 性 变 换
A 与 B 合同.则
r( A) = r(B).
由于| B |= 0
，故
r(B) < 3
，故| A |= 0
.
而
1 a a
| A |= a 1 a = (2a +1)(a -1)
2
= 0
a a 1
1a = -
a = 1
.
2
或 解得
当
a = 1时，
r( A) = 1.
而
r(B) = 2.
故舍去
1a = -
2
.
所以
1
a = -
2
时，利用配方法把
f (x1, x2
, x3
)
化为规范形.
当
（2）
1
f (x , x , x ) = x
2
+ x
2
+ x
2
- x x - x x - x x
2 3 1
2
2 3 1 2 1 3
1 x
ö3
æ
3 3
2
2 2
=
ç
x1
-
x2
-
3
+
4
x
-
x2
x3
2
÷
+
4
x
2 3
2
è ø
1
æ
2
=
x
- x
-
x3
ö
+
(x
- x )2
ç
1
2
2
2
÷
3
2 3
4
è ø
1 1
ìz = x - x - x
3
é1 -
1
-
1
ù
ê
ï
1 1
2
2
2
2 2
ú
ïê ú
3
ï
ê3 3
z = (x
- x )
ú P = 0
-
í
2
1
ê
2 2
ú
2
2 3
ï
ê ú
1
ú
z3
= x3
ï
ê0 0
ï
êúë û
令î
即令
f (x , x , x ) = z
2
+ z
2
1 2
Z = P1
X
，则
1 2 3
2 3
利用配方法把
f ( y1, y2
, y3
)
1 2
化为规范形.
3 1 2 3
f ( y , y , y ) = y
2
+ y
2
+ 2 y y + 4 y
2
= ( y + y )2
+ 4 y
2
1 2 3 1 2
ìz1
= y1
+ y2
ï
= 2 y
í
z
2 3ïz3
= y2
令î
é1 1 0ù
ê ú
P =
ê0 0 2ú
即令
2
êë0 1 0úû
1 2
Z = P Y .
2
f ( y , y , y ) = z
2
+ z
2
则
1 2 3
.
-1PX = PY X = PPY
1 21 2
.
即
故
-1P P = P1 2
.
所以
é
1
ê
ê
P-1
=
0
1
ê
ê
ê0
êë
由于
1
3
2
3
0
ù
1ú
ú
1
ú
ú
1ú
úû
1 1 0ù éêP =
0 0 2
ú
2
ê ú
ê
û
0 1 0úëé1 2
2
ù
3
3
ú ê
ê ú
4
ú
-1=
ê0 1
P
故
P = P3
1 2
ê
3
úêú0 1 0
ê ú
êúë û
23.（本题满分 11 分）
设
A
为 2 阶矩阵，
P = (a, Aa)
，其中a是非零向量且不是
A
的特征向量. (1)证明
P
为可逆矩阵.
(2)若
Aa+ Aa- 6a= 0
，求
PAP
，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
2-1
解析：
a.
(1)a¹ 0 且 Aa¹
l与A线性无关.
则
a故ar(a, Aa) = 2
则 P 可逆.
(2)法一：由已知有
A2a= - Aa+ ba
于是
AP = A(a, Aa) = ( Aa, A2a) = ( Aa, - Aa+ 6a)
6
öæ
0
æ
0 6
ö-1
= (a, Aa)
ç
,故有PAP = ,! P可逆
÷ ç ÷1 -11 -1
è ø è ø
l
-6
æ
0 6
ö=（l+ 3）可得A与ç
相似，又 \"（l- 2）= 0
÷1 -1
-1
l+1
è ø
Þl1
= -3,l2
= 2
可得A
的特征值也为-3，2 于是 A 可相似对角化
方法二
PAP
同方法一
-1
由
A2a+ Aa- 6a= 0
下面是证明 A 可相似对角化
( A2
+ A - 6E)a= 0
设( A + 3E)( A - 2E)a= 0
2
¹ 0得( A+ A - 6E)x = 0有非零解
a由故| ( A + 3E)( A - 2E) |= 0
得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0
若| ( A + 3E) |¹ 0则有( A - 2E)a= 0故Aa=
2a与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0
于是 A 的特征值为1
l= -3
l2
= 2.
A 有 2 个不同特征值故
Aa相似对角化
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解析,矩阵,选项,线性,答题,无关,相似
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