2023年12月3日发(作者：近十年河北中考数学试卷)

2019年高考全国1卷理科数学真题

1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MA．{x4x3

N=

D．{x2x3 B．{x4x2 C．{x2x2

2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．(x+1)y1

22B．(x1)y1 C．x(y1)1 D．x(y+1)1

222222alog20.2，b20.2，c0.20.3，则

3．已知

A．abc B．acb C．cab D．bca

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151≈0.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长2度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm

5．函数f(x)=

B．175 cm C．185 cm D．190 cm

sinxx在[,]的图像大致为

cosxx2

1 A． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．5

16B．11

32C．21

32

D．11

167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为

A．π

6B．π

3C．2π

3D．5π

68．如图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入

2 A．A=1

2AB．A=21

AC．A=1

12AD．A=11

2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则

A．an2n5

an3n10 B．

2C．Sn2n8n D．Sn12n2n

210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为

x2y21

A．2x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．5411．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2，）单调递增

③f(x)在[,]有4个零点

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④

④f(x)的最大值为2

C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．86

2xB．46 C．26 D．6

13．曲线y3(xx)e在点(0，0)处的切线方程为____________．

214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则S5=____________．

1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线ab分别交于A，B两点．若F1BF2B0，则C的离心率为____________．

1AAB，F

3 17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)sinAsinBsinC．

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC．

18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

22

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

19．（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若AP3PB，求|AB|．

20．（12分）

已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：

（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；

（2）f(x)有且仅有2个零点．

21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以

4

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

22乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认,7)，其中为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．

(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，21t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的y4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）111a2b2c2；

abc333（2）(ab)(bc)(ca)24．

5 1．C

2．C

3．B

4．B

5．D

6．A

7．B

8．A

9．A

10．B

11．C

12．D

13．y=3x 14．2121

32215．0.18 16．2

22217．解：（1）由已知得sinBsinCsinAsinBsinC，故由正弦定理得bcabc．

b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2因为0A180，所以A60．

（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，

即6312cosCsinC2sinC，可得cosC60．

2222由于0C120，所以sinC602，故

2sinCsinC6060

sinC60cos60cosC60sin60

62．

418．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME=1B1C．

21A1D．

2又因为N为A1D的中点，所以ND=由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．

又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

6 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A1M(1,3,2)，A1N(1,0,2)，MN(0,3,0)．

mA1M0设m(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则，

mA1A0x3y2z0，所以可取m(3,1,0)．

4z0．nMN0，

设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则nA1N0．3q0，所以可取n(2,0,1)．

p2r0．于是cosm,nmn2315，

|m‖n|25510．

5所以二面角AMA1N的正弦值为19．解：设直线l:y3xt,Ax1,y1,Bx2,y2．

2（1）由题设得F353,0，故|AF||BF|x1x2，由题设可得x1x2．

224

7 312(t1)yxt22由，可得9x12(t1)x4t0，则x1x2．

292y3x从而12(t1)57，得t．

928所以l的方程为y37x．

28（2）由AP3PB可得y13y2．

3yxt2由，可得y2y2t0．

22y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．

代入C的方程得x13,x21．

3故|AB|413．

320．解：（1）设g(x)f\'(x)，则g(x)cosx11，g\'(x)sinx.

2(1x)1x当x1,设为.

1,时，单调递减，而，可得在g\'(x)g\'(x)g\'(0)0,g\'()0有唯一零点，

222则当x(1,)时，g\'(x)0；当x,时，g\'(x)0.

2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点，22即f\'(x)在1,存在唯一极大值点.

2（2）f(x)的定义域为(1,).

（i）当x(1,0]时，由（1）知，f\'(x)在(1,0)单调递增，而f\'(0)0，所以当x(1,0)

8 时，f\'(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.

（ii）当x0,时，由（1）知，f\'(x)在(0,)单调递增，在,单调递减，而f\'(0)=0，22所以存在,，使得f\'()0，且当x(0,)时，f\'(x)0；当x,f\'0，222时，f\'(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减.

2又f(0)=0，f1ln10，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x) 在0,2222没有零点.

（iii）当x,时，f\'(x)0，所以f(x)在,单调递减.而22所以f(x)在,有唯一零点.

2f0，f()0，2（iv）当x(,)时，ln(x1)1，所以f(x)<0，从而f(x)在(,)没有零点.

综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为1,0,1.

P(X1)(1)，

P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1.

9 因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即

pi1pi4pipi1.

又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,（ii）由（i）可得

,7)为公比为4，首项为p1的等比数列．

p8 p8p7p7p6由于p8=1，故p1p1p0p0 p8p7p7p6481p1p0p1

.

33，所以

4814411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4常小，说明这种试验方案合理.

10.0039，此时得出错误结论的概率非25721t24t2y1t21，且x22．解：（1）因为11，所以C的直角坐标方程为22221t21t1t22y2x1(x1).

42l的直角坐标方程为2x3y110.

xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）.

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3322222223．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有

a2b2c2abbccaabbcca111.

abcabc10

所以111a2b2c2.

abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3

=3(a+b)(b+c)(a+c)

3(2ab)(2bc)(2ac)

=24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.

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