2021年广东高考数学试卷

2023年12月2日发(作者：海陵区模考数学试卷)

2021年广东省潮州市高考数学二模试卷一、选择题（一）单项选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣2x＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（A．22．在复平面内，复数A．第一象限B．3C．4）D．第四象限D．5）的共轭复数对应的点位于（B．第二象限）C．C．第三象限3．已知sinα＝，则cos（﹣2α）＝（A．B．D．）4．设，均为单位向量，则“|﹣3|＝|3+|”是“⊥”的（A．充分而不必要条件C．充分必要条件5．已知双曲线﹣B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，则双）B．C．D．）曲线的离心率为（A．26．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（A．a⊥α，b∥β，α⊥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．中国古代数学名著《周牌算经》记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（A．28B．29）C．30D．328．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）＝x2﹣2m•x+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（A．[﹣，]）B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]（二）多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知直线x＝A．f（x+B．x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，则（））是奇函数是f（x）的一个零点，]上单调递减）的图象关于直线x＝对称）C．f（x）在[D．y＝f（x）与g（x）＝sin（2x﹣10．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f\'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（A．f（a）＜f（b）＜f（c）C．x＝c时，f（x）取得最大值B．f（e）＜f（d）＜f（c）D．x＝d时，f（x）取得最小值11．已知圆C：x2﹣2ax+y2+a2﹣1＝0与圆D：x2+y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（A．﹣3）B．3C．2D．﹣2）12．已知数列{an}满足an＝n•kn（n∈N*，0＜k＜1），下列命题正确的有（A．当k＝时，数列{an}为递减数列B．当k＝时，数列{an}一定有最大项C．当0＜k＜时，数列{an}为递减数列D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项二、填空题（本题共4小题，每小题S分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。）13．（x﹣）6的展开式的常数项是．用数字作答）．．14．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调15．研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为．16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S＝2πRh．由此可知，该实心工艺品的表面积是．三、解答题（本题共6道小题，共70分；解答要写出证明过程或解题步骤）17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现给出两个条件：①2cosC（acosC+ccosA）+b＝0，②3bcosC+2csinCsinB＝0；要求你从中选出一个条件（选出其中一个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分），并以此为依据求解下面问题．问题：（1）求角C；（2）若c＝2，S△ABC＝，求a+b的值．18．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a6＝11，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥面ABCD，且PA＝3，F在棱PA上，且AF＝1，E为棱PD的中点．（1）求证：CE∥平面BDF；（2）求二面角B﹣DF﹣A的余弦值．20．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆C的离心率e＝．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两个动点，k1，k2分别为直线OM，ON的斜率且k1k2＝﹣，试探究△OMN的面积是否为定值．22．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2﹣ax（a＞0）．（1）讨论函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点；（2）若x1，x2（x1＜x2）是方程f（x）﹣＞4a．+＝0的两个不同的正实根，证明：x12+x22参考答案一、选择题（（一）单项选择题（共8道小题）1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣2x＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（A．2B．3C．4D．5）解：∵集合A＝{x∈R|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，∴满足A∪B＝{0，1，2}的集合B有：{1}，{0，1}，{1，2}，{0，1，2}，共4个，故选：C．2．在复平面内，复数A．第一象限解：复数＝的共轭复数对应的点位于（B．第二象限＝，）D．第四象限C．第三象限共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．3．已知sinα＝，则cos（﹣2α）＝（A．解：因为sinα＝，所以故选：A．4．设，均为单位向量，则“|﹣3|＝|3+|”是“⊥”的（A．充分而不必要条件C．充分必要条件解：∵“|﹣3|＝|3+|”∴平方得||2）C．D．B．．）B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件+9||2﹣6•＝9||2+||2+6•，即1+9﹣6•＝9+1+6•，即12•＝0，则•＝0，即⊥，反之也成立，则“|﹣3|＝|3+|”是“⊥”的充要条件，故选：C．5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，则双）B．C．D．曲线的离心率为（A．2解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，可得＝，所以e＝＝故选：D．＝＝．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（A．a⊥α，b∥β，α⊥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β）解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β＝c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．故选：C．7．中国古代数学名著《周牌算经》记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（A．28B．29）C．30D．32解：由题意可设年纪最大年龄为m，年纪最小年龄为n，则有n+（n+1）+……+（n+18）+m＝1520，所以m＝1349﹣19n，∵90＜1349﹣19n≤100，解之得：65又∵n∈N*，∴n＝66，m＝95，极差为m﹣n＝95﹣66＝29，故选：B．8．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）＝x2﹣2m•x+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（A．[﹣，]）B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]，解：根据题意，f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解．即x2+2mx+m2﹣3＝﹣（x2﹣2mx+m2﹣3），整理得：x2+m2﹣3＝0，必有m2﹣3≤0，解得：﹣故选：B．（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知直线x＝A．f（x+B．x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，则（）≤m≤，即m的取值范围为[﹣，]，）是奇函数是f（x）的一个零点，]上单调递减）的图象关于直线x＝对称C．f（x）在[D．y＝f（x）与g（x）＝sin（2x﹣解：∵直线x＝∴2×+φ＝kπ+是函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的一条对称轴，，k∈Z，∴φ＝，函数f（x）＝sin（2x+）．∴f（x+令x＝当x∈[）＝sin（2x+）＝cos2x是偶函数，故A错误；是f（x）的一个零点，故B正确；，求得f（x）＝0，可得x＝，]，2x+∈[，]，函数f（x）单调递减，故C正确；）的图象关于直线x＝对称，显然，f（x）＝sin（2x+故D正确，故选：BCD．）与g（x）＝sin（2x﹣10．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f\'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）C．x＝c时，f（x）取得最大值B．f（e）＜f（d）＜f（c）D．x＝d时，f（x）取得最小值解：结合导函数的图象，可知f（x）在（﹣∞，c]上单调递增，在（c，e）上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，对于A，因为a＜b＜c，由f（x）的单调性可知f（a）＜f（b）＜f（c），故A正确；对于B，因为c＜d＜e，由f（x）的单调性可知f（c）＞f（d）＞f（e），故B正确；对于C，当x＝c时，f（x）取得极大值，但不一定是最大值，故C错误；对于D，由B可知，f（d）不是f（x）的最小值，故D错误．故选：AB．11．已知圆C：x2﹣2ax+y2+a2﹣1＝0与圆D：x2+y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（A．﹣3）B．3C．2D．﹣2解：根据题意，圆C：x2﹣2ax+y2+a2﹣1＝0，即（x﹣a）2+y2＝1，其圆心为（a，0），半径R＝1，D：x2+y2＝4，其圆心D（0，0），半径r＝2，若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有2﹣1＜|a|＜2+1，即1＜|a|＜3，解可得：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3，分析选项可得：CD符合，故选：CD．12．已知数列{an}满足an＝n•kn（n∈N*，0＜k＜1），下列命题正确的有（A．当k＝时，数列{an}为递减数列B．当k＝时，数列{an}一定有最大项C．当0＜k＜时，数列{an}为递减数列D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项，an＞an+1⇔n•kn＞（n+1）•）解：an＜an+1⇔n•kn＜（n+1）•kn+1⇔n＜（n+1）k⇔kn+1⇔n＞（n+1）k⇔对于A，因为k＝，所以a1＝，a2＝2对于B，因为k＝，所以大项，所以B对；对于C，因为当0＜k＜时，列，所以C对；对于D，设，＝，于是a1＝a2，所以A错；＝4，于是当n＞4时，{an}递减，所以数列{an}一定有最＜，所以当n≥1＞＞时，数列{an}为递减数＝m，当n＞m，即n≥m+1时数列{an}为递减，当n＜m时{an}为递增，，am+1＝（m+1）＝，，最大项为am＝所以数列{an}必有两项相等的最大项，所以D对．故选：BCD．二、填空题（本题共4小题，每小题S分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。）13．（x﹣）6的展开式的常数项是﹣20．用数字作答）．•（﹣1）r•x6﹣2r解：（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式的常数项为故答案为：﹣20．•（﹣1）＝﹣20，14．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是解：抛物线的准线为x＝﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．9．根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调15．研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为解：根据题意，分2步进行分析：①将4位专家分为3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种派遣方法，故答案为：36．16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为5；现给出定义：36．球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S＝2πRh．由此可知，该实心工艺品的表面积是94π．解：设球心半径为R，圆的半径为r，正方体棱长为OO1＝8，（如图）∵圆的周长为6π，∴O1A＝r＝3由题意，圆心和球心以及正方体的边的一半可以构造直角三角形，即R＝＝5，∴球冠的高是h＝BO1＝5﹣4＝1，∵球的表面积减去球冠的表面积，在加上6个圆的面积，可得工艺品的表面积．即工艺品的表面积为：4πR2﹣2πRh×6+6πr2＝94π．故答案为：5，94π．三、解答题（本题共6道小题，共70分；解答要写出证明过程或解题步骤）17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现给出两个条件：①2cosC（acosC+ccosA）+b＝0，②3bcosC+2csinCsinB＝0；要求你从中选出一个条件（选出其中一个条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分），并以此为依据求解下面问题．问题：（1）求角C；（2）若c＝2，S△ABC＝，求a+b的值．解：若选①，2cosC（acosC+ccosA）+b＝0，（1）由正弦定理可得2cosC（sinAcosC+sinCcosA）+sinB＝0，所以2cosCsin（A+C）+sinB＝2cosCsinB+sinB＝0，因为sinB≠0，所以可得cosC＝﹣，因为C∈（0，π），所以C＝．，S△ABC＝，C＝，（2）因为c＝2所以＝absinC＝ab，解得ab＝4，由余弦定理可c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得12＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣4，解得a+b＝4．若选②，3bcosC+2csinCsinB＝0；（1）由正弦定理可得3sinBcosC+2sin2CsinB＝0，因为sinB≠0，可得3cosC+2sin2C＝3cosC+2（1﹣cos2C）＝0，可得2cos2C﹣3cosC﹣2＝0，解得cosC＝﹣，或2（舍去），因为C∈（0，π），所以C＝．，S△ABC＝，C＝，（2）因为c＝2所以＝absinC＝ab，解得ab＝4，由余弦定理可c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得12＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣4，解得a+b＝4．18．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a6＝11，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．解：（1）∵a6＝11，∴a1+5d＝11，①∵a2，a5，a14成等比数列，∴化简得d＝2a1，②由①②可得，a1＝1，d＝2．∴数列的通项公式是an＝2n﹣1；（2）由（1）得∴Sn＝＝＝，．，19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥面ABCD，且PA＝3，F在棱PA上，且AF＝1，E为棱PD的中点．（1）求证：CE∥平面BDF；（2）求二面角B﹣DF﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，取BC中点M，连接AM，因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，又因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AM⊥AD，所以AMADAP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝AD＝AP＝3，AE＝1，所以AM＝3•sin60°＝＝（﹣，，0），，BM＝MC＝，＝（﹣，，1），＝（﹣，0，），设平面BDF的法向量为＝（x，y，z），，令y＝1，＝（，1，3），因为＝﹣+＝0，所以CE∥平面BDF．，1，3），（2）解：由（1）知平面BDF的法向量为＝（平面ADF的法向量为＝（1，0，0），由图知二面角B﹣DF﹣A为锐角，所以二面角B﹣DF﹣A的余弦值为＝＝．20．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M，则M的对立事件是一个给药周期也没有参加完，设一次给药出现F症状为事件A，则一个一个给药周期也没有参加完的概率为：P（）＝P（AA）+P（AA）＝（）2+∴一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为：P（M）＝1﹣P（）＝1﹣＝．＝．（2）设事件B为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状”，则P（B）＝随机变量X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝P（X＝2）＝[1﹣P（B）]•P（B）＝P（X＝3）＝[1﹣P（B）]•[1﹣P（B）]＝∴X的分布列为：＝，＝，＝，＝，XPE（X）＝21．已知椭圆C：+123＝．），且椭圆C的离心率e＝．＝1（a＞b＞0）经过点（1，（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两个动点，k1，k2分别为直线OM，ON的斜率且k1k2＝﹣，试探究△OMN的面积是否为定值．解：（1）由e＝＝＝，可得b＝a，又椭圆经过点（1，解得a＝2，b＝1，则椭圆C的方程为），可得+＝1，+y2＝1；（2）设直线MN的方程为x＝my+t，与椭圆方程x2+4y2﹣4＝0联立，可得（4+m2）y2+2mty+t2﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝，|y1﹣y2|＝＝＝4，|MN|＝4•，O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积为S＝d•|MN|＝2|t|•，由k1k2＝﹣，可得＝﹣，即为x1x2+4y1y2＝（my1+t）（my2+t）+4y1y2＝（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t2＝0，可得（4+m2）•化为4+m2＝2t2，所以S＝2|t|•+mt（﹣）+t2＝0，＝1，故△OMN的面积为定值1．22．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2﹣ax（a＞0）．（1）讨论函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点；（2）若x1，x2（x1＜x2）是方程f（x）﹣＞4a．解：（1）h（x）＝f（x）+g（x）＝lnx+x2﹣ax（x＞0）（a＞0），h′（x）＝+2x﹣a＝令2x2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣8，当0＜a≤2当a＞2时，△≤0，h′（x）≥0，无极值点，，，+＝0的两个不同的正实根，证明：x12+x22时，令2x2﹣ax+1＝0，解得：x＝当x∈（0，），（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）极大值点是综上：0＜a≤2a＞2，极小值点是；时，h（x）无极值点，，极小值点是；时，h（x）极大值点是（2）由f（x）﹣+＝lnx﹣+＝0，即lnx+＝0，令k（x）＝lnx+（x＞0，a＞0），k′（x）＝﹣当0＜x＜＝，令k′（x）＝0，得x＝，时，k′（x）＜0，当x＞）递减，在（时，k′（x）＞0，，+∞）上递增，∴k（x）在（0，又∵k（x）有2个零点，∴k（）＜0，即ln+＜0，解得：0＜a＜，且，两式相减得：lnx2﹣lnx1＝﹣，设t＝（t＞1），∴lnt＝﹣，∴＝（1﹣），要证明x12+x22＞4a，＞4a，（1+t2）（1﹣）＞4a，即证明（1+t2）∴（1+t2）即证明2lnt2﹣t2+（1﹣）＞2，＜0（t＞1），令q（x）＝2lnx﹣x+（x＞1），q′（x）＝﹣＜0，∴q（x）在（1，+∞）上单调递减，∴q（x）＜q（1）＝0，∴2lnx﹣x+＜0即x12+x22＞4a．