奥数精选:数学题目解答

2024年1月10日发(作者：数学试卷怎么蒙选择题)

行程问题

1、 甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时相向而行，一个同学骑车以每小时14千米的速度在两个对间不停往返联络。甲对每小时5千米，乙对每小时4千米，两队相遇时，骑车同学共行多少千米？

解：甲乙两队相遇时间=同学骑车的时间

甲乙两队相遇时间=18 /（5+4）=2（小时）

骑车路程=相遇时间x骑车速度=14 x 2=28（小时）

2、 甲乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟80米，乙每分钟60米，出发一段时间后，两人距中点120米处相遇，如果甲再出发后途中某地停留一会儿，两人还将在距中点120米处相遇，问，甲在途中停留了多少分钟？

解：设A、B两地距离为S米，甲停留时间为t分钟。

(S/2+120)/80=(S/2-120)/60 --①

T=(S/2+120)/60 – (S/2-120)/80 --②

S=7x240，t=7（分钟）

3、 小明、小亮分别从甲乙两地同时出发相向而行，他们分别到达乙、甲两地后立即返回，第1次相遇处离甲地680米，第2次相遇处离乙地340米，甲乙两地相距多少米？

解：设甲乙距离为S米。（画图）

小明、小亮在第2次相遇时，总共行程为3倍甲乙距离，即小明行程为3 x 680米，即3 x 680 = S + 340。

4、 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从起点站出发开往乙站，全程走15分钟，有1人从乙站出发骑车到甲站，他在出发时恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？

解：电车发车间隔为5分钟，小明在路上遇到10辆车，小明到达终点的时间等于11辆车发车间隔时间，即10 x 5 = 50（分钟）

5、 在圆形跑道上，甲从A点，乙从B点同时出发反向而行，8分钟两人相遇，再过6分钟甲到B点，有过10分钟两人再次相遇，甲环形一周需要多少分钟？

解：设甲的速度V1，乙的速度V2，则有

6 x V1=8 x V2 ①

S/(V1+V2)=18 ②

则S/V1=

容斥原理

1. 六年级共有190人参加考试，数学考试有178及格，语文有181人及格，英语有174人及格，那么三科全部及格的学生至少有多少人？

解：三科全部及格的学生人数=全部学生人数-至少一门不及格的人数，至少一门不及格的人数最多=数学不及格+语文不及格+英语不及格的人数。

数学不及格人数=190-178=12，语文不及格人数=190-181=9，英语不及格人数=190-174=16人，所以三门都及格的人数至少=190-（12+9+16）=153人。

2. 某班有少先队员35人，这个班男生23人。这个班女生少先队员比男生非少先队员多多少人？

解：设男生非少先队员为a，则男生少先队员=23-a，女生少先队员=35-（23-a）=12+a，所以，答案=12+a-a=12（人）

3. **一次数学测验，甲答错的题目是总题数的1/9，乙答对7题，两个都答对的题目是题目总数的1/6，问甲答对了多少题？

解：设总的题目数为N，则甲甲乙都答错的是P，则N=8N/9+7-N/6+P

4. **某年级60人的2/3同学爱打乒乓球，3/4同学爱踢足球，4/5同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有22人，问这个年级最多有多少人三项运动都不爱好？

解：爱好乒乓的人数=60 x 2/3=40，爱好足球的人数=60 x 3/4=45，爱好篮球人数=60 x 4/5 =

48，a+b=40-22=12；a+c=45-22=23；b+c=48-22=26；

5. 某班学生48人，其中27人会游泳，33人会骑车，40人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生会三项运动？

解法同1

6. 某班30名同学参加比赛，口算获奖14人，珠算获奖12人，应用题获奖10人，口算珠算都获奖的4人，珠算和应用题都获奖5人，应用题和口算都获奖6人，三项都获奖的3人，那么一项都没获奖的有几人？

解：获奖人数=14+12+10-4-5-6+3=24人，没获奖的人数=30-24=6人

加法和乘法原理

1、 从1-9这9个数字中，每次取两个不同的数字，若使这两个数字和大于10，共有多少种取法？

解：取1，取法数=0；取2，可取9，取法=1种；取3，可取8,9，取法=2种；取4，可取7,8,9，取法=3种；取5，可取6,7,8,9，取法=4种；取6，可取6,7,8,9，取法=5中；取7，可取7,8,9，取法=3种；取8，可取8,9，取法=2种；取9，可取9，取法=1种。

2、 **有一类自然数，从第3个数字开始，每个数字都恰好是他前面数字之和，如257,1459,等，这些数共有多少个？

解：设前两位为ab 显然a+b<=9 ,且a不为0 所以，a的取值是：1～9，对应的b可能的取值个数：(10-1)～(10-9)所以，符合要求的个数为：((10-1)+(10-9))×9÷2＝45。

3、 现有1克，3克，9克的砝码各一个，问，天平能称出多少种不同重量的物体？

解：最大可称出1+3+9=13克，当两端放砝码时，1-13克都可称出，共13种。

4、 **把37拆分成若干质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的质数相乘，得到的乘积中，那个最小？

解：37可坼分为：2,3,7,11,13,17,19,23,29,31。

5、 求分子小于6，分母小于60的不可约分的真分数的个数

解：分子取1时，分母可取1-59，共59种；分子取2时，分母可大于2的奇数取3,5,7…59，

取法有29种，分子取3时，分母可以取除被3整除外的：4,5,7，…，59，共57-20=37种，分子取4时，分母取法与取2相同，共29种，分子取5时，共有取法=55-12=43种。

6、 有长度为1cm，2cm，3cm，。。。9cm的木棍1根，从中选出若干根，可以围成多少种不同边长的正方形？

解：木棍总周长=（1+9）x 9/2=45，正方形四边最长=45/4=10，分类：边长=10，可由（1+9,2+8,3+7,4+6,5+5）中选取4组，有5种；边长=9时，可由（9,1+8,2+7,3+6,4+5）中选取4组，有5种；边长=8时，可由（8,1+7,2+6,3+6,4+4）中选4组，有5种选法；边长=7时，可由（7,1+6,2+5,3+4）选4组，有1中选法；边长=6时，可由（6,1+5,2+4,3+3），一种选法；边长=5时，可由（5,1+4,2+3），选法=0。

7、 有10粒糖，每天至少吃1粒，吃完为止，共有多少种吃法？

解：把10粒糖从左向右排成一列，第一天一定会吃第一粒糖，将它计为1。如果接下来的一粒糖和前一粒糖在同一天吃，就把这粒糖 计为和前一粒糖相同的数字(前一粒为1，这一粒也为1；前一粒为0，这一粒也为0)。如果接下来的一粒糖和前一粒糖不在同一天吃，就把这粒糖计为和前一粒 糖不同的数字(前一粒为1，这一粒为0；前一粒为0，这一粒为1)。这样这列糖就可以表示为一个首位为1的10为二进制数，这样的数一共有2^9=512 个，即有512种吃法。

8、 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

解：最多吃5天，最少吃1天。1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况；2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，C10 1=10；3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天，C8 2=28 ;4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天,C6 3=20, 共是60 种

9、 一本书有500页，编印页码1,2,3…问数字1在页码中出现了多少次？

解：一位数含1的有1个；两位数含1的：（10-19）10+（21,31，。。。，91）8=18个；三位数：（100-199）100+（首位为2，3，4，末两位含1）3x19=119

10、 甲乙两队进行足球比赛，最终比分为4:2，已知甲先进1球，而乙对在比赛中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有多少种可能？

解：图表

11、 把一枚硬币依次掷5次，其中出现3个正面（H），2个反面（T）的可能性有多大？

解：图表得出现的次数是10次，总共的次数是25

=32

12、 **1995的数字和1+9+9+5=24，小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个？

解：小于2000的四位数千位数字是1，其他三位的数字和是23。因为十位和个位的数字和最多为9＋9＝18，因此百位数字至少是5。百位是5时，只有1599一个；百位是6时，有1689，1698两个；百位是7时，有1779，1788，1797三个；百位是8时，有1869，1878，1887，1896四个；百位是9时，有1959，1968，1977，1986，1995五个；

13、 有1,2,3,4,5五个数字组成的各个数位互不相同的五位数有多少个？将他们从大到

小排列，第95个数是多少？

解：C51 x C41 x C31 x C21

，第1个取5的数：C41 x C31 x C21=24，第1个取4的数：C41 x C31

x C21=24，第1个取3的数：C41 x C31 x C21=24，第1个取2的数：C41 x C31 x C21=24，共96个，即最后一条21345，前一条：21354

14、 将1332,332,32,2这四个数的10个数码一个一个划掉，要求先划掉位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？

解：逐个划成位数最多的最小数码，逐个划数，顺次得到：132，332，32，2 [9个数码时最小的数]；13，332，32，2 [8个数码时最小的数]；13，32，32，2 [7个数码时最小的数]；13，2，32，2 [6个数码时最小的数]；13，2，2，2 [5个数码时最小的数，下同]；1，2,2,2；1，2,2；1，2；1。

第1、2步两种划法：先划1322中百位的3、先划十位的3。第3、4步两种划法：先划332中百位的3、先划十位的3。第6、7步时，分别有3、2种划法。一共有：2*2*3*2 = 24 种划法。

15、 一个楼梯共有10级，规定每步只能跨上一级或两级，最多3步，要等上10级，共有多少种不同的走法？（斐波那契数列）

解：1级台阶有：1种；2级台阶有1、1，2，共两种；3级台阶有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种走法；4级台阶时有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；5级台阶时，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；6级台阶时，得到24=13+7+4种；即：n级台阶时，所有的走法种数是它的前三种走法的和。由此得到，10级台阶时为274种。

16、 有一堆火柴共有12根，如规定每次取1-3根，那么取完这堆火柴共有多少种取法？

解：同上

17、 有5本不同的书，7名同学去借，每人最多借1本，把书全部借出去，一共有多少种借法？

解：P75=7x6x5=210

18、 4名甲队员，3名乙队员站成一排，任何两名乙队员不相邻，有多少种不同站法？

解：P53=5x4x3

19、 在42名同学中选择3名参加夏令营，有多少种不同选法？如果选3名同学站成一排，有多少种选法？

解：C423

，P423

20、 7名同学，甲不站排头，乙不站在排尾的站法有多少种？

解：甲在排头：P66

；乙在排尾：P66

；甲在排头，乙在排尾的：P55；P77

– 2x P66

+ P55

倒推法问题

1、 **李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1,2,3，。。。，后来擦掉了其中一个，剩下的数的平均数是10.8，那么被擦掉的那个自然数是多少？

解：平均数=总数/个数=10.8=54/5=108/10=162/15=216/20···，由等差数列公式：n（n+1）/2。以此试算：①原数若是6个，则（1+6）×6÷2=21,21-54为负数（×）②原数若是11个，则（1+11）×11÷2=66,66-108为负数（×）③原数若是16个，则（1+16）×16÷2=136,136-162为负数（×）④原数若是21个，则（1+21）×21÷2=231,231-216=15,15又是1至21中的一个，符合题意（√）

2、 食堂运来一批大米，第一天吃掉全部的2/5，第2天吃掉剩下的1/3，第3天吃掉剩下的3/4,这时，还剩15 千克，问食堂运来大米多少千克？

解：第3天的粮食15÷1/4=60，第2天的粮食60÷2/3=90，第1天的粮食90÷3/5=150

3、 有1根1米长的木条，第1次去掉1/5，第2次去掉1/6,第3次去掉1/7，。。。这样一直下去，最后一次去掉上一次的1/10。问这根木条最后还剩多长？

解：1x（1-1/5）x(1-1/6)…x(1-1/10)=4/5 x 5/6 x 6/7 x … x 8/9 x 9/10=2/5

4、 有一堆白棋和黑棋，白子是黑子的5倍，每次取走7颗白子，3颗黑子，当白子还剩53颗时，黑子还剩1颗，问原来这堆白子和黑子一共多少颗？

解：黑棋N，白棋5N。（5N-53）/ 7=（N-1）/ 3

5、 甲乙两仓库各存有粮食若干吨，从甲运出1/5到乙，又从乙从运出3/8到甲，这是两个仓库中的粮食正好相等，问甲乙粮食的比是多少？

解：设乙粮仓原有1吨，甲有N吨。甲运出1/5时：甲=4N/5，乙=1+N/5，乙运出3/8：甲=4N/5

+ (1+N/5) x 3/8，乙=(1+N/5) x 5/8，则4N/5 + (1+N/5) x 3/8 =(1+N/5) x 5/8

6、 **有甲乙丙三堆糖共98颗，小张从甲堆中取一部分给乙、丙两堆，使两堆的个数增加1倍，再从乙堆中取一部分给甲、丙，使两堆的个数增加1倍，最后从丙堆中取出一部分按上述方法分配，结果丙堆的个数是甲堆的5/4，是乙堆的15/22，那么三堆中原有最多一堆有多少个？

解：最后丙与甲的比是：5:4，丙与乙的比是15:22，甲、乙、丙的比是：12:22:15。这时候的甲、乙、丙各是：甲：98×12/(12＋22＋15) ＝24，乙：98×22/(12＋22＋15) ＝44，

丙：98×15/(12＋22＋15) ＝30。

第三次取之前的情况是：甲：24÷2＝12 乙：44÷2＝22 丙：30＋12＋22＝64

第二次取之前的情况是：甲：12÷2＝6 丙：64÷2＝32 乙：22＋6＋32＝60

第一次取之前的情况是：乙：60÷2＝30 丙：32÷2＝16 甲：6＋30＋16＝52

三堆糖中原来最多的一堆有（52）个。

假设与替换（鸡兔问题）

1. 某次考试共20题，计分标准是：作对第k题得k分(k=1,2,3…20)，做错第k题则倒扣k分，小明做了所有的题，得100分，那么小明最多做错几道题，至少做错几道题？

解：总的分数=（1+20）x20/2=210，做错最多的话，题得序号K应尽量小，。

2. 一个工人加工一批产品，加工一件正品得0.75元，加工次品罚款1.5元，这天他加工正品是次品的7倍，得款11.25，问他加工了多少件次品？

解：设加工次品X，则正品7X，0.75 x 7X – 1.5X=11.25

3. 三种昆虫18只，他们共有20对翅膀，116条腿，其中，蜘蛛是无翅膀8条腿，蜻蜓是2对翅膀6条腿，蝉是1对翅膀6条腿，问他们各多少只？

解：蜘蛛，蜻蜓，蝉为X,Y,Z，则 X+Y+Z=18 ①2Y+Z=20 ② 8X+6Y+6Z=116③

4. 学校用352元买香蕉、苹果和梨共100千克，已知香蕉每千克2元，苹果和梨每千克4元，已知买香蕉和苹果的花费比梨多24元，那么买苹果多少千克？

解：苹果、香蕉、梨X，Y，Z。X+Y+Z=100，2X+4Y+4Z=352，2X+4Y-4Z=24

5. 6条谜语50人猜，共猜对178条次，已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条一样多，那么猜对6条有多少人？

解：设猜对3条X,6条Y。16+X+9+X+Y=50 ① 2*16+3X+4*9+5X+6Y=178 ②

6. 甲乙各买了相同数量的信封和相同数量的信纸，甲每封用2张信纸，乙每封用3张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩20张信纸，乙用完了所有的信纸还剩10个信封，问他们各买了多少张信纸？

解：设各有信封x个 2x+20＝（x-10）×3，解得x＝50 所以甲2×50+20＝120张 乙50-10＝40×3＝120张 答：两人各买了120张信纸。

对应与比较(盈亏问题)

1.有三个书架，分给5个人，其中三个人各分到一个书架，分到书架的人各拿出1200元，平均分给其余2个人，大家都说公平，问书架价值多少元？

解：未得到书架的人得到价值=1200x3/2=1800，那么得到书架的人价值=1800=X-1200,X=3000

2.甲有桌子若干，乙有椅子若干，如乙用椅子换回数量相同的桌子，要补甲320元，如乙不补钱，就会少换会5张椅子，已知3张桌子比5张椅子少48元，乙有椅子多少？

解：由题意得知，一个桌子的价格是：320/5=64，一个椅子的价格是：（3*64+48）/5=48。相同数量的椅子比桌子少320元，所以原有椅子是：320/（64-48）=20个

3.有一辆车从A到B，如果汽车每小时比规定速度快10千米，就可以提前12分钟，如每小时比规定速度慢4千米，则迟到6分钟到，求AB之间的距离

解：设规定速度X 规定时间T 。(X+10)*(T-0.2)=XT (0.2小时=12分钟) ①(X-4)*(T+0.1)=XT (0.1小时=6分钟) ② 解方程 X=60 T=1.4 所以S=60*1.4=84千米

4.生产一批零件，如每小时比原计划多6个，则提前5分钟完成，如每小时比计划少5个，则推迟6分钟完成，这批零件共多少个？

解：设原计划每小时生产x个零件 工作y个小时。(x+6)(y-1/12)=xy① (x-5)(y+1/10)=xy

② 整理得6y-x/12=1/2, x/10-5y=1/2解得x=30，y=1/2。这批零件共有15个。

5.有440个零件，平均分配给若干个工人加工，后来少了1个工人，这样剩下的每个工人要比原计划多加工4个零件，问，后来每个工人加工了多少个零件？

解：设原有x人，则一人做的零件是4(X-1)，即4(X-1)X=440 X=11，一人做的零件为40

6.**从1写到2012，求数码和？

解：先考虑1000(000-009共计1000个数字)以内的数码和:在该范围内0-9这10个数码出现的概率相同,均为1/10(注意,要考虑0,注意0可以占位,把1看作001,才能让0-9的地位相同,且加上0这个数码后,不影响数码和的计算)则和为3*1000*(45/10)=13500.

再考虑1000-1999的数码和:不考虑千位1的话,和也是13500,再加上千位1出现的1000次,则和为14500.

然后是2000-2007,个位0-7之和为28,千位2出现8次,所以和为28+16=44

综上所述:所求为13500+14500+44=28044

7.圆周有8个点，任意点之间连一条弦，这些弦在园内有多少交点？

解：分析可知，假设P点是圆上四点A、B、C、D所引弦在圆内的唯一交点，同时任取圆周上四点作为顶点可构成一个凸四边形，这个凸四边形的两条对角线在圆内有唯一确定的一个交点，于是可以建立一个圆内的交点与凸四边形的一一对应关系。在圆周上的8个点中，任取其中4个点，可以构成一个顶点在圆上的凸四边形，而同时，对于任意一个顶点在圆上的凸四边形必定有其两条对角线交于圆内一点。于是可以得到合乎要求的交点的个数为从8个点中取4个点的组合数,即70个。

8.**求[23X1/13]+ [23X2/13]+ [23X3/13]+…+[23X64/13]，其中[]取整。

解：[23X1/13]+[23X64/13]=114，[23X2/13]+[23X63/13]=114…，一共64/2=32个，但有[23X13/13]+[23X52/13]和[23X26/13]+[23X39/13]两组能被整除。结果=32X114+2=344

9.求分母为1001的所有最简真分数有多少个？（容斥），这些最简真分数的和？

解：1001=7x11x13，1-1000中7的倍数有:[1000/7]=11x13-1=142，11的倍数有：[1000/11]=7X13-1=90，13的倍数有：[1000/13]=7X11-1=76同时是7,11的倍数有：[1000/(7x11)]=13-1=12，同时是7,13的倍数有：[1000/(7X13)]=11-1=10，同时是11,13的倍数有[1000/(11X13)]=7-1=6,同时是[1000/(7X11X13)]=0，利用容斥原理，1000-（142+90+76-12-10-6+0）=500。

按等差数列计算，所有真分数的和为500．其中分子为7的倍数的和为71；分子为11的倍数的和为45；分子为13的倍数的和为38；分子为7*11的倍数的和为6；分子为11*13的倍数的和为3；分子为13*7的倍数的和为5．故知最简真分式的和为

500-71-45-38+6+3+5=360

10.有一列数1,3,4,7,11,18,29，。。这些数的2011个数被6除的余数是多少？

解：易见这个数列{a(n)}具有递推性：a(n+2)=a(n+1)+a(n)，

由同余的性质，a(n+2)==(a(n+1) mod 6) + (a(n) mod 6) mod 6.

从1,3开始，我们利用上式写出余数数列：

1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，（1，3，开始循环，循环长度或者说周期是24)

2011 mod 24=19

故a(2011)==a(19)==1

浓度问题

1.一个容器内装10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出2.5升，在用水加满，这时容器内酒精溶度是多少？（公式）

解：第一次倒出2.5升，加满水后，溶质=10-2.5=7.5升，浓度=7.5/10=75%。

第二次倒出2.5升，加满水后，溶质=7.5-2.5 x 75%=5.625升，浓度=5.625/10=56.25%

2.A、B、C三试管各装15克，20克，40克水，把3克盐放入A试管，混合后取4克溶液加到B试管，再从B试管中取4克溶液到C试管，求C试管的浓度？（公式）

解：3克盐放入A，A的溶质=3，浓度=3/(15+3)=1/6，A取4克到B，则B的溶质=1/6 x 4=2/3，浓度=2/3/（20+4）= 1/36，B取4克到C，C的溶质=1/36 x 6=1/9，C的浓度=1/9/（40+4）=0.25%

3.有A、B、C三种盐水，按A与B数量比2:1混合，得到浓度为13%的盐水，按A与B数量比1:2混合，得到浓度14%的盐水。如A、B、C数量之比为1:1:3混合，得到盐水浓度为10.2%，问盐水C的浓度？（比例法、方程）

解：设A、B、C的浓度为A、B、C，则2A+B=13% x 3 ① A+2B=14% x3 ② A+B+3C=10.2%x5

③

4.有盐水若干克，加入一定量的水，盐水浓度降到36%，又加入同样多的水后，盐水浓度降到12%，问如果再连续两次加入同样多的水，盐水浓度是多少？（设数）

解：设浓度为36%的盐水100克。则溶质=36克，加水A克后，浓度12%，则36/（100+A）=12%，A=200克；再加两次水后，浓度=36/（100+3A）=36/700

利润问题

1、 A商店的某项商品按照定价卖，共得7200元，B商店同样的商品以定价的八折卖，比A商店多卖15个，营业额与A商店相同。请问在B商店，此商品1个卖多少钱？A商店卖出多少个这种商品？

解：设商品定价为X，A商店卖出Y件。XY=7200 ① 0.8X（Y+15）=7200 ②

0.8x15X+0.8x7200=7200，X=120，Y=60

2、 一批商品按期望的50%的利润来定价，结果只销售了70%的商品，为了尽量消掉剩下的商品，商店决定打折销售，这样所获得全部利润，是原来期望利润的82%，问打了多少折？

解：假设有商品共Y件，每件商品1元，打X折。(0.7Y×1.5+0.3Y×1.5X-Y)/0.5Y=0.82，求得X=0.8，所以打八折。

3、 某商品按原价出手，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍，每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？

解：设成本为A，降价前售出的数量为B。则降价前的售价为125%*A，降价后的售价为125%*A*90%，降价后的每天销售数量为B*2.5，降价后的每天总销售额为（125%*A*90%）*（B*2.5），降价后的每天总利润为（25%*A*90%）*（B*2.5），而降价前的每天总销售额为125%*A*B，降价前的每天总利润为25%*A*B。

所以每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之比为：（降价后的每天总利润-降价前的每天总利润）/降价前的每天总利润=[（25%*A*90%）*（B*2.5）-25%*A*B]/（25%*A*B）=125%

4、 某服装厂生产一种服装，每件成本是144元，收价是200元，一位服装经销商订购了120件服装，并提出“如果售价每件降低2元，就多订购6件”。按照经销商的要求，这个

服装厂售出多少件才能获得最大利润？这个最大利润是多少？（不定方程）

解：假设降价2x元，则每件利润 (56-2x)，共卖出(120+6x)件。总利润为12（28*20+8x-x^2），极大值必在x=8/2=4时取得。因此售出144件，利润6912元

5、 制鞋厂生产的皮鞋质量分为10档，生产最低档次（1档）的每双皮鞋利润为24元，如果提高一个档次，每双的利润增加6元，最低档次的皮鞋每天生产180双，提高一个档次每天少生产9双。每天生产第几档次的利润最大？最大利润是多少？

解：

档次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

利润 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

只数 180 171 162 153 144 135 126 117 108 99

两数差越小,积越大,72*108=7776.

不定方程

1、 一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数XY，过了一个小时，看到路标上的数字是两位数YX，又过了一个小时，看到路标上数字为三位数X0Y，求每次看到的数字和汽车速度？

解：10Y+X-（10X+Y）=（100X+Y）-（10Y+X），且0

2、 商店有白糖4kg，3kg，1kg的三种不同包装，一位顾客要买15kg的白糖，问售货员可以有多少种不同的方法？

解：4X+3Y+Z=15，X取值：0,1,2,3,

3、 X与Y分别表示两个两位数的质数，且（200X+2Y）/（X+Y）为整数，问X，Y各是多少？

解：化简（200X+2Y）/（X+Y）=200 +198X/（X+Y），所以198x能被x＋y整除。又因为x是质数，所以198能被x＋y整除，即x＋y是198的约数。因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x＋y一定是两位或三位偶数。列举出198的两位或三位偶数约数：198，66，18。因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求。而66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋37，故符合题目要求的质数对为：（13，53）、（19，47）、（23，43）、（29，37）。

4、 某市规定，每月用电不超过50度，则每度0.5元，如果超过50度，超出部分按0.8元收费，假设A,B两家都用整数度电，甲家比乙家多交3.3元，甲乙两家个用多少度电？各交多少电费？

解：因为3.3除以0.5和0.8都不能除尽，所以可得A超过50度，B没超过。

设A用了50+X度，B用了50-Y度。得：0.8 * X + 0.5 * Y = 3.3

因X，Y都是整数，所以1<=X<=4。依次验证X的值得：X=3时Y为整数2。

数列、数表、规律

1、 求762011+252011的末一位数字？末二位数字？

解：76^2=5776=5700+76，25^2=625=600+25，76^3=(5700+76)*76=5700*76+76^2的末两位还是76。 进一步推算出76^n（n是任意正整数）的末两位是76，同理25^n的末两位是25，从而得出76^2001+25^2001的末两位是76+25=101中的01。

2、 能否将1,2，。。。49,50两两配对，使得所配的25对数之和两两不同且都为质数？

解：1-99之间质数：3,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,97,共24个质数

3、 已知A=1x3x5x7x9…x1995x1997x1999。分别求A的末两位和末三位数？

解：1-1999中有5的倍数个数有：[1999/5]=199。

再找因数5的末尾数的特征： 1个5的末尾数就是5

2个5的末尾数是25

3个5的末尾数是125

4个5的末尾数是625

5个5的末尾数是125

如果看末3位，从3个后，周期为2，所以A的末尾为125。

4、 证明对于任何自然数n，分数(12n+1)/(30n+2)是最简分数（辗转相除）

5、 当P为质数时，形如2P-1的质数是梅森质数，美国数学小组用75台电脑同时运行发现一个P=43112609，长达1300万位的梅森质数，这个质数是目前最大的质数，他的个位是？（尾数规律）

估值问题

1、 已知S=(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11)x1001，那么S的整数部分是（）？

解：1001=7x11x13，S=(1/2+1/3+1/5)x1001+11x13+7x13

2、 五名选手在一次竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的90分，那么最低的选手至少得多少分？

解：要使最低选手分数少，则，其他人分数应尽量高。可设其他几人的分数90,89,88,87，则最低分数404-（90+89+88+87）=50

3、 电视台要播30集电视剧，如果要求每天播放的集数互不相等，电视剧最多能播多少天？

解：要天数最多，每天播的集数最少，则1+2+3+4+6+7+8

4、 在1，1/2，1/3，…，1/99，1/100中，选出若干个数，使得他们的和大于3，至少要选（）个数？

解：1+1/2+1/3+1/6+1/4+1/5=2.45, 1/7=0.142,1/8=0.125,1/9=0.1,1/10=0.1, 1/11=0.09

5、 34个偶数的平均数，保留一位小数是15.9，问，如果保留两位小数得多少？

解：15.85-15.94，即15.85x34=538.9， 15.94x34=541.96，由于是偶数，则数字为540，保留两位15.88

6、 A=4/5 x 6/7 x 8/9 x … x 1000000/1000001，问A与0.002那个大？

解：B=5/6 x 7/8 x 9/ 1000001/1000002

A

A<0.002

牛吃草问题

牛吃草的特点：草总量在变化，草的总量=原有草量W+新生草量（草生长速度Hx天数），

一头牛一天吃草M。

常见类型：牛吃草、水池储水（放水）、水库（船体）排水、电影院放人、人在电梯中上下。

1. 某天早上8点，火车站有450旅客等候进站，此时，每分钟还有若干人前来进站处准备进站，这样，如果设置4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客，如果要5分钟放完旅客，则需要设立多少个检票口？

解：设每分钟前来进站的人数H，①②每个进站口每分钟进站人数是M，5分钟放完要开N个检票口，则

450 + 15H = 4 x M x 15 ①

450 + 7H = 8 x M x 7 ②

450 + 5H = 5 x M x N ③

2. 一只船有一个漏洞，水匀速进入船体，发现漏洞时，船体已经进入了水，如果用12人舀水，3小时可以舀完，如果5人舀水，要10小时舀完，现要2小时舀完，需要多少人？

解：每小时进水H，原有水W，每人每小时舀水M，要2小时舀完，需要N人。

W + 3H = 12 x M x 3 ①

W + 10H = 5 x M x 10 ②

W + 2H = 2 x M x N ③

3. 假设地球上新生长的资源的增速一定，照此测算，地球资源可供137.5亿人生活112.5年，或供112.5亿人生活262.5年，为了人类不断繁衍，那么地球最多能养活多少人？

解：地球资源每年的生长速度为H，每亿人每年消耗M，地球原有资源为W。要使人类繁衍下去，最多可以养活N亿人，则：

H = N x M ①

W + 112.5H = 137.5 x M x 112.5 ②

W + 262.5H = 112.5 x M x 262.5 ③

4. 12头牛28天吃完10公顷的牧草，21头牛63天可以吃完30公顷的牧草，多少头牛126天可以吃完72公顷的牧草？①②③

解：设每公顷牧草每天生长速度为H，一头牛每天吃草M，N头牛126天吃完72公顷的牧草。

10 x 28H = 12 x 28 x M ①

30 x 63H = 63 x 21 x M ②

72 x 126H = 126 x N x M ③

工程问题

1. 某工程由甲乙两队合作6天完成，厂家付甲乙两队共8700元，乙丙两队合作10天完成，厂家付乙丙两队9500元，甲丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家支付甲丙两队5500元，现在厂家要求不超过15天完成工程，可由哪队完成，花钱多少？

解：6甲工效+6乙工效=1 ①，10乙工效+10丙工效=1 ②，5甲工效+ 5丙工效=2/3 ③ 6甲工钱+ 6乙工钱=8700 ④，10乙工钱+10丙工钱=9500 ⑤，5甲工钱 + 5丙工钱=5500⑥

2. **一项工程甲单独要做60小时，乙单独做要50小时。如果按照甲做1小时，由乙做2

小时，再由甲做3小时，再由乙做5小时，。。。的顺序交替工作，那么多少小时可以完成？

解：1/60+2/50+3/60+4/50+…=1

3. 水池有甲丙两条进水管和乙丁两条出水管，要注满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现池内有1/6，如按照甲乙丙丁的顺序，循环开个跳水管，每次每管开一小时，问多少小时后，水开始溢出?

解：(1/3-1/4+1/5-1/6) x t=5/6

4. 小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张制作4个零件休息1.5分钟，现在他们共同完成65个零件，需要多少分钟？

解：李的工效=3/4个/分，张的工效=4/4.5个/分。

时间=65/(3/4+4/4.5)

5. 有两项工作，张单独做甲工作要10天，单独做乙工作要15天，李单独做甲工作要12天，单独做乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合做，那么这两项工作都完成，最后要多少天？

解：甲时间=1/（1/10+1/12）,乙时间=1/(1/15+1/20)

6. 甲乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用18天生产上衣，12天生长裤子，共生产600套，乙厂每月用15天生产上衣，15天生产裤子，共生产600套，现由两厂合作生产，每月最多能生产多少套服装？

解：设最多能生产T套服装。甲每天生产裤子=600/12=50，每天生产衣服=600/18=100/3；乙每天生产裤子=600/15=40，每天生产衣服=600/15=40。

要使生产最多的套数，裤子由甲生产，乙生产衣服，最后由甲乙合作做衣服。

甲生产裤子的时间=T/50，此时乙生产衣服= T/50 x 40=4T/5，还剩T/5件，剩余时间=30-T/50，则方程为: (30-T/50) x (100/3+40)=T/5

时钟快慢

1.小春有一块手表，这块表每小时比标准时间慢2分钟，某天晚上9点整，小春将手表调准，到第2天上午手表显示时间是7点38分，此时标准时间是？

解：(60-2)/60=(10x60+38)/A

2.老赵有一只走时准确的表，小东的表比老赵的表每小时慢2分，小张的表比老赵的每小时快2分。8点整，3只表同时对准，那么当小东的表指示12点时，小张的表指向几点几分？

解：

3、妈妈给小王买了一块表，小王发现这块表比家里的闹钟每小时快30秒，可是家里的闹钟每小时比标准时间慢30秒，那么，小王的表准确吗？

解：

5、 某时钟8月28日零点比标准时间慢4分半，他一直走到9月4日上午7时，比标准时

间快3分，那马这只钟表所指示的正确时间是（）月（）日（）时。

解：

5、小黄家的钟每天比北京时间慢1小时，小黄的表比他的钟每24小时快1小时，2008年1月1日零点，小黄将他家的钟自己的表都调成北京时间，请问再经过多长的时间，小黄家的钟和表再次都同时指向12的位置？

有一位修表师傅误把手表的时针装成与分针一样的零件，导致这块手表无法判别那个是时针哪个是分针，除此以外，其他功能全部正常，师傅在12点校正手表，将两针重合在12点，假设我们可以百分之百精确独处两针所指的时刻，请问：第一次我们无法从这块表正确地判断出时间是什么时刻（即手表所指的时刻有两种可能）？

解：

逻辑推理

1、 甲乙丙丁四位同学在校运会上比赛得了前4名的好成绩，他们的获奖情况如下：陈说“甲第1，乙第3”；张说”丙第4，乙第2”；李说“丁第2，丙第3”；顾说“丁第1，乙第3”，又已知陈张李顾每人都说对了一半，那么丙第几名？

解：

2、 四位同学约定周六上午8:00到校门口集合，见面后，四人中：甲说“我提前6分钟到，乙是正点到的”；乙说“我提前4分钟到，丙比我晚2分钟”，丙说“我提前3分钟到，丁提前2分钟”，丁说“我还以为我迟到了1分钟，其实我到了后才听到广播报北京时间8点整”。根据他们的谈话，推算出他们四人的手表各快（慢）了几分钟？

解：

3、甲乙丙丁同时参加英语比赛，他们四人预测名次的谈话如下：甲“丙第1，我第3”，乙：“我第1，丁第4”，丙：“丁第2，我第3”，丁没说话，最后公布结果，发现他们的预测都只对了一半，请说出四人的名次

4、甲乙丙丁与小强共五位比赛象棋，每人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4场，乙赛了3场，丙赛了2场，丁赛了1场，小强已经赛了几场？

5、A、B、C、D、E五位同学各自从不同途径打听到比赛获得第1名的同学情况：A打听到“姓李，女同学，13岁，广东人”，B打听到“姓张，男同学，11岁，湖南人”，C打听到“姓陈，女同学，13岁，广东人”，D打听到“姓黄，男同学，11岁，广西人”，E打听“姓张，男同学，12岁，广东人”，实际上第1名的同学的姓名、性别、年龄、籍贯在上表中有，而5位同学中，每位同学都有一项是正确的，请问这个同学是？

统筹问题

1.星期天妈妈要做很多事情，搽玻璃要20分钟，收拾厨房15分钟，洗脏衣服要10分钟，自动洗衣机洗衣要40分钟，晾衣服要10分钟，妈妈做完所有这些事情至少要用多长时间？

2.189米长的钢筋要剪成4米或7米的两种尺寸，如何最省料?

3.有157吨货物要从甲运到乙，大卡车载重5吨，小卡车载重2吨，大卡车和小卡车每次的耗油量分别10升和6升，如何派车才能是耗油量最少？这时共需要油多少升？

行程问题（周期、相对）

1、 在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？

解：两种情况，甲在前或乙在前。乙在前：100/（5-4）=100秒。甲跑20秒休息10秒，乙跑25秒休息10秒。甲如果跑的时间是100秒，则休息了4次，总共花的时间是100+40=140秒，在这140秒中，甲跑的路程100*5=500米。现在看乙在140秒跑的路程，140/35=4.乙跑的时间就是4*25=100秒，休息的时间40秒。乙跑的路程100*4=400米。甲和乙在140秒的时间，甲比乙多跑100米。此时甲刚好能追上乙。总共时间140秒。

2、 A的速度为30千米／小时，B的速度为20千米／小时，A和B同时从甲地出发到乙地，他们先后到乙地后又返回甲地„„如此往复来回运动。已知A与B第二次迎面相遇与A第二次追上B的两点相距45千米，甲乙两地相距多少千米？

解：A为“――”B为“„„”，A速30千米／小时，B速20千米／小时，上方为甲地，下方为乙地。按时间维度的坐标作出它们各自的运动轨迹。由于甲乙相距一定。VA∶VB=30∶20，所以行一个全程，A用的时间tA与B用的时间tB之间tA∶tB=2∶3，A行完6个全程时，B刚好行完4个全程，时间一定时，他们的行程比是3∶2。

由图2可观察到，A与B第一次迎面相遇在M点，第二次迎面相遇在N点。其中我们只须考察N点，由图2知，A与B第一次追上相遇（A与B同向同时达到一点）在H点。实际上2与3的最小公倍数是6，故在6小时处相遇（同向），可以推想，在第12时时，A和B又一次同向相遇，且相遇点类似地在甲地（H′点）。在图上则相差一个周期，必须指出的是H、H′，其实就是指甲地，它们并无空间上的位移，于是我们把它“移”到H0点，则NH0=45千米。

我们观察N点，也就是AB第二次迎面相遇的这一时刻，此时，由图2可知，A已行了2个全程还多，B则行了1个全程多。相遇时，他们合计共行了4个全程。在一定的时间内，A、B共行了4个全程。他们的贡献与其

前述H0即为题目所述第二次、第三次„„追上相遇的地点，故NH0=