2018江苏高考数学试卷及答案

2023年12月2日发(作者：高考数学试卷文科数学难吗)

Thereisncessarytoholdanobjectiveattitudetowardsratings.(150words)Possibleversiontwo:Nowadays,atings,easytoaccess,areplayinganincreasinglyimportantroleincustomers蒺r,snodenyingthatsuchratingsmightbringconveniencetoconsumers,lknow,mostoftheratingsarebasedonothers蒺ntly,blindlyfollowingothers蒺rfactshouldnotbeneglectedthatsomeofthecomeacommonpracticeforsometopayore,weshouldgiveasecondthoughttotheseratingswheneverwegoshopping.(150words)数学玉试题1Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.3一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.踿踿踿踿踿踿踿踿1.已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A疑B=摇银摇.2.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为摇银摇.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位(第3题)裁判打出的分数的平均数为摇银摇.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为摇银摇.5.函数f(x)=log2x-1的定义域为摇银摇.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为摇银摇.仔仔仔7.已知函数y=sin(2x+渍)(-<渍<)的图象关于直线x=对称,223则渍的值为摇银摇.x2y28.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2-2=1(a>0,b>0)的ab摇(第4题)3右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为摇银摇.2ìïcos仔x,摇012an+1成立的n的最小值为摇银摇.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说踿踿踿踿踿踿踿明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1彝B1C1.求证:(1)AB椅平面A1B1C;(2)平面ABB1A1彝平面A1BC.16.(本小题满分14分)45已知琢,茁为锐角,tan琢=,cos(琢+茁)=-.35(1)求cos2琢的值;(第15题)(2)求tan(琢-茁)的值.17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚玉内的地块形状为矩形ABCD,大棚域内的地块形状为吟CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为兹.(1)用兹分别表示矩形ABCD和吟CDP的面积,并确定sin兹的取值范围;(2)若大棚玉内种植甲种蔬菜,大棚域内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4颐3.求当兹为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.(第17题)18.(本小题满分16分)1如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(3,),2焦点为F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.淤若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;于直线l与椭圆C交于A,B两点.若吟OAB的面26积为,求直线l的方程.7(第18题)19.(本小题满分16分)记f忆(x),g忆(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0沂R,满足f(x0)=g(x0)且f忆(x0)=g忆(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点冶.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点冶;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点冶,求实数a的值;bex2(3)已知函数f(x)=-x+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数xf(x)与g(x)在区间(0,+¥)内存在“S点冶,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若an-bn臆b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m沂N*,q沂(1,2],证明:存在d沂R,使得an-bnn=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).m臆b1对—16—数学玉试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.摇1.摇{摇1,摇8摇}摇摇摇摇摇2摇.摇2摇摇摇摇摇摇摇3摇.摇90摇摇摇摇摇摇摇摇4.83仔5.[2,+肄)6.7.-8.2106249.10.11.-312.32313.914.27二、解答题15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB椅A1B1.因为ABË平面A1B1C,A1B1Ì平面A1B1C,所以AB椅平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1彝A1B.又因为AB1彝B1C1,BC椅B1C1,所以AB1彝BC.又因为A1B疑BC=B,A1BÌ平面A1BC,BC(第15题)Ì平面A1BC,所以AB1彝平面A1BC.因为AB1Ì平面ABB1A1,所以平面ABB1A1彝平面A1BC.16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.满分14分.4sin琢4解:(1)因为tan琢=,tan琢=,所以sin琢=cos琢.3cos琢39因为sin2琢+cos2琢=1,所以cos2琢=,257因此,cos2琢=2cos2琢-1=-.25(2)因为琢,茁为锐角,所以琢+茁沂(0,仔).525又因为cos(琢+茁)=-,所以sin(琢+茁)=1-cos2(琢+茁)=,55因此tan(琢+茁)=-2.42tan琢24因为tan琢=,所以tan2琢==-,371-tan2琢tan2琢-tan(琢+茁)2因此,tan(琢-茁)=tan[2琢-(琢+茁)]==-.1+tan2琢tan(琢+茁)1117.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解:(1)连结PO并延长交MN于H,则PH彝MN,所以OH=10.过O作OE彝BC于E,则OE椅MN,所以蚁COE=兹,故OE=40cos兹,EC=40sin兹,则矩形ABCD的面积为2伊40cos兹(40sin兹+10)=800(4sin兹cos兹+cos兹),1吟CDP的面积为伊2伊40cos兹(40-40sin兹)2=1600(cos兹-sin兹cos兹).—17—(第17题)过N作GN彝MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.1令蚁GOK=兹0,则sin兹0=,兹0沂(0,仔).46仔当兹沂[兹0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,21所以sin兹的取值范围是[,1).4答:矩形ABCD的面积为800(4sin兹cos兹+cos兹)平方米,吟CDP的面积为11600(cos兹-sin兹cos兹)平方米,sin兹的取值范围是[,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4颐3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k伊800(4sin兹cos兹+cos兹)+3k伊1600(cos兹-sin兹cos兹)仔=8000k(sin兹cos兹+cos兹),兹沂[兹0,).2仔设f(兹)=sin兹cos兹+cos兹,兹沂[兹0,),222则f忆(兹)=cos兹-sin兹-sin兹=-(2sin2兹+sin兹-1)=-(2sin兹-1)(sin兹+1).仔令f忆(兹)=0,得兹=,6仔当兹沂(兹0,)时,f忆(兹)>0,所以f(兹)为增函数;6仔仔当兹沂(,)时,f忆(兹)<0,所以f(兹)为减函数,62仔因此,当兹=时,f(兹)取到最大值.6仔答:当兹=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.618.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分16分.解:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),x2y21可设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0).又点(3,)在椭圆C上,2ab31a2=4,2+2=1,所以a解得24bb=1.22a-b=3,x2因此,椭圆C的方程为+y2=1.4因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)淤设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=3,x0x03所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.y0y0y02ìïx+y2=1,ï4由í摇摇消去y,得x30ïïy=-yx+y,î00222(4x0+y0)x-24x0x+36-4y02=0.摇摇(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以吟=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.因此,点P的坐标为(2,1).{{—18—2612642于因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.7277设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2x0248y02(x02-2)=(1+2)·.y0(4x02+y02)2因为x02+y02=3,16(x02-2)322(第18题)所以AB==,即2x04-45x02+100=0,2249(x0+1)511022解得x02=(x2,因此P的坐标为(,).0=20舍去),则y0=2222综上,直线l的方程为y=-5x+32.19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,摇则f忆(x)=1,g忆(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f忆(x)=g忆(x),得x=x2+2x-2,此方程组无解,1=2x+2,因此,f(x)与g(x)不存在“S点冶.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,1则f忆(x)=2ax,g忆(x)=.x设x0为f(x)与g(x)的“S点冶,由f(x0)=g(x0)且f忆(x0)=g忆(x0),得ax02-1=lnx0,ax02-1=lnx0,摇即摇摇(*)12ax0=,2ax02=1,x0111e得lnx0=-,即x0=e-2,则a==.1222(e-2)21e当a=时,x0=e-2满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点冶.2e因此,a的值为.2(3)对任意a>0,设h(x)=x3-3x2-ax+a.因为h(0)=a>0,h(1)=1-3-a+a=-2<0,且h(x)的图象是不间断的,2x03所以存在x0沂(0,1),使得h(x0)=0.令b=x,则b>0.e0(1-x0)bex2函数f(x)=-x+a,g(x)=,xbex(x-1)则f忆(x)=-2x,g忆(x)=.x2由f(x)=g(x)且f忆(x)=g忆(x),得x2x03ìex2be2ìï-x+a=x0·,ï-x+a=,xïïe(1-x0)x摇í摇即í(**)x32x0ex(x-1)ï-2x=be(x2-1),ï-2x=·,ïïxîex0(1-x0)x2î此时,x0满足方程组(**),即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点冶.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+肄)内存在“S点冶.{{{—19—20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解:(1)由条件知:an=(n-1)d,bn=2n-1.因为an-bn臆b1对n=1,2,3,4均成立,即(n-1)d-2n-1臆1对n=1,2,3,4均成立,75即1臆1,1臆d臆3,3臆2d臆5,7臆3d臆9,得臆d臆.3275因此,d的取值范围为[,].32(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在d,使得an-bn臆b1(n=2,3,…,m+1)成立,即b1+(n-1)d-b1qn-1臆b1(n=2,3,…,m+1),qn-1-2qn-1即当n=2,3,…,m+1时,d满足b臆d臆b.n-11n-11因为q沂(1,2],则10,对n=2,3,…,m+1均成立.n-11n-11因此,取d=0时,an-bn臆b1对n=2,3,…,m+1均成立.qn-1-2qn-1下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n=2,3,…,m+1).n-1n-1qn-2qn-1-2nqn-qn-nqn-1+2n(qn-qn-1)-qn+2淤当2臆n臆m时,-==,nn-1n(n-1)n(n-1)1当1-1-2因此,当2臆n臆m+1时,数列单调递增,n-1qn-1-2qm-2故数列的最大值为.n-1m于设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f忆(x)=(ln2-1-xln2)2x<0,所以f(x)单调递减,从而f(x)it,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n逸5)的表达式(用n表示).(第22题)21.揖选做题铱A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OC.因为PC与圆O相切,所以OC彝PC.又因为PC=23,OC=2,所以OP=PC2+OC2=4.又因为OB=2,从而B为Rt吟OCP斜边的中点,所以BC=2.B.[选修4-摇2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考(第21-A题)查运算求解能力.满分10分.23ù解:(1)因为A=é,det(A)=2伊2-1伊3=1屹0,所以A可逆,êë12úû2-3从而A-1=éê-12ùú.ëû23ùéxù=é3ù,所以éxù=A-1é3ù=é3ù,(2)设P(x,y),则éêêêêêë12úûêëyúûë1úûëyúûë1úûë-1úû因此,点P的坐标为(3,-1).C.[选修4-摇4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:因为曲线C的极坐标方程为籽=4cos兹,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.仔因为直线l的极坐标方程为籽sin(-兹)=2,6—21—数学域(附加题)参考答案仔,6所以A为直线l与圆C的一个交点.仔设另一个交点为B,则蚁OAB=.6则直线l过A(4,0),倾斜角为所以AB=4cos连结OB.因为OA为直径,从而蚁OBA=仔(第21-C题)=23.6因此,直线l被曲线C截得的弦长为23.D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.证明:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)逸(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2逸4,xyz244当且仅当==时,不等式取等号,此时x=,y=,z=,122333222所以x+y+z的最小值为4.22.揖必做题铱本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB彝OC,OO1彝OC,OO1彝OB,以寅寅寅{OB,OC,OO1}为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).31(1)因为P为A1B1的中点,所以P(,-,2),22寅寅31从而BP=(-,-,2),AC1=(0,2,2),22寅寅BP·AC1寅寅-1+4故cos==寅寅5伊22BP·AC1(第22题)310=.20310因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.2031(2)因为Q为BC的中点,所以Q(,,0),22寅寅寅33因此AQ=(,,0),AC1=(0,2,2),CC1=(0,0,2).22设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,寅33AQ·n=0,x+y=0,则寅即22AC1·n=0,2y+2z=0.不妨取n=(3,-1,1),设直线CC1与平面AQC1所成角为兹,寅CC1·n寅25则sin兹=cos===,寅55伊2CC·n仔,2{{1所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为—22—5.523.揖必做题铱本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)=2,(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n逸4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n逸5时,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)n2-n-2=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=,2n2-n-2因此,当n逸5时,fn(2)=.2摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇治摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇政摇摇试题一、单项选择题:本大题共33小题,每小题2分,共计66分。在每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题意的。1.中国共产党第十九次全国代表大会的主题是:不忘初心,牢记使命,高举中国特色社会主义伟大旗帜,决胜全面建成小康社会,夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利,为实现中华民族伟大复兴的中国梦不懈奋斗。中国共产党人的初心和使命是A.艰苦奋斗,全面建成小康社会B.为中国人民谋幸福,为中华民族谋复兴C.不懈努力,实现社会主义现代化D.以人民为中心,建设中国特色社会主义2.2017年12月召开的中央经济工作会议指出,中国特色社会主义进入了新时代,我国经济发展也进入了新时代,基本特征就是我国经济已由A.传统经济转向现代经济B.不均衡发展阶段转向协调发展阶段C.虚拟经济转向实体经济D.高速增长阶段转向高质量发展阶段3.2018年3月,十三届全国人大一次会议表决通过的《中华人民共和国宪法修正案》规定,各级监察委员会是国家的监察机关。监察委员会作为行使国家监察职能的专责机关,其监察覆盖了A.全体共产党员B.所有行使公权力的公职人员C.各级人大代表D.党政领导干部和企业管理人员4.三代人半个多世纪的艰苦奋斗,创造了荒原变林海的人间奇迹,为此获得2017年联合国环保最高荣誉“地球卫士奖冶的是A.可可西里志愿者B.毛乌素沙漠治理者C.塞罕坝林场建设者摇D.三北防护林建设者5.2017年,我国规模以上国有控股工业企业拥有资产总计42.5万亿元,占全部规模以上工业企业资产的比重由2012年的40.6%下降到37.9%。部分行业资产比重如图1,其中,农副食品加工、通用设备制造、纺织行业分别从15%、35.7%、12.8%下降到7.6%、20.2%、5.5%。国有经济在某些行业比重下降图1—23—