2023年12月2日发(作者：选修2-2数学试卷衡水)
人教版八年级上学期期末考试数学试卷（一）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子，，，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3
4．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（
A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a5
6．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（ ）
1
）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．45° C．36° D．30°
9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（ ）
A．0 B．2a C．2b D．2ab
10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（ ）
A．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）= ．
12．计算：（x﹣1+）÷= ．
B．0 C．﹣1 D．﹣3
13．如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动．若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过 秒后，△BPD≌△CQP．
14．分式方程
﹣1=的解是 ．
2 15．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3= ．
16．若a+b=4，且ab=2，则a2+b2= ．
三、解答题（共66分）
17．如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．
求证：∠B=∠E．
18．先化简，再求值：
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣，b=．
19．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
20．一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？
21．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （填A或B）
3 A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
22．观察下列各式：；…．
（1）猜想它的规律：把 =﹣； =； =； =﹣表示出来：+ = ．
+…++． （2）用你猜想得到的规律，计算： ++23．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．
（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
4 A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．在式子，，，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
【解答】解：，故选：B．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3
的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可．
【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；
5+6=11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；
5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意；
1+2=3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意，
故选：C．
5 4．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC
【考点】全等三角形的判定．
C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、AB=AD、AC=AC、BC=CD，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B、AB=AD、∠BAC=∠DAC、AC=AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C、AB=AD、AC=AC、∠B=∠D=90°，符合全等三角形的判定定理HL，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D、AB=AD、AC=AC、∠ACB=∠ACD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a5
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a3=a6故A不符合题意；
B、a0÷a3=a﹣3，故B符合题意；
C、积的乘方的乘方等于乘方的积，故C不符合题意；
D、底数不变指数相乘，故D不符合题意；
故选：B．
6
6．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（ ）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
【考点】全等三角形的判定．
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
7 【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；
在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选：A．
8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．45° C．36° D．30°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=可得2x=解得：x=36°，
则∠A=36°，
故选C．
9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（ ）
A．0 B．2a C．2b D．2ab
，
，
【考点】整式的混合运算．
8 【分析】首先进行乘法运算，化简整式方程，然后，把ab=ab+a+b代入化简即可．
【解答】解：∵a*b=ab+a+b，
∴原式=a（﹣b）+ab
=﹣ab+ab=﹣（ab+a+b）+（ab+a+b）
=﹣ab﹣a﹣b+ab+a+b
=0
故选A．
10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考点】分式的混合运算．
【分析】由已知得：a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．
【解答】解：∵a+b+c=0，
∴a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，
a（+）+b（+）+c（+），
=+++++，
==++++，
，
=﹣1﹣1﹣1，
=﹣3，
故选D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）= 12 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘多项式的法则把式子展开，再整体代入计算即可求解．
9 【解答】解：∵a+b=，且ab=1，
∴（a+2）（b+2）=ab+2（a+b）+4=1+7+4=12．
故答案为：12．
12．计算：（x﹣1+）÷= x+1 ．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后约分即可．
【解答】解：原式=[==x+1，
故答案为：x+1．
13．如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C移动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A移动．若点Q的移动速度与点P的移动速度相同，则经过 1 秒后，△BPD≌△CQP．
•
+]÷
【考点】勾股定理；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，
∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，
10 ∴BD=×10=5cm，PC=（8﹣3t）cm，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8﹣3t且3t=3t，
解得t=1．
故答案为：1．
14．分式方程﹣1=的解是 x=﹣1 ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x﹣x2﹣2x+3=2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
故答案为：x=﹣1
15．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3= 42° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，
11 则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=42°．
故答案是：42°．
16．若a+b=4，且ab=2，则a2+b2= 14 ．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式即可求出a2+b2的值．
【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴16=a2+b2+4，
∴a2+b2=14
故答案为：14
三、解答题（共66分）
17．如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．
求证：∠B=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】首先得出AC=DF，利用平行线的性质∠BAC=∠EDF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【解答】证明：∵CF=AD，
∴CF+AF=AD+AF，
∴AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
12 ∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
18．先化简，再求值：
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣，b=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b
=[a3b2﹣a2b﹣a2b+a3b2]÷2a2b
=[2a3b2﹣2a2b]÷2a2b
=ab﹣1，
当a=﹣，b=时，原式=﹣1．
19．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
【解答】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
13
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．
20．一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设江水的流速为Vkm/h，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行64千米所用时间相等，列方程求解．
【解答】解：设江水的流速为Vkm/h，
根据题意可得：解得：V=6.4，
经检验：V=6.4是原分式方程的解，
答：江水的流速为6.4km/h．
21．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （填A或B）
A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
=，
14
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可．
（2）根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
故选（B）
（2）原式=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+=×××…=×=
22．观察下列各式：；…．
（1）猜想它的规律：把表示出来：+ =
+…+ ．
+．
=﹣； =； =； =﹣
×
）（1﹣）
（2）用你猜想得到的规律，计算： ++【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【分析】（1）根据所给式子发现（2）将++++…++=化为；
+…+ 15 +，再利用所给规律化简即可．
=﹣； =； =； =﹣【解答】解：（1）∵；
…
∴=；
； 故答案为：
（2）∵=∴++，
=1=1=
．
；
+=﹣； =； =； =﹣；…+…++=+…+++…
23．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．
（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
【考点】作图﹣轴对称变换；等边三角形的性质．
16 【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接A′B，由题意可得到四边形AA′BC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BFC的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BD和A′C相交所成的锐角的度数，本题得以解决．
【解答】解：（1）补全的图1如下所示：
连接BA′，
∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BA′A是等边三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，
∴四边形AA′BC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，
连接AF交BC于点G，
由已知可得，BA′=BA，BA=BC，FA′=FA，
则∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，
∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，
∴∠BCA′=∠FAB，
17 ∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，
∴∠CFA=∠ABC=60°，
∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，
∴∠A′FD=60°，
即直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．
人教版八年级上学期期末考试数学试卷（二）
一、选择题
1、下列标志是轴对称图形的是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002
5米，把数字0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）
A、2.5×106
B、0.25×10﹣6
C、25×10﹣6
18 D、2.5×10﹣6
3、使分式
A、x≠3
B、x＞3
C、x＜3
D、x=3
4、下列计算中，正确的是（ ）
A、（a2）3=a8
B、a8÷a4=a2
C、a3+a2=a5
D、a•a=a
5、如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（ ）
235有意义的x的取值范围是（ ）
A、2
B、3
C、4
D、5
6、在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A、﹣1
B、1
C、5
D、﹣5
7、工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
19
A、SSS
B、SAS
C、ASA
D、AAS
8、下列各式中，计算正确的是（ ）
A、x（2x﹣1）=2x2﹣1
B、=
C、（a+2）2=a2+4
D、（x+2）（x﹣3）=x2+x﹣6
9、若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（ ）
A、4
B、3
C、1
D、0
10、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（ ）
A、20°
B、30°
C、40°
D、50°
20 11、若分式
A、3个
B、4个
C、6个
D、8个
的值为正整数，则整数a的值有（ ）
12、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A、6
B、8
C、10
D、12
二、填空题
13、当x=________时，分式 值为0．
14、分解因式：x2y﹣4y=________．
15、计算： =________．
16、已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于________．
17、如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，则∠ACB的度数为________．
18、等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为________
21 19、如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为________．
20、图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：
特殊网图
结点数（V） 4
网眼数（F） 1
边数（E） 4
6
2
7
9
4
12
12
6
☆
表中“☆”处应填的数字为________；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为________；
如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为________．
三、解答题
21、计算： ﹣（π﹣3）0﹣（ ）﹣1+|﹣3|．
22、已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．
求证：AB=DE．
22 23、计算：
24、解方程：
四、解答题
．
．
25、已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．
26、北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
27、已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．
(2)在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
五、解答题
28、如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为12×14﹣6×20=48，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
23
(1)如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为________．
(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
(3)如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为________（直接写出结果）．
29、数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°， 24 β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
(1)请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
(2)结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；
(3)解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为________（直接写出结果）．
答案解析部分
一、选择题
1、
【答案】B
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
2、
【答案】A
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
25 【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6 ，
故选：A．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、
【答案】A
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由分式
x﹣3≠0，
解得x≠3，
故选：A．
【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
4、
【答案】D
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法
【解析】【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D正确；
故选：D．
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
5、
【答案】A
【考点】全等三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
26
有意义，得 ∴DE=BD﹣BE=2，
故选A．
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．
6、
【答案】B
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】【解答】解：由点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，得
n=﹣2，m=3．
则m+n=﹣2+3=1．
故选：B．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．
7、
【答案】A
【考点】全等三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ONC和△OMC中
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC=∠AOC，
故选：A．
，
【分析】由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
8、
【答案】B
【考点】单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式，约分
【解析】【解答】解：A、原式=2x2﹣x，错误；
B、原式= = ，正确；
C、原式=a2+4a+4，错误；
27 D、原式=x2﹣x﹣6，错误，
故选B
【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式约分得到最简结果，即可作出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断．
9、
【答案】C
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：∵a+b=1，
∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．
故选C．
【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．
10、
【答案】B
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC= （180°﹣∠A）= （180°﹣40°）=70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选B．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
11、
【答案】B
28 【考点】分式的值
【解析】【解答】解：分式
则a=0或1或2或5．
故选B．
【分析】分式
得a的值．
12、
【答案】C
【考点】轴对称-最短路线问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC•AD= ×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+ BC=8+ ×4=8+2=10．
故选C．
的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求的值为正整数，则a+1=1或2或3或6．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
二、填空题
13、
【答案】0
29 【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意得：x=0且x﹣1≠0，
解得x=0．
故答案是：0．
【分析】分式的值为零时：x=0且x﹣1≠0，由此求得x的值．
14、
【答案】y（x+2）（x﹣2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x2y﹣4y，
=y（x2﹣4），
=y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
15、
【答案】
【考点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
= ．
【分析】直接利用分式的乘方运算法则化简求出答案．
16、
【答案】17
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．
故答案为：17．
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
17、
30 【答案】110°
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠D=45°，
∴∠B=180°﹣∠BED﹣∠D=45°，
又∵∠A=25°，
∵∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=110°．
故答案为：110°
【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数．
18、
【答案】ab=0
【考点】完全平方公式
【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2 ，
∴等式（a+b）2=a2+b2成立的条件为ab=0，
故答案为：ab=0．
【分析】先根据完全平方公式得出（a+b）2=a2+2ab+b2 ， 即可得出答案．
19、
【答案】5
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5．
故答案为：5．
31
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
20、
【答案】17①V+F﹣E=1②V+F﹣E=1
【考点】点、线、面、体
【解析】【解答】解：由表格数据可知，1个网眼时：4+1﹣4=1；
2个网眼时：6+2﹣7=1；
3个网眼时：9+4﹣12=1；
4个网眼时：12+6﹣☆=1，故“☆”处应填的数字为17．
据此可知，V+F﹣E=1；
若网眼形状为六边形时，
一个网眼时：V=6，F=1，E=6，此时V+F﹣E=6+1﹣6=1；
二个网眼时：V=10，F=2，E=11，此时V+F﹣E=10+2﹣11=1；
三个网眼时：V=13，F=3，E=15，此时V+F﹣E=13+3﹣15=1；
故若网眼形状为六边形时，V，F，E之间满足的等量关系为：V+F﹣E=1．
故答案为：17，V+F﹣E=1，V+F﹣E=1．
【分析】根据表中数据可知，边数E比结点数V与网眼数F的和小1，从而得到6个网眼时的边数；
依据以上规律可得V+F﹣E=1；
类比网眼为四边形时的方法，可先罗列网眼数是1、2、3时的V、F、E，从而得出三者间关系．
三、解答题
21、
【答案】解：原式=2﹣1﹣2+3=2
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂
【解析】【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法 32 则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
22、
【答案】证明：∵AC∥BD，
∴∠ACB=∠DBC，
∵AC=BE，BC=BD，
∴△ABC≌△EDB，
∴AB=DE
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB=∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB=DE．
23、
【答案】解：原式= •
= •
=
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
24、
【答案】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）=3（x﹣1），
去括号得：x2+x﹣x2+1=3x﹣3，
解得：x=2，
检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）=3≠0，
则原分式方程的解为x=2
【考点】解分式方程
33 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
四、解答题
25、
【答案】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x=（2x2﹣2xy）÷2x=x﹣y，
当x﹣y=3时，原式=x﹣y=3
【考点】整式的混合运算
【解析】【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x﹣y=3代入计算即可求出值．
26、
【答案】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．
根据题意得：
解得：x=180，
﹣ = ，
经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．
则1.5x=1.5×180=270．
答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时
【考点】分式方程的应用
【解析】【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．
27、
【答案】
（1）解：如图所示：
34
（2）解：BD=DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1= ∠ABC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4．
∴∠1= ∠4．
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3= ∠4．
∴∠1=∠3．
∴BD=DE
【考点】作图—复杂作图
【解析】【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1= ∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．
五、解答题
28、
【答案】
（1）24
35 （2）解：定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）
（3）976
【考点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案为：24；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2015，解得：a=976．故答案为：976．
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2015求出a的值即可．
29、
【答案】
（1）解：如图1
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
36 ∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD\'=AD\'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B= ∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°
（2）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，
如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC= =90°﹣ ，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣ ﹣β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ ﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣ =180°﹣（α+β）， 37
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图3，
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=
，
∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′= ，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
，
，
∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°
（3）0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°
【考点】全等三角形的性质，全等三角形的判定
【解析】【解答】解：（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：
第一种情况：如图4，
38
当120°＜α＜180°，β=60°时，连接CD，
∵∠DBC=β=60°，BD=BC，
∴△DBC是等边三角形，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=30°，
第二种情况：如图5，
当120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，连接CD′，∠ABC= =90°﹣ ，
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°﹣ +β，
∵△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣ +β，
∵∠ADB=∠AD′B=30°，
∴∠BD′C=60°，
39
∵BD′=CD′，
∴△BD′C是等边三角形，
∴∠CBD′=（90°﹣ +β）+（90°﹣ ）=60°，
∴α﹣β=120°，
第三种情况：如图6，
当0°＜α＜120°，β=60°时，连接CD，
与图4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，
故答案为：0°＜α＜120°，β=60°或120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，α﹣β=120°或120°＜α＜180°，β=60°．
【分析】（1）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B= ∠BD′C=30°，则∠ADB=∠AD′B=30°；（2）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB=∠AD′B=150°；（3）分三种情况讨论：第一种情况：如图4，当120°＜α＜180°，β=60°时，构建等边三角形DBC得出结论；第二种情况：如图5，当120°＜α＜180°，0＜β＜60°时，证明△BD′C是等边三角形得出结论；第三种情况：如图6，当0°＜α＜120°，β=60°时，与第一种情况一样，得出结论．
40
人教版八年级上学期期末考试数学试卷（三）
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B．
2．若分式A．x≠3
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
4．下列等式成立的是（ ）
A．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=
C． D．
的值为0，则x的值是（ ）
B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3
B． C． D．
41 C．a=
，b=，c= D．a=，b=，c=
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
B． C． D．
C．
D．
9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．30°
二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）
11．当x 时，
42
B．45° C．60° D．30°或45°
有意义． 12．若式子
是分式，则x的取值范围是 ．
13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是 ．
14．如果2是m的立方根，那么m的值是 ．
15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为 ．
17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是 ．
18．已知m﹣n=3mn，则
19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 ，的值是 ．
第n个数是 （n为正整数）．
20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为 43 应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 ．
三、解答题（共12道小题，共60分）
21．计算：
22．计算：
23．解方程：
24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
．
+．
×（）
25．先化简，再求值：
26．已知x=3+
27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．
，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
，其中x+2=．
44
28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．
30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
31．已知：x2﹣3x+1=0，求
45
的值． 32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．
（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：的平方根为故选C．
【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a≥0）的平方根为±
2．若分式A．x≠3
的值为0，则x的值是（ ）
B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3
．
=，
【考点】分式的值为零的条件．
46 【分析】根据分子为0；分母不为0，可得答案．
【解答】解：由分式x﹣3=0且x+2≠0．
解得x=3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形的外角性质．
【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算．
【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角，
∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，
故此角应大于90°，
故△ABC是钝角三角形．
故选A
【点评】此题考查的是三角形内角与外角的关系，即三角形的外角与相邻的内角互补．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
的值为0，得
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、B、C、D、
=3≠﹣3，故本选项错误；
=15≠9，故本选项错误； =无意义，故本选项错误；
=7，故本选项正确．
47 故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件，故A错误；
B、一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故B错误；
C、购买一张福利彩票中奖了是随机事件，故C正确；
D、掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=C．a=，b=，c= D．a=
，b=，c=
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
48 【解答】解：A、32+52≠72，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+22=（2C、（2）2）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
）2≠（3）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不+（3符合题意．
D、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【考点】可能性的大小．
【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，
∴球的总数=3+5+7=15（个），
∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性=故选B．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
=．
C． D．
【考点】分式的基本性质．
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