2015年全国高考理科数学试题及答案

2023年12月2日发(作者：高职数学试卷讲解及答案)

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5 =21，则a3a5a7 ( )

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84

1log2(2x),x1,（5）设函数f(x)x1,f(2)f(log212)( )

2,x1,（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）1111 （B） （C） （D）

8765（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8

（C）46 （D）10

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0 B.2 C.4 D.14

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）2

（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是

A．(,1)C．(,1)二、填空题

（13）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________．

(0,1)

\' B．(1,0)D．(0,1)(1,)

(1,)

(1,0)

xy10，（14）若x，y满足约束条件x2y0,，则zxy的最大值为____________．

x2y20,（15）(ax)(1x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a__________．

（16）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn________．

三．解答题

（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。

(Ⅰ)求4sinB;

sinC2求BD和AC的长.

2(Ⅱ) 若AD=1，DC= (18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

满意度评分

满意度等级

低于70分

不满意

70分到89分

满意

不低于90分

非常满意

记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

m（2）若l过点(,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，3 求此时l的斜率；若不能，说明理由。

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)emxx2mx。

（1）证明：f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

（2）若对于任意x1,x2[1,1]，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交E

于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且AEMN23，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

xtcos在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，ytsinA

G

F

O

B

M D N

C

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：

（1）若ab > cd；则abcd；

（2）abcd是|ab||cd|的充要条件。

参考答案

一．选择题

（1）A

（7）C

二．填空题

（13）三．解答题

（17）解：

（Ⅰ）SABD（2）B

（8）B

（3）D

（9）C

（4）B

（10）B

（5）C

（11）D

（6）D

（12）A

1

2 （14）3

2 （15）3 （16）1

nSADC1ABADsinBAD

21ACADsinCAD

2ABD因为SSADC，BADCAD，所以AB2AC

由正弦定理可得

sinBAC1

sinCAB2（Ⅱ）因为SABD:SADCBD:DC，所以BD2

在ABD和ADC中，由余弦定理知

AB2AD2BD22ADBDcosADB，

AC2AD2DC22ADDCcosADC

故AB2AC3ADBD2DC6

由（Ⅰ）知AB2AC，所以AC1

（18）解：

（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

22222 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；

CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；

CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；

CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，

则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2，

P(C)P(CB1CA1CB2CA2)

P(CB1CA1)P(CB2CA2)

P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2)

由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为164108,,,，故

28

P(CA1),P(CA2),P(CB1),P(CB2)28P(C)0.48

20202020（19）解：

（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：

（Ⅱ）作EMAB，垂足为M，则AMA1E4,EMAA18

因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10

于是MHEH2EM26，所以AH10

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系Dxyz，则

A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE(10,0,0),HE(0,6,8)

设n(x,y,z)是平面EHGF的法向量，则

nFE0,10x0,即

nHE0,6y8z0,所以可取n(0,4,3)

又AF(10,4,8)，故|cosn,AF||nAF|45

15|n||AF|415

15所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为（20）解：

（Ⅰ）设直线l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)

222将ykxb代入9xym得(k9)x2kbxbm0，故

2222xMx1x2kb9b

2,yMkxMb22k9k9yM9，即kOMk9

xMk于是直线OM的斜率kOM所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值

（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形

m,m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3

39由（Ⅰ）得OM的方程为yx

k因为直线l过点(设点P的横坐标为xP

9yx,kmk2m22x由得xP，即

kP229k813k99x2y2m2,将点(k(k3)mmm(3k)，因此xM

,m)的坐标代入l的方程得b23(k9)33四变现OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM

于是km3k292k(k3)m，解得k147,k247

23(k9)因为ki0,ki3,i1,2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形

（21）解：

（Ⅰ）f(x)m(emx1)2x

mx若m0，则当x(,0)时，e10,f(x)0；当x(0,)时，emx10，f(x)0

若m0，则当x(,0)时，emx10,f(x)0；当x(0,)时，emx10，f(x)0

所以，f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m,f(x)在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x0处取得最小值，所以对于任意x1,x2[1,1],|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是

f(1)f(0)e1,

f(1)f(0)e1,即

meme1, ①

meme1,t设函数g(t)ete1，则g(t)e1

t 当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0，故g(t)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增。

又g(1)0,g(1)e2e0，故当t[1,1]时，g(t)0

当m[1,1]时，g(m)0,g(m)0，即①式成立；

当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即eme1；

当m1时，g(m)0，即e综上，m的取值范围是[-1,1]

（22）解：

（Ⅰ）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线

又因为mm1me1

O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF

从而EF//BC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦，所以O在AD上

连结OE,OM，则OEAE

由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30，因此ABC和AEF都是等边三角形

因为AE23，所以AO4,OE2

因为OMOE2,DM1031

MN3，所以OD1，于是AD5,AB32()(23)2

232223所以四边形EBCF的面积为（23）解：

2222（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为xy2y0，曲线C3的直角坐标方程为xy23x0.

xx0,xy2y0,联立 解得 或22y0,yxy23x0223,2

3.2所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(33,)

22（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为(R,0)，其中0

因此A的极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)

所以|AB||2sin23cos|4|sin(当（24）解：

22（Ⅰ）因为(ab)ab2ab,(cd)cd2cd，

3)|

5时，|AB|取得最大值，最大值为4

622由题设abcd,abcd得(ab)(cd)

因此abcd

22（Ⅱ）（ⅰ）若|ab||cd|，则(ab)(cd)，即

(ab)24ab(cd)24cd

因为abcd，所以abcd

由（Ⅰ）得ab（ⅱ）若abcd

cd，则(ab)2(cd)2，即

ab2abcd2cd

因为abcd，所以abcd，于是

(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2

因此|ab||cd|

综上，abcd是|ab||cd|的充要条件