历年考研数一真题及答案

2023年12月2日发(作者：高考数学试卷甲卷难嘛)

历年考研数一真题及答案

【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】

ss=txt>数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)?=_____________.

(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.

(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

?12

1?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a

= ???????x3????0??

_____________.

(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为

1

9

,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设

f(x)

、

g(x)

是恒大于零的可导函数,且

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有

(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?

f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(d)f(x)g(x)?

f(a)g(a)

(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有

(a)??xds?4s

??xds

s1

(b)??yds?4??xds s

s1

(c)??zds?4??xds

s

s1

(d)??xyzds?4??xyzds

s

s1

(3)设级数??

un收敛,则必收敛的级数为

n?1

(a)??(?1)nun (b)??

u2nn?1

n

n?1

(c)??

(u2n?1?u2n)

n?1

(d)??

(un?un?1)

n?1

(a)e(x)?e(y)

(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

三、(本题满分6分) 1求lim(2?ex

x??

4

?sinx).

1?ex

x

四、(本题满分5分) 设z?

f(xy,xy)?g(x

y

),其中f

具有二阶连续偏导数,g具

有二阶连续导数,求?2z

?x?y

.

五、(本题满分6分) 计算曲线积分i?? xdy?ydxl4x2?y2

,其中l是以点(1,0)为中

心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都

有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数

f(x)

在

s

(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0

?

f(x)?1,求f(x).

七、(本题满分6分)

求幂级数??

1xn

n?1

3n?(?2)n

n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分) 设

函

数

f(x)

在

[0,?]

上连续,且

?

?

?

f(x)dx?0,?0

f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两

个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

??1000?000? 设矩阵 a

的伴随矩阵a*??

1??

10

10??,且

?0?3

08??

aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16

熟练工支援其他生产部门,其缺额

由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25

成为熟练工.设第n年1月份统计的

熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量

??xn?y??

. ?n(1)求??xn?1?与

??xn?的关系式并写成矩阵形

?y?n?1?

?y?n?

式:?

?xn?1??xn?y??a??

?. n?1??yn?

?1?

?是a的两个线性无关的特征

向量,并求出相应的特征值.

?1?

(3)当??x1??2?

时,求??y????

?xn?1??. 1???1?

?yn?1??2??

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为

x ,求x的数学期望e(x)和方差d(x).

十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命

x

的概率密度为

?2e?2(x??)x??

f(x;?)??

x???0x1,x2,

,其中

??0

为未知参数.又设

,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估

计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.

把答案填在题中横线上)

(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)

r?x2?y2?z2

,

则

div(gradr)

(1,?2,2)

=

_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:?01?y

?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2

?a?4e?o,则(a?2e)

?1

= _____________.

(5)

d(x)?2

,则根据车贝晓夫不等式有估计

p{x?e(x)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.

每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右 图所示,则y?

f?(x)的图形为

(a)

(b)

(c)

【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】

ss=txt>数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

?

=_____________.

(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

1??x1??1??12

??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=

_____________. ????????1a?2????x3????0??

(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)

1

,a发生b不发生的概率与b发生a不发9

(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c)

??xds?4??xds

s

s1

(b)(d)

??yds?4??xds

s s1

s

s1

??zds?4??xds

s

s1

??xyzds?4??xyzds

(3)设级数

?u

n?1

?

n

收敛,则必收敛的级数为

u

(a)?(?1)n

nn?1

n

?

(b)

?u

n?1

?

2

n

(c)

?(u

n?1

?

2n?1

?u2n)

(d)

?(u

n?1

?

n

?un?1)

(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y与 ??x?y不相关的充分必要条件为

(a)e(x)?e(y) (c)e(x2)?e(y2)

三、(本题满分6分)

(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

求lim(

x??

2?e1?e

1x

4x

?

sinx

). x

四、(本题满分5分)

xx?2z

设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求.

yy?x?y

五、(本题满分6分)

计算曲线积分i?

xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针

方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间

x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有

???x

sx?0?

(f

)x?dyd(z)x?2xyfex

?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且

limf(x)?1,求f(x).

七、(本题满分6分)

八、(本题满分7分)

1xn

求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n

3?(?2)nn?1

? 设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数f(x)在[0,?]上连续,且

?

?

f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两

?

个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

?10?01*?

设矩阵a的伴随矩阵a??10

?

?0?3

0010

0?0??,?1?1

且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?

矩阵b.

十一、(本题满分8分)

1

熟练工支援其他生产部6

2

门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第

5

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将

n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量?

?xn?1??xn??xn?1??xn?

与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.

?yn?1??yn??yn?1??yn?

?xn?

?. ?yn?

(1)求?

?4???1? ?1??1?

?1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.

y1y?1????n?1???

?2?

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差

d(x).

十三、(本题满分6分)

?2e?2(x??)x??

设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设

x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)r?

x2?y2?z2,则div(gradr)

(1,?2,2)

= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

?

0?1

dy?

1?y2

f(x,y)dx＝_____________.

2

(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.

(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?

_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为

(a) (b)

(c) (d)

(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则

(a)dz|(0,0)?3dx?dy

(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}

(c)曲线z?f(x,y)

在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}

y?0

z?f(x,y)

(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

y?0

(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?

f(1?cosh)

(a)lim存在2h?0h

(c)lim

h?0

f(1?eh)

(b) lim存在

h?0h

(d)lim

h?0

f(h?sinh)

存在

h2

11111111

1??4??1?0,b??

?01???1??0

000

0000

f(2h)?f(h)

存在

h

?1? (4)设a??1

?1??10??

0?,则a与b 0??0?

(a)合同且相似 (c)不合同但相似

(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为

(a) -1 (c)

(b)0 (d)1

1 2

三、(本题满分6分)

arctanex

. 求?e2x

四、(本题满分6分)

【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】

1987-2014 （经典珍藏版）

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

1?x

(3)与两直线y??1?t

z?2?t

及x?1y?2z?1

1?

1?

1

都平行且过原点的平面方程为_____________.

(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

??

l

(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为 此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分) 求正的常数

a

与

b,

使等式

lim1x2

x?0bx?sinx?0

?1成立.

三、(本题满分7分)

1

(1)设

f

、

g

为连续可微函数

,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求

?u?x,?v?x

. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中

?301?

a???110?,求矩阵 ?4?b.

?01??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设lim

f(x)?f(a)

x?a

(x?a)2

??1,则在x?a处

(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值

(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设

f(x)为已知连续函数s

,i?t

? t0

f(tx)dx,其中

t?0,s?0,则i的值

(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?

k?0,则级数?(?1)nk?nn

2

n?1(a)发散(b)绝对收敛

2

(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而

a*

六、（本题满分10分） 求幂级数?

a

1n?1的收敛域，并求其和函数. xn

n?2n?1

?

是a的伴随矩阵，则|a*|等于

(a)a (b)1 (c)a

n?1

七、（本题满分10分） 求曲面积分

i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?

(d)a

n

??z?1?y?3

f(x)?其中?

是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?

2x?0??

八、（本题满分10分） 设函数

f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有

且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分）

3

问a,b为何值时,现线性方程组 ?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4??1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.

4

x

的概率密度函数为

f(x)?

?x

2

?2x?1

,

则

x

的数学期望为____________,

x

的方差为

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx(x)?1

0?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.

?y

其它

y?0

5