2023年12月3日发(作者：高考数学试卷中要用的公式)

学习是一件很有意思的事

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)

理科数学

一、选择题：认真审题，仔细想一想，然后选出正确答案本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AA．2

2．复数1的虚部是

13i3

10B中元素的个数为

D．6 B．3 C．4

A．B．1

10C．1

104D．3

103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情形中，对应i1样本的标准差最大的一组是

A．p1p40.1,p2p30.4

C．p1p40.2,p2p30.3

B．p1p40.4,p2p30.1

D．p1p40.3,p2p30.2

4．Logistic

模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln193)

A．60 B．63 C．66 D．69

5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为

1A．(,0)

41B．(,0)

2C．(1,0) D．(2,0)

6．已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab=

A．31

35B．19

35C．17

35D．19

357．在△ABC中，cosC=A．1

92，AC=4，BC=3，则cosB=

311B． C．

23D．2

38．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

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C．6+23 D．4+23 A．6+42

9．已知2tanθ–tan(θ+A．–2

B．4+42

π)=7，则tanθ=

4B．–1 C．1 D．2

10．若直线l与曲线y=x和x2+y2=A．y=2x+1

1都相切，则l的方程为

511B．y=2x+ C．y=x+1

22D．y=11x+

22x2y211．设双曲线C：221（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且abF1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=

A．1 B．2 C．4 D．8

12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则

A．a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy0，13．若x，y满足约束条件2xy0，则z3x2y的最大值为__________．

x1，214．(x2)6的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

x15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．

16．关于函数f（x）=sinx1有如下四个命题：

sinx①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

2

对称．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设数列{an}满足a1=3，an13an4n．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

18．（12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

锻炼人次

空气质量等级

1（优）

2（良）

3（轻度污染）

4（中度污染）

2

5

6

7

16

10

7

2

25

12

8

0

[0，200] （200，400] （400，600]

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好

空气质量不好

人次≤400

P（K2≥k）

k

3

人次>400

0.050 0.010 0.001

nadbc附：K2=，

a bc  d)acbd

23.841 6.635 10.828 ． 学习是一件很有意思的事

19．（12分）

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DEED1，BF2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值．

20．（12分）

15x2y2已知椭圆C:，A，B分别为C的左、右顶点．

21(0m5)的离心率为425m（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求△APQ的面积．

21．（12分）

设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点(（1）求b．

（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

2x2tt在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、2y23tt11，f())处的切线与y轴垂直．

22B两点．

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

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23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设a，b，c∈R，abc0，abc1．

（1）证明：abbcca0；

（2）用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}≥34．

5 学习是一件很有意思的事

2020年普通高等学校招生全国统一考试III

理科数学试题参考答案

选择题答案

一、选择题

1．C

5．B

9．D

非选择题答案

二、填空题

13．7

三、解答题

17．解：（1）a25,a37, 猜想an2n1, 由已知可得

an1(2n3)3(an(2n1)]，

an(2n1)3(an1(2n1)]，

2．D

6．D

10．D

3．B

7．A

11．A

4．C

8．C

12．A

14．240 15．2

316．②③

……

a253(a13).

因为a13，所以an2n1.

（2）由（1）得2nan(2n1)2n，所以

Sn32522723从而

(2n1)2n. ①

2Sn322523724①② 得

(2n1)2n1.②

Sn32222223所以Sn(2n1)2n12.

22n(2n1)2n1，

18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

6 学习是一件很有意思的事

空气质量等级

概率的估计值

1

0.43

2

0.27

3

0.21

4

0.09

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

1(100203003550045)350．

100（3）根据所给数据，可得22列联表：

空气质量好

空气质量不好

根据列联表得

100(3382237)2K5.820．

554570302人次≤400

33

22

人次>400

37

8

由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．解：设ABa，ADb，AA1c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz．

2111（1）连结C1F，则C1(0,0,0)，A(a,b,c)，E(a,0,c)，F(0,b,c)，EA(0,b,c)，C1F(0,b,c)，3333得EAC1F．

C1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内．

因此EA∥（2）由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，AE(0,1,1)，AF(2,0,2)，A1E(0,1,2)，A1F(2,0,1)．

设n1(x,y,z)为平面AEF的法向量，则

7 学习是一件很有意思的事

n1AE0,yz0,即可取n1(1,1,1)．

2x2z0,n1AF0,设n2为平面A1EF的法向量，则

1n2A1E0,同理可取n2(,2,1)．

2n2A1F0,因为cosn1,n2n1n2742，所以二面角AEFA1的正弦值为．

|n1||n2|7722525m15220．解：（1）由题设可得，得m，

1654x2y21.

所以C的方程为252516（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0，

由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y122(x5)，所以|BP|yP1yQ

，|BQ|1yQ，yQ因为|BP||BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.

由直线BP的方程得yQ2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).

110PQyx，点A(5,0)到直线PQ，直线的方程为，故△APQ|PQ|1011的面1111的距离为1132积为110510.

222PQy|PQ22|130，直线22的方程为11305130.

2262710130x，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的9326面积为综上，△APQ的面积为5.

221．解：（1）f(x)3x2b．

8 学习是一件很有意思的事

13依题意得f()0，即b0.

423故b．

43（2）由（1）知f(x)x33xc，f(x)3x2.

4411令f(x)0，解得x或x.

22f(x)与f(x)的情况为：

x

f(x)

f(x)

1(，)

21

211(，)

221

21(，+)

2+

0

1c

4–

0

1c

4+

111因为f(1)f()c，所以当c时，f(x)只有大于1的零点.

244111因为f(1)f()c，所以当c时，f（x）只有小于–1的零点．

24411由题设可知c，

44当c=11时，f(x)只有两个零点和1.

2411当c=时，f(x)只有两个零点–1和.

42111111)，x2(，)，x3(，1)．

当c时，f(x)有三个等点x1，x2，x3，且x1(1，442222综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

解：（1）因为t≠1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为（0，12）；

由23tt20得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)．

故|AB|410．

（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为xy1，将xcos，ysin代入，

412得直线AB的极坐标方程3cossin120．

23．[选修4—5：不等式选讲]

解：（1）由题设可知，a，b均不为零，所以

1abbcca[(abc)2(a2b2c2)]

21(a2b2c2)

2

9 学习是一件很有意思的事

0.

(bc)2a3（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为abc1,a(bc)，所以a>0，b<0，c<0.由bc，可得abc，44故a34，所以max{a,b,c}34.

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