高考数学中的三角函数的和差倍角公式

2024年4月5日发(作者：嘉兴市期末数学试卷)

高考数学中的三角函数的和差倍角公式

高考数学是每个即将步入大学的学生必须经历的一场考试，而

三角函数则是高考数学的重要内容之一。其中，和差倍角公式更

是不容忽视的一部分，因为它在解决某些三角函数问题时具有不

可替代的作用。今天我想就高考数学中的三角函数的和差倍角公

式为大家分享一些知识和思考。

一、初识三角函数的和差倍角公式

三角函数共有六种：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正

切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）及余割函数

（csc）。而在三角函数的世界里，和差倍角公式无疑是其中最重

要的一部分。

首先，我们来谈一下三角函数的和差公式。在初中学习数学的

时候，我们就学过两数和差公式，其式子为：(a + b) × (a − b) = a²

− b²。而相似地，三角函数和差公式也有两个，其式子分别为：

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

这两个公式的作用在于，它们可以将两个角度的三角函数都转

换成一个角度的三角函数，从而方便计算。比如，如果你要计算

sin75°，如果不使用和差公式，就需要通过计算正弦函数的值表来

找到答案。但是，如果你使用sin(45°+30°)的公式，那么可以将问

题转换成计算sin45°和sin30°，这样的答案就可以很方便地算出来

了。

而三角函数的倍角公式则包括以下四个公式：

sin2x=2sinxcosx

cos2x=cos²x-sin²x

cos2x=2cos²x-1

cos2x=1-2sin²x

这些公式的作用在于，它们可以将一个角度的三角函数解决成

另一个角度的三角函数，也可以将一个三角函数的平方解决成另

一个三角函数的平方。比如，如果你需要计算sin60°的平方，如

果不使用倍角公式，就需要手动计算sin60°的值再进行平方运算。

但是，如果你使用sin(2×30°)的公式，就可以将计算问题转换成计

算sin30°，这样可以更快捷地获得正确答案。

二、三角函数的和差倍角公式应用实例

下面以一个具体的高考数学应用为例，介绍三角函数的和差倍

角公式的具体运用。

在高中数学学习中，我们常常遇到要求证明某个三角函数恒等

式的题目。以下以cos120°=−1/2的证明为例，来说明三角函数的

和差倍角公式的应用。

首先，根据三角函数的和差公式

cos(120°)=cos60°cos(60°−120°)−sin60°sin(60°−120°)。这时，涉及

到一个角度的三角函数问题就成功转化成了涉及两个角度的三角

函数问题。

同样地，根据定值sin60°=√3/2和cos60°=1/2，可得

cos(120°)=−1/2。这样，我们就成功地通过三角函数的和差公式和

已知的三角函数值证明了cos120°=−1/2这个恒等式。

三、总结

通过以上的介绍，相信大家对三角函数的和差倍角公式已有了

更清晰的认识。同时，也可以看出，三角函数和差倍角公式在高

中数学和高考数学的学习中具有重要作用。在练习题中，我们可

以通过运用所学理论，将问题转化成一些更容易解决的问题来解

答。掌握好三角函数的和差倍角公式，不仅能让我们更快捷地解

决问题，还能提高我们的数学思维和创造力，进而在高考数学中

取得优异成绩。