初中数学试卷平面图形的认识(二)压轴解答题题分类汇编(及答案)

2023年12月2日发(作者：中考数学试卷怎么打印)

初中数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题题分类汇编(及答案)

一、平面图形的认识（二）压轴解答题

1．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1 ， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2 ， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3 ， …，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En.

（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；

（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；

（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC = ________ °.

2．综合与实践：

七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线.

（1）知识初探

如图1，长方形纸条ABCD中， ， ，

处， 交CD于点G.

，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在 处，点D落在

①若

②若

（2）类比再探

如图2，在图1的基础上将

3．如图

，求

，则

的度数；

▲ （用含 的式子表示）

对折，点C落在直线 上的 处，点B落在 处，得到折痕 ，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由.

（1）问题情境：

如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。求∠PAB+∠PCD的度数。

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________。

（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。

（4）问题拓展：

如图4，MA1∥NAn ， A1-B1-A2-…-Bn-1-An ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________ 。

4．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC ， 且l1∥l2 ， 其中∠ABC=30°。

（1）如图(1)，当直线l1

和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°

（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。

（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。

5．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点。

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠2=________°。

（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；

（3）若点P在直线CD的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由。

6．小英和小倩站在正方形的对角A，C两点处，小英以2米/秒的速度走向点D处，途中位置记为P，小倩以3米/秒的速度走向点B处，途中位置记为Q，假设两人同时出发，已知正方形的边长为8米，E在AB上，AE=6米，记三角形AEP的面积为S1平方米，三角形BEQ的面积为S2平方米，如图所示．

（1）她们出发后几秒时S1=S2；

（2）当S1+S2=15时，小倩距离点B处还有多远？

7．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1， ， 为 、 之间一点，连接 ， 得到 .

求证:

证明:过点 作

∴

∵

∴

∴

∵

∴

，

.

，

小明笔记上写出的证明过程如下:

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题. （1）如图，若 ， ，则 ________.

（2）如图，

________.

， 平分 ， 平分 ， ，则

8．如图，三角形ABC ， 直线 ，CD、BD分别平分 和 ．

（1）图

（2）图

（3）图

9．在

中，

中，

中，

中，

，

，直接写出

，

，求

________．

为直线AC上一点，E为直线AB上一点，

的度数，说明理由．

________．

（1）如图1，当D在AC上，E在AB上时，求证 ；

（2）如图2，当D在CA的延长线上，E在BA的延长线上时，点G在EF上，连接AG，且

，求证：

探究 与 的数量关系．

时，将 沿着AG折至 （3）如图3，在（2）的条件下，连接BG,当BG平分

10．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上连接AB,AB的长为a，其中a是不等式 的最大整数解

（1）求AB的长

（2）动点P以每秒2个单位长度的速度在AB上从A点向B点运动，设B[的长度为d，运动时间为t，请用含t的式子表示d；

（3）如图2，在（2）的条件的下，BD平分

BD上，连接 ，且

交y轴于点D，点E在AB上，点G在 ，点E与点G的纵坐标的差为2，连接OP并还延长交过B点且与x轴垂直的直线于M，当t为何值时，

，并求 的值．

11．如图所示，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点.

（1）若△PEF的周长为20，求MN的长.

（2）若∠O=50°，求∠EPF的度数.

（3）请直接写出∠EPF与∠O的数量关系是________

12．生活常识：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2.

（1）现象解释：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.已知：∠1=55°，求∠4的度数.

（2）尝试探究：如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON=46°，求∠CEB的度数.

（3）深入思考：如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，α与β之间满足的等量关系是________.（直接写出结果）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、平面图形的认识（二）压轴解答题 1． （1）75

（2）解：如图2，

∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1 ，

∴由（1）可得，

∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；

∵∠BEC=140°，

∴∠BE1C=70°；

（3）

【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；

故答案为：75；

（ 3 ）如图2，

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2 ，

∴由（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；

∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3 ，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；

… 以此类推，∠En= ∠BEC，

∴当∠BEC=α度时，∠BEnC等于

故答案为： .

°.

【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1 ， 运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+

∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2 ， 得出∠BE2C=

∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3 ， 得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠En= ∠BEC，最后求得∠BEnC的度数.

2． （1）解：①由题意得∠A´E F=∠AEF=40°

∴ ∠AEG=80°

∵ AB∥CD

∴ ∠CGE=∠AEG=80°

∴ ∠A´GC=100°；

②∠A´GC=180°－

（2）解：EF∥GH

由题意得∠AEF=∠A´E F =

∠CGH=∠C´GH =

∵AB∥CD

∴ ∠CGE=∠AEG

∴ ∠HGE=∠FEG

∴EF∥GH

【解析】【解答】（1）②∵ 将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在 处，点D落在

处， 交CD于点G.

∴∠A´E F=∠AEF=α

∴∠AEG=∠A´E F+∠AEF=2α

∵ AB∥CD

∴ ∠CGE=∠AEG=2α

∴ ∠A´GC=180°-∠CGE=180°-2α

【分析】（1）①利用折叠的性质可得到∠A´E F=∠AEF=40°，就可求出∠AEG的度数，利

用平行线的性质可求出∠CGE的度数，利用邻补角的定义求出∠A´GC的度数；②利用折叠的性质可证得∠A´E F=∠AEF=α，由此可求出∠AEG，再利用平行线的性质可求出∠CEG，然后根据 ∠A´GC=180°-∠CGE，可证得结论。

（2）利用折叠的性质可证得∠AEF=∠A´E F= ∠CGH=∠C´GH=∠AEG，再利用平行线的性质可以推出∠HGE=∠FEG，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论。

3． （1）252°

（2）解：结论:

理由如下:

如图1,过P作PQ∥AD.

.

∵AD∥BC，∴AD∥PQ ， PQ∥BC .

∵PQ∥AD，∴

∴

.同理， .

；

（3）解：当点P在B、O两点之间时，如图2,则有

当点P在射线AM上时，如图3,则有 .

（4）【解析】【解答】解：（1）过P作PE∥AB

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PE

∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°

∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°即∠PAB+∠PCD+∠APC=360°

∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.

故答案为：252°.

（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,

∵A1H∥A3F

∴A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G,

∴∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3 ，

∴∠A1+∠2+∠4+∠A3=∠1+∠3+∠5+∠6

∴∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3.

由此规律可得：

∠A1+∠A2++∠An=∠B1+∠B2++∠Bn.

【分析】（1）过P作PE∥AB，结合已知可证得AB∥CD∥PE；再利用两直线平行，同旁内角互补可得到∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，然后将∠APC=108°代入计算可求出∠PAB+∠PCD的度数。

（2）如图1，过P作PQ∥AD，结合已知条件可证得AD∥PQ ， PQ∥BC，利用平行线的性质可证得∠α=∠1，∠β=∠2，由此可证得结论.

（3）分情况讨论： 当点P在B、O两点之间时；当点P在射线AM上时， 分别利用平行线的性质，可证得结论。

（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,，结合已知条件可证得A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3 ， 由此可推出∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3 ， 根据此规律可推出结论。

4． （1）55

（2）解：如图，过点C作l1的平行线交AB于N。

∵CN∥l1

∴∠1=∠DCN 同理∠2=∠NCF

∴∠GFB=∠2=90°-∠1=90°-∠1=90°-∠ADE=10°

（3）解：3∠ADE=∠QFG+90°

由（2）可知：∠ADE+∠CFN=∠C=90° 设∠CFN=x,则∠QFC=2x

∴∠ADE=90°-x,∠QFG=180°-3x

∴3∠ADE=∠QFG+90°

【解析】【解答】（1）∵l1∥l2，∴∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，

∵∠CAB+∠ABC=90°， ∠1=35°

∴∠2=55°；

【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，根据直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，从而求出∠2的度数；

（2） 如图，过点C作l1的平行线交AB于N，可得 CN∥l1∥l2，从而可得 ∠1=∠DCN，∠2=∠NCF ， ∠GFB=∠2 ，由∠GFB=∠2=90°-∠1=90°-∠1=90°-∠ADE，据此即可求出结论；

（3）结论3∠ADE=∠QFG+90° .理由：由（2）可知：∠ADE+∠CFN=∠C=90° ， 设∠CFN=x,则∠QFC=2x ，从而可得∠ADE=90°-x,∠QFG=180°-3x，据此即得结论.

5． （1）50

（2）解：∠a=∠1+∠2，

证明：过点P作PG∥AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠2=∠3，∠1=∠4，

∴∠α=∠3+∠4=∠1+∠2；

（3）解：∠α=∠2-∠1，

证明：过点P作PG∥CD，

∵AB∥CD，

∴PG∥AB，

∴∠2=∠EPG，∠1=∠3，

∴∠α=∠EPG-∠3=∠2-∠1

【解析】【分析】（1）直接根据“两直线平行，内错角相等”写出答案；

（2）过点P作PG∥AB，根据“两直线平行，内错角相等”求解；

（3）过点P作PG∥CD ， 根据平行线的性质可得∠2=∠EPG，∠1=∠3，进而得到角的关系.

6． （1）解：设运动的时间为t秒，

∵四边形ABCD是正方形，

，

由题意得：

，

，

，

，

∴

，

，

∴

解得

又∵

，

，即 ，

；

，

，

，

， ，

∴他们出发 秒后

（2）解： ∵

∴ ∴

又∵

∴当

，

，

秒时，

米，

.

答：当S1+S2=15时，小倩距离点B处还有1米.

【解析】【分析】（1）设运动的时间为t秒，先把与面积相关的线段用t表示出来，利用三角形的面积公式和等量关系S1=S2列出方程

过解方程求t的值；（2）根据S1+S2=15列出关于t的方程，解出t ， 代入

即可.

7． （1）240°

（2）51°

【解析】【解答】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

，通 中

AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥CD，

∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，

∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，

∵

RS，

，

∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和∵ 平分 ， 平分

，

∴∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB=∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，

∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°- (∠ABG+∠DCG)，

∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，

∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，

又∵∠BGC=∠BHC+27°，

∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，

∴∠BHC =51°．

【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．

8． （1）解：

，

，

如图1过D点作 ，

，

，

又 、BD分别平分 和

，同理

（2）（3）【解析】【解答】

如图2过D点作 ，

，

，即

．

，

，

又 、BD分别平分 和

，同理

，

，即

．

，

，

，

即

，

，

，

，

故答案为 ．

，

如图3过D点作 ，

，

，

又 、BD分别平分 和

，同理

，

，即

．

，

，

，

即

，

，

，

，

故答案为 ．

，根据平行线的性质，得出

，再根据 、

，同理

分别平分 和

，

， ，

【分析】（1）过 点作

，则

得出 ，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.

9． （1）∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，

且∠ADE＋∠A＋∠AED＝180°，∠B＋∠A＋∠ACB＝180°，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴DE⊥AB

（2）∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴∠EAG＋∠AGE＝90°①，

∵∠EAG− ∠D＝45°，

∴2∠EAG−∠D＝90°②，

∵∠D＋∠F＝90°③，

∴②＋③得：2∠EAG＋∠F＝180°④，

④−①×2得：∠F−2∠AGE＝0°，

∴∠F＝2∠AGE，

（3）如图3，

∵BG平分∠ABC，

∴∠ABG＝ ∠ABC，

∵将△AGB沿着AG折至△AGH，

∴∠H＝∠ABG＝ ∠ABC，

∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝2∠H，且∠ADE＝∠H＋∠DGH，

∴∠H＝∠DGH，

∴∠ADE＝2∠DGH，

∵∠F＋∠CDF＝90°，

∴∠F＋2∠HGD＝90°．

【解析】【分析】（1）通过三角形内角和定理，可得∠AED＝∠ACB＝90°，可得结论；（2）由直角三角形的性质和三角形内角和定理可得∠EAG＋∠AGE＝90°①，∠D＋∠F＝90°③，且2∠EAG−∠D＝90°②，可以组成方程组，可得结论；（3）由角平分线的性质和折叠的性质可得∠ADE＝2∠H，由外角性质可得∠ADE＝2∠DGH，由直角三角形的性质可得∠F＋2∠HGD＝90°．

10． （1）解不等式不等式

∵a是不等式

∴a＝10，

∵AB的长为a，

∴AB的长为10；

（2）由（1）知，AB＝10，

由运动知，AP＝2t，

∴d=BP＝AB−AP＝10−2t（0≤t≤5）；

（3）如图2，在EA上截取EN＝EG，

得，a＜11，

的最大整数解， ∵∠AED＝∠GED，DE＝DE，

∴△DEN≌△DEG（SAS），

∴∠BND＝∠DGE，∠EDN＝∠EDB＝45 ，

∴∠BDN＝∠EDB＋∠EDN＝90 ，

∴∠BND＋∠DBN＝90 ，

∴∠DGE＋∠DBN＝90 ，

∵BD平分∠ABO交y轴于点D，

∴∠DBN＝∠DBO，

∴∠DGE＋∠DBO＝90 ，

∵∠BDO＋∠DBO＝90 ，

∴∠DGE＝∠BDO，

∴EG∥OD，

∵点E与点G的纵坐标的差为2，

∴EG＝2，

∵S△OBP：S△BPM＝3：2，

∴S△OBM：S△BPM＝5：2，

∴

∴

∴

∴AP＝6，

∴t＝6÷2＝3秒， = ．

得，a＜11，进而确定出a，即可得 ，

，

，

【解析】【分析】（1）先解不等式

出结论；（2）由运动知AP＝2t，即可得出结论；（3）先判断出△DEN≌△DEG（SAS），得出∠BND＝∠DGE，∠EDN＝∠EDB＝45°，即：∠BDN＝90°，再用同角（或等角）的余角相等判断出∠DGE＝∠BDO，得出EG∥OD，即可求出EG＝2，再由S△OBP：S△BPM＝3：2，得出

论．

11． （1）解：∵点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点.

∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，

∴EM=EP，FP=FN，

∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长，

又∵△PEF的周长为20，

∴MN=20cm.

（2）解：由（1）知：EM=EP，FP=FN，

∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，

∵∠PCE=∠PDF=90°，

∴在四边形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，

又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，

∴∠M+∠N=∠O=50°.

∴在△PEF中，∠EPF+∠PEF+∠PFE=∠EPF+2∠M+2∠N=180°，

即∠EPF=180°-2∠M-2∠N=180°-2（∠M+∠N）=180°-2∠O=80°.

（3）∠EPF=180°-2∠O

【解析】【解答】解：（3）由（2）可直接得到∠EPF=180°-2∠O.

故答案为：∠EPF=180°-2∠O.

【分析】（1）根据轴对称的性质可得EM=EP，FP=FN，进而推出MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长即可；

（2）由（1）及等腰三角形的性质、四边形的内角和找出∠M+∠N与∠O、∠EPF与∠O的关系即可；（3）由（2）可直接得到∠EPF=180°-2∠O.

12． （1）解：如图2，∵∠1=∠2，∠1=55°

∴∠2=55°

∵OM⊥ON

∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°

∵∠4=∠3

∴∠4=35°

（2）解：如图3，∵∠MON=46°

，进而得出 ，即 ，求出AP＝6，即可得出结∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°

∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°

（3）β＝2α

【解析】【解答】解：（3）如图4，β＝2α，

理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠ABC＝180°−2∠2，∠BCD＝180°−2∠3，

∴∠BED＝∠ABC−∠BCD＝（180°−2∠2）−（180°−2∠3）＝2（∠3−∠2）＝β，

∵∠BOC＝∠3−∠2＝α，

∴β＝2α.

【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定义得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360°−（2×134°）＝92°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC＝180°−92°＝88°；（3）利用平角的定义得出∠ABC＝180°−2∠2，∠BCD＝180°−2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC−∠BCD＝（180°−2∠2）−（180°−2∠3）＝2（∠3−∠2）＝β，而∠BOC＝∠3−∠2＝α，即可证得β＝2α.