2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)word版_

2023年12月11日发(作者：青岛大学职高数学试卷)

-

12 小题，共

一、选择题（本大题共

60

分）

1{ x |

2.

已知集合 M

4 x

2}，N

{ x | x x

6 0}，则M N （

）

A. { x

| 4 x

B. { x

| 4 x

C.

{ x |

3}

2}

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）

理科数学

2 x 2}

D. { x |

2 x 3}

设复数 z 满，

在复平面内对应的点z

为

( x, y) ，则（

）

2足

. z i 1

A. (x 1) y 1

B. (x 1) y 1

C. x ( y 1) 1

D.

x ( y 1) 1

3log

2

.

已知

a 0.2

A. a b c

B. a c b

C. c a b

D. b c a

，

b

22222222

0.2

0.3

）

2 ， c 0.2 ，则

（

4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

（

5 1

2

5 1

0.618 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如

此

. 此外，最美人体的

2

5 1头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

例，且腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为

. 若某人满足上述两个黄金分割比

2

26cm ，则其身高可能是（

）

-- -

1

-- -

A. 165cm

B. 175cm

C. 185cm

D. 190cm

5. 函数 f

( x)

sin x x

在

[

, ]

的图像大致为（ cosx x2

A.

B.

C.

D.

--

）

-

2

-- -

6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化 . 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻

组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，下图就是一重卦 . 在所有重

卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是（

A.

5

16

B.

11

32

21

C.

32

11

D.

16

7. 已知非零向量 a,b 满足

a

2 b ，且 ( a b) b ，则

aA.

6

B.

3

2

C.

3

5

D.

6

1

8. 右图是求

2+

1

的程序框图，图中空白框中应填入（

2+

1

2

1

A. A

2 A

1

B. A 2

A

--

）

b 的夹角为（）

）

与

-

3

-- -

1

C.A

D. A

1 2 A

9.记 Sn 为等差数列

an 的前 n 项和 .已知 S4 0 ，

a5

5 ，则（

21

2 A

1

）

A. an 2n 5 B. an 3n 10 C. Sn 2n 8n D. Sn 1

n2 2n

2

(1,0) ，过 F 的直线10. 已知椭C 的焦点为

F (

1,0) ， F 与

交于 ，

两点.若

圆

1 2 2 C A B

|AF2|

2|F2B|，|AB |

| BF1

|，则 C 的方程为（

）

y 1

A. x

2

x

3

x

4

22222

B.y

2

221

C.y 1

3

2y 1

D. x

5 4

11. 关于函数 f ( x) sin x sin x 有下述四个

结论：

①

f (x) 是偶函数

③ f (x) 在

,

有4个零点

）

, ) 单调递② 在区间 (

增

2

④ f ( x) 的最大值为

2

f ( x)其中所有正确结论的编号是（

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

12.

已知三棱锥

P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，

E, F 分别是 PA ， AB 的中点，

2 的正三角形， CEF

A. 8 6

B. 4 6

C. 2 6

PA

PB PC ， ABC 是边长为

90

，则球 O 的体积为（

）

-- -

4

-- -

D. 6

4 小题，二、填空题（本大题共

共

xx)e 在点

13.

曲线 y 3( x2 (0,0)

n20 分）

处的切线方程为.

an 的前 项和，若

14记 Sn 为等比数，

.

列

a1

1

a4

2

a6 ，则 S5

.

3

15. 甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的

概率为 0.6 ，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以 4 :1 获胜的概率是

.

16. 已知双曲线 C:

x2

两条渐近线分别交

A,B两点 . 若

F1A

AB, F1B F2 B

0 ，则 C 的离心率为

于

5 小题，三、解答题（本大题

共 60 分）

共

2

17. ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b,

c . 设

（1）求

A ；

（2）若

2a b

18. 如图，直四棱柱

2c0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 的直线与

2y 1(a 0, b

C 的

22a b

uuur uuur uuur uuur

.

sin B sinC

sin A sin B sinC .

60 ，

2 ，求 sin C .

ABCD

A1B1C1D1 的底面是菱形，

AA1 4, AB 2, BAD

E, M , N 分别是 BC, BB1 , A1D 的中点 .

（1）证明： MN / / 平面 C1DE ；

（2）求二面角 A MA1 N 的正弦值 .

3 的直线 l 与 C 的交点为

A ，

B ，与 x

19. 已知抛物线 C : y

3x 的焦点为 F ，斜率2

为

的交点为 P .

轴

2

-- -

5

（1）若 | AF

|BF |

4 ，求 l 的方程；

|

（2）若

AP

，求 | AB |.

3PB-- -

20. 已知函数 f ( x) sin x ln(1 x) , f ( x) 为 f ( x) 的导函数 . 证明：

(1) f ( x) 在区间 ( 1, ) 存在唯一极大值点；

2

(2) f ( x) 有且仅有 2 个零点 .

21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下： 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只

施以甲药， 另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验． 当其中一种药治

愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验， 并认为治愈只数多的药更有效． 为

了方便描述问题， 约定： 对于每轮实验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则

甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，

甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为

和 ，一轮实验中甲药的得分记为 X ．

（1）求

X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋

予

4 分， pi

(i

0,1, ,8)

表示“甲药的累计得分为

i

0

， p8

1

，

0)

，

时 ， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 p0

bpi cpi

pi api 1

1 (i 1,2, ,7)

， 其 中

a

c P( X

1) ．假设

0.5 ，

0.8

．

P( X

1 )，

b P( X

）证明： { pi 1

}( i

0,1,2,

pi

（i

,7) 为等比数列；

（i）求

i

p4

，并根据

p4 的值解释这种实验方案的合理性．

2 选 1）（本大题共 2 小题，共 10

四、选做题分）

（

1 t

x

221 t

22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为

4t

y

2 1 t

(t为参数 ) . 以坐标原点 O

为极

轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为

点 ， x

2 cos 3 sin 11 0.

（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；

（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 .

23. 已知 a,b,c 为正数，且满足 abc 1，证明：

（1）

1 1 a2 b2 c2

1-- -

a b c

6

-- -

（2） ( a b) (b c) ( c a)

33324

7

-- -

由题意可知,

N { x | 2 x 3} , 又 因 为 { x | 4 x 2} ,

M 则

1.答案： C

解答：

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）

理科数学答案

M N { x | 2 x

2} ，故选 C.

2. 答案： C

∴ z x yi

∴ x

yi i

(

2∴ x

y

3.答案： B

解答：

2

解答：

∵复数 z 在复平面内对应的点为 ( x, y) ，

1

1) 1

由对数函数的图像可知：a

1，于是可得0.30 c 0.2

到：

4.答案： B

解答：

方法一：

设头顶处为点

底处为

F，BD

log

2 0.2

；再有指数函数的图像可知：

a c b .

0b20.2

1

，

A

，咽喉处为点

B

，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点

D ，腿根处为点

E ，足

t

，

5 1

，

2

t ； 又

,故AB AD

(

2

AD

， 故

根据题意可知

DF

1AB

BD

AB BD ( 1)t ，

1

DF

t ；

5

1)

t ，

将

0.618 代入可得 h 4.24t

.

所以身高 h

AD DF

2

根据腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度；EF

为 26cm 可得 AB AC，DF

1 5 1

0.618 代入可得

t

105 ，将

t 42

即 t 26 ， 40

2

所以 169.6 h 178.08 ，故选 B.

方法二：

-- -

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近， 故头顶至脖子下端的长度 26cm 可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

1

-- -

0.618 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约5

1

（

5 1

为

2 2

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为

5 1

42cm ；将

68cm ，头顶至

可计算出肚脐至足底的长度约为

110；将头

肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

2

178cm ，与答案 175cm 更为接

顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为

近，故选

B.

5. 答案：

D

解答：

sin x x

sin x x

∵ f (

x)

2

f (x) ，

cos x x cos x x2

∴ f (x) 为奇函数，排除

A，

sin

2

2 4 2

0 ，排除

又 f ( )

2

2

C，

2

cos

2 2

sin

，排除 B，故选

f ( )

2 20

D.

cos 1

6. 答案： A

解答：

62 种，在 6 个位置上恰每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有

有

C36 20 5

种，所以

.

P 26 64 16

答案：

7.答案 B

解答：

设

a 与

b 的夹角为

，

∵ (a

b) b

2

∴ (a

b) b a b cosb =0

1

∴ cos

= 2

--

3 个是阳爻的情况有

C36

-

∴ = .

3

8.答案： A

解答：

2

-- -

把选项代入模拟运行很容易得出结论

1

A=

1

2+

选项 A 代入运算可，满足条件，

得

12+

2

1

A=2+

1选项 B 代入运算可得

2+

2

1

选项 C 代入运算可A , 不符合条件，

得

2

A

选项 D 代入运算可得

9.答案： A

解析：

依题意有

S4

a5

1+ , 不符合条件 .

4

1

4a1 6d

0

a1

3

2

，可得 ， an

2n

5 ， Sn

n 4n .

a1 4d 5 d 2

10. 答案： B

解答：

(1,0可2 |

由椭圆 C 的焦点为 F

1,0)

， F

)

知

(

B|，|AB| |BF |

，又

| AF | F

，

1 2 c 1 2 2 1

可 设 | BF2 | m ， 则 | AF2 | 2m ， | BF1 | | AB | 3m ， 根 据 椭 圆 的 定 义

可 知

1 a ，所以 | BF2

1 a ， | AF2

b)

，

|BF1|

|BF2| m 3m 2a

，得 m

|

3

1 2

a ，可知

|

A(0,

2

根据相似可得 B( , b) 代入椭圆的标准方程

2 2

x22

3

22x y

1

，得

2

，

2 22

，

22a b a b a c 2

椭圆 C 的方程为

y 1 .

3 2

11. 答案： C

解答：

因为 f f (x) ，所以 f ( x) 是偶函数，①x) sin x sin( x) sin x sin x

正确，

(

) ，所以②错因为

，而 f (

) f (

2 )

误，

6 3 2 6 3

(x) 有 3 零点，所以③错画出函数 f ( x)

,

上的图像，很容易知道

f

误，

在

55(

2, ,

-- -

2 ，④正确，故答案选

C.

(x) 的最大值为

结合函数图像，可知

f

12. 答案： D

解答：

3

-- -

PA PC -AC

设 PA

x

，则222x

=

22x 4 x 2

2x

222

2 x 2

2 cos APC

2PA PC

2 x x

2

2 2 2

∴

x x 2 x x x

CE PE PC 2PE PC cos APC 4 2

∵

CEF 90 ， EF

1 PB

x ,CF

3

2 2

3 ，解得

∴

2CE

EF

2

22CF, 2 x2

x

2

，即 x

4 4

∴ PA

PB PC 2

又 ABBCAC2

易知 PA, PB , PC 两两相互垂直，

故三棱锥 P ABC 的外接球的半径为

6

，

2

3

4

6

，故选

∴三棱锥 P ABC 的外接球的体积为

6

D.

3 2

13. 答案：

y

3x

解答：

∵ y 3(2 x

1)ex 3(x2 x)ex 3(x2

3x 1)ex ，

∴结合导数的几何意义曲线可知在(0,0) 处的切线方程的斜率为点

k

∴切线方程为 y 3x .

14. 答案：

121

S5

3

解答：

，

∵ a

1

a4

2 a6

1

3

设等比数列公比为 q

∴ (a3251q ) a1q

∴ q 3

121

∴ S5

3

15. 答案： 0.18

--

x2 4

3

，

-

4

-- -

解答：

甲队要以 4 :1 ，则甲队在前 4 场比赛中输一5 场甲获胜，由于在4 场比赛中甲有

场，第

前 2

个主场 2

个客场，于是分两种情况：

1C2 0.6

2210.4 0.5 0.6 0.6 C2 0.5 0.5 0.6 0.18 .

16. 答案：

2

解答：

uuur uuur uuur uuur

由

uuur uuur

0知 A 是 BF1 的中点， F1B F2 B ，又 O 是 F1, F2 的中点，所以 OA

，所1

为中位线且 以 ，因此 ，又根据两渐近线对称，

OA BF1 OB OF1 FOA BOA

FOA

1

17. 答案：略

解答：

2

（1）由 sin B

sin C

结合正弦定理得

b

b222222sin B sin C 得 sin B sin C sin A sin B

2sin A

sin C

F1A

AB,F1B F2 B

F

OB ，所以

2

F OB

60 ，

e

2

b 2

1 (

)

a

.

1 tan

60 2

2

c a bc

22

∴

cos A=

又

A (0,

c a 1

2 b c 2

) ，

∴

=

.

A

3

得2

（2）由

2a b

∴

2sin A sin

6

2c

2 sin A sin B 2sin C

,

A C 2sin C

2sin

sinC ) C ,

∴

(

2 3

3 1

∴

sin C cosC

2

2

-- -

2 2

5

-- -

∴ sin(C

又 0 C

sin(

又

C

∴ cos C

)

6

2

2

2

6

6 2

2

6

2

.

4

C

∴

3 6

) 0 ∴

0 C

6

2

，

6 2

)

sin

∴ sin C

sin(C

6 6

18. 答案：

（1）见解析；

（2） .

5

解答：

10C

6

coscos C sin

6 6 6

（1）连结 M,E 和B1,C ，∵ M,E分别是 BB1和 BC的中点，∴ ME//B1C 且

ME B1C，

2

又 N 是 A1 D ，∴ ME / / DN ，且 ME DN ，∴四边形 MNDE 是平行四边形，

∴ MN / /DE ，又 DE 平面 C1DE ， MN 平面 C1DE ，∴ MN / /平面 C1DE .

1

D

（2）以 D 为原点建立如图坐标系，由题

(0,0,0)

uuur

，，

，

A(2,0,0)

A1(2,0,4)

， M (1,

3,2)

uuuur

A1 A

(0,0, 4) A1M

ur

( x1, y1 , z1)

ur uuur

n1 A1A 0

由 ur uuuur

得

n1 A1M 0

n1

，平面DA( 1,

M

2,0, 4) ，设平面 AA1 M 的法向量，3, 2) A1D (

为

uur

，uuur

1 的法向量为 n2 (x2 , y2 , z2 )

4z1 0 ur

，( 3,1,0)

，令 x1

3 得 n

x1 3y1 2z1 0 1

-- -

6

-- -

uur uuur

0

n2 A1D

由

2x2 4z2 0

，令 x2

x2 3 y2

2 z2 0

uur

15

n2

uur

，∴二面角 A MA1

n2 5

uur uuuur 得

n A M 0

2 1

ur

ur uur

n1

ur

∴ cos n1, n2

n1

uur

2 得 n2

，(2,0,

1)

N 的正弦值为

10

.

5

19. 答案：

（1） 8 y 12x 7 0 ；

（2）

4 13.

3

解答：

3 x b ，设 A( x1, y1 ) ， B( x2 ,

y

3

x

b

设直线 l 的方程为

y2 ) ，

y

2

2

（1）联立直线 l 与抛物线的方程： 消去 y 化简整理得

2 y 3x

9

x2 (3b 3) x b 0

，

4

20

2(3b 3) 4 9

b2

，

b

4

1

， x1

x2 4 (3 3b)

，

2 9

5

依题意 |AF |

|BF |

4 可知 x1

x2 3

4 ，即 x1

2

7 3

，故直线 l 的方b 0 y

程为

，满足 x

8 2

y

x b

消去 x 化简整理得

（ 2 ）联立方程组

2

b

y 3x

23，得

x2 5

，故

4 (3 3b)

2 9 2

7

，即

8y 12x 7 0 .

8

2y 2 y

2b

0 ，

4 8b

0 ，

1

， y1

y2

2 ， y1 y2

2b

，

AP

3PB ，可知 y1

3y2 ，则

2 y2

2

，得

-- -

2

7

-- -

3

y21， y1

3 ，故可知 b

满足0 ，

2

1 4 4 13

|AB| 1

2 | y1 y2

| 1 |3 1|

.

k 9 3

20. 答案：略

解答：

(1) 对 f ( x) 进行求导可得，

f (x) cos x 1

， (

1 x)

1 x 2

1

取 g( x)

cos x 1

，则 g ( x)

sin x

x2

,

1 x (1 )

1 g( 0 ) 1

在 x

( 1,

) 内

g (x) sin x

(1

2

为单调递减函数，且

，

2 x)

1

( 0, 1)内 存 在 一 个 x0 ， 使 得

g(

2 ) 1 2

0 所 以 在 x

g (x)

0，所以在

(1

)

2

内 g 0 ， f ( x) 为增函数； ( x) 为减函x ( 1,x )

( x) 在

x

内 g (x) 0 ， f 数，

0

(x0 , )

2

所以在 f ( x) 在区间 ( 1, ) 存在唯一极大值点；

2

（2）由（ 1）可知当 x ( 1,0) 时， f ( x) 单调增，且 f (0) 0 ，可得 f

\'则 f (x) 在此区间单调减；

(0, x0 ) 时，

( x) 单调增，0 ，

( x当 x

f

且

f (0)

f

)

0 则 f (x) 在此区间单调增；又

f

0 则在 x

1, x0 ) 上 f

有唯一零点

(0)

(

( x)

x

0 .

) 时， ( x) 单调减，( x0

0 ，则存在唯一当 x

(x0 ,

f 且

f ) 0, f ( )

的

x1

(x0 , ) ，

2 2 2

使得 f ，在 x ( x ,

( x0 ， f ( x) 单调时， f (x)

( x )

0

x ) 时， f

)

增；当

x

单

1

0 1

( x1, )

2

调减，且 f

ln ( x) 上 f ( x) 无零(

) 1 ln(1 ) 1 e

0

，所以在 x ,

点；

2 2 0 2

) 时， sin x 单调减， x) 单调减， 则 f ( x)

当 x

( ,

y y

ln(1

在 x

(

, )上单调

2 2

0 , 所以在 上 f ( x) 存在一个零减,

f ( ) 0 ln(1 )

x

( , )

点 .

--

0

x -

2

当 x ( , ) 时 ， f ( x)

s i nx l n (x1

x ( , )

上无零点 .

) 1

l n (恒1 成 立 ， 则 f

( x) 在

8

-- -

综上可得， f ( x) 有且仅有 2 个零点 .

21. 答案：（1）略；（2）略

解答：

P(X 1)

P(X

(1

) ；

)

1) (1

；

1、0．

（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：

1、

得 1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则

1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则

得

0 分时是都治愈或都未治愈，则

P( X

得

则 X 的分布列为：

0)

(1

)(1 )．

（2）（ i ）因

为

则 a

P(X

可得 pi

0.5，

0.8 ，

P( X 1)

1)

0.4 ， b

P(X 0) 0.5

， c 0.1．

0.4 pi 1 0.5 pi

0.1 pi 1 ，则 0.5 pi

0.4 pi 1

0.1pi 1 ，

pi

1 pi

则 4 ，

p0.4( p1 i

i pi ) 0.1(pi 1

pi ) ，则

pi

1

所以

1

pi }( i 0,1,2,

,7) 为等比数列．

{ pi

（ii ） { pi

pi }(

,7) 的首项i 0,1,2,

为

1

p8

p7

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

p2

p1

p1 4 ，

76p1

p0

p1 ，那么可得：

p7

p6

p1

p1

4

，

4

，

67

4) ，

以上 7 个式子相加，得到

则p8 p1 p1 (4 4

p8

p1 (1 4

再把后面三个式子相加，

得

8

674 4 ) p1 1 4

1 4

p4 p1

8

3

1

p1 ，则 p1

8

， 4

3 4 1

2p1 (4 4

4)，

3

-- -

9

-- -

则 p4

p1 (144 4 ) 4 1

p1 4

3

23441

83

4 1

1

4 1

41

．

257

0.5

，

3

p4 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白

鼠多

0.8

，

4 只，且甲药的累计得分为 4”，因为

，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多

4 只，且甲药的累

计得分为 4”这种情况的概率是非常小的， 1

的确非常小，说明这种实验方案而

p4

是

257

合理的．

22. 答案：略

解答：

(1) 曲线 C : 由题意得

t

1

2 2 2 y

x

t

1

即 x

1

，则 t

，然后代入即 1

2 1 t

2 1 t 2 2( x 1)

y2 2

可得到

x 1 (x ? 1)

4

代入即可得而直线 l ：将 x

cos , y sin

到

2x 3y 11 0

（2）将曲线 C 化成参数方程形式为

4sin( ) 11

2cos 2 3 sin 11

则

6

d

7 7

3

所以当 时，最小值为 7

6 2

23. 答案：见解析：解答：

1 1 1 ab

（1） abc 1，

bc

ac .

a b c

b2 c2 a2 c2 a2 b2

由基本不等式可得：

bc

, ac

,

ab

，

2 2 2

于是得到

1

1 1 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 .

a b c 2 2 2

--

-

（2）由基本不等式得到：

3 3

2，a b 2 ab (a b)

8( ab)

10

-- -

3 3

2

3 3

2.

3

2

b c 2 bc (b c) 8(bc)

，

c

a 2 ac (c a) 8(ac )

于是得到

3 3 3 3 3

3

3332222

(a b) (b c) (c a) 8[(ab) (bc) (ac) ] 8 3 (ab) 2 (bc) (ca) 24

-- -

11

--