2023年12月3日发(作者：2016光谷小考数学试卷)

一、 判断下列命题是否正确，正确的在题后的括号划“√ ”，错误的划“×”（每小题2分，共10分）

1. 设函数f(x)在点x0处连续，则limf(x)0 ( )

xx02. 若f(x)为可导函数，则f(x)也为可导函数 ( )

3. 设f(x)在a,a上连续，且f(x)f(x)，则

axf(2x)dx0 ( )

a 4. 方程x25x20在区间(1,2)内必有一个正实根

5. 若f(x)1 ，且在区间0,1上连续，则

F(x)2x1x0f(t)dt

是区间0,1上的单调增函数

得 分

评卷人

二、填空题（每小题2分，共10分）

1.

lim(2x1x2x)x .

2. 设函数y12ln(1x1xex2),则dydx .

3. 曲线y12cosx在(3,2)出的法线方程为

4. 设xf(x)dxarcsinxc，则1f(x)dx= .

5.

3x7sin2x32x4x21dx= .

得 分

评卷人

三．选择题（每小题2分，共10分）

1.曲线yax3bx2的拐点为(1,3)，则 （ ）

（A）ab0 （B）ab0 （C ）ab0 （D）ab0

2 设yxx，则dydx为 （ ）

( )

( )

（A）xx3

x1x （B）xlnx （C）x(lnx1) （D）lnx1

xaax[f(x)f(x)]dx （ ）

（A）4a0xf(x)dx （B）

2x[f(x)f(x)]dx

0a （C） 0 （D）前面都不正确

4 设f(x)x0(2t2t)dt，则它在x1处取 （ ）

2 （A）极大值 （B）极小值 （C） 单调下降 （D） 间断点

5 直线L:x1y1z1314与平面:xyz3的位置关系为 （ ）

（A）垂直 （B）斜交 （C）平行 （D）L在内

得 分

评卷人

y

四 计算下列各题（每小题6分，共48分）

x 1 设(cosx)(siny),求

2

3

dy

dxxarctanxdx

41lnxdx

x4

303cos2xsinxdx

5 设空间三点为A(1,1,1),B(2,2,2),C(1,1,3)，试写出过点A，B,C的平面方程及过AB中点M的直线MC的方程

6

7 若y1，计算

1x1x20dx

11xyexdx

x(u)d2y8 已知参数方程，且(u)0，求2

dxyu(u)(u)

得 分

评卷人

五 证明不等式（8分）

1xln(x1x2)1x

得 分

评卷人

六 应用题（8分）

2x

计算a为何值时，曲线yxaxa1与直线x0,x2,y0围城的封闭图形绕轴x旋转一周所形成的旋转体的体积最小？并求出该体积。

得 分

评卷人

七 综合题（6分）

g(x)cosxx0设f(x) ，其中g(x)具有二阶连续导数，且g(0)1

xx0a(1)

(2)

(3)

确定a的值，使f(x)在x0连续 （2分）

求f(x) （2分）

讨论f(x)在x0处的连续性 （2分）

参考答案

一 是非判断题

1 √；

2

×；

3 √ ；

4

√；

5 √；

二 填空题 1

e；

2

1211y2(x)；

；

3

x31x233122

4

(1x)c；

5 0；

3三 选择题

1 A； 2 C； 3 C； 4 B; 5 D

四 计算题

1 解 两边取对数有：

ylncosxxlnsiny0

两边取求导有

ylncosxysinxcosylnsinyxy0

cosxsiny得： 2 解

dylnsinyytanx

dxlncosxxcoty1原式=arctanxdx22111x2arctanxxarctanxC

22211(x21)arctanxxC22 3 解

原式2lnxdx2xlnx12144418ln222x4(2ln21)141xdxx

1734解

原式=33cosxdcosx3cosx03

03825 解 过点A作向量AB和AC，则



AB3,3,3,AC0,2,4

所求平面的法向量为：

ijk

m3336i12j6k

024由平面的点法式方程有：

6(x1)12(y1)6(z1)0即x2yz0

111AB线段中点M的坐标为(,,)

222315故MC直线的方向向量为：MC,,

222x1y1z3

315222x1y1z3 即

315所求直线方程为

6 解：

原式=lim01x1x20dx

11222lim()(1x)d(1x)00211221lim[()2(1x)]01021

7 解

原式=(yx)exdx(xy)exdx1yy1(yx1)exy1(xy1)ex1y

2ey9y2)e1ey8 解

dydydu(u)u(u)(u)u

dxdxdu(u)d2ydddu11(u)(u)

2dxdxdxdudx(u)du五 证明 令f(x)1xln(x1x2)1x2

则

f(x)ln(x1x2)f(x)11x20

故

f(x)在整个实数域内为凹函数

由f(x)0知，当x0时，f(x)取得极小值f(0)0，当xR时，f(x)f(0)0

因而

1xln(x1x2)1x2

六 应用题 解

vy2dx(x2ax11)2dx00221112[x52ax4(a22a2)x3a(a1)x2(a1)2x]0

5432846(a2a)3315dv48(a)0,得a2

da332即a2时，旋转体的体积最小，这是体积为

5 七 综合题

解（1）limf(x)limx0x0g(x)cosxlim[g(x)sinx]g(0)

x0x 故要使

f(x)在x0处连续，必使ag(0)

（2）当x0时，f(x) 当x0时，

(g(x)sinx)xg(x)cosx

2xg(x)cos(x)g(0)xf(x)limx0xg(x)cos(x)g(0)xlimx0x2g(x)sin(x)g(0)limx02xg(x)cos(x)1lim(g(0)1)x022

（3）

limf(x)limx0(g(x)sinx)xg(x)cosxx0x2(g(x)cosx)x(g(x)sinx)g(x)sinxlim

x02x(g(x)cosx)x11limlim(g(x)cosx)(g(0)1)f(0)x02x2x02故

f(x)在x0处连续


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