大学高等数学下考试题库(附答案)

2023年12月2日发(作者：初一数学试卷包答案)

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题（3分10）

1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

2.向量ai2jk,b2ij，则有（ ）.

A.a∥b B.a⊥b C.a,b D.a,b

343.函数y2x2y21xy122的定义域是（ ）.

C.x,y1xA.x,y1x2y22 B.x,y1x2y22

2y2x,y1x2 D2y22

4.两个向量a与b垂直的充要条件是（ ）.

A.ab0 B.ab0 C.ab0 D.ab0

5.函数zxy3xy的极小值是（ ）.

A.2 B.2 C.1 D.1

6.设zxsiny，则33zy1,4＝（ ）.

A.22 B. C.2 D.2

221收敛，则（ ）.

pnn17.若p级数A.p1 B.p1 C.p1 D.p1

xn8.幂级数的收敛域为（ ）.

n1nA.1,1 B1,1 C.1,1 D.1,1

x9.幂级数在收敛域内的和函数是（ ）.

n02nA.1221 B. C. D.

1x2x1x2x10.微分方程xyylny0的通解为（ ）.

xA.yce B.ye C.ycxe D.ye

xxcx二.填空题（4分5）

1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.

2.函数zsinxy的全微分是______________________________.

2z_____________________________. 3.设zxy3xyxy1，则xy3234.1的麦克劳林级数是___________________________.

2x5.微分方程y4y4y0的通解为_________________________________.

三.计算题（5分6）

1.设zesinv，而uxy,vxy，求uzz,.

xy22.已知隐函数zzx,y由方程x2yz4x2z50确定，求22zz,.

xy3.计算sinDx2y2d，其中D:2x2y242.

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

5.求微分方程y3ye2x在yx00条件下的特解. 四.应用题（10分2）

1.要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

2..曲线yfx上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点1,，求此曲线方程

.

313试卷1参考答案

一.选择题 CBCAD ACCBD

二.填空题

1.2xy2z60.

xyydxxdy .

3.6xy9y1 .

224.

n01nxn.

2n12x5.yC1C2xe三.计算题

1. .

zzexyxsinxycosxy.

exyysinxycosxy ，yxz2xz2y,.

xz1yz12.3.4.20dsind62.

2163R .

33x5.yee2x.

四.应用题

1.长、宽、高均为32m时，用料最省.

2.y

12x.

3《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分10）

1.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（ ）.

A.12 B.13 C.14 D.15

2.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（ ）.

A. B. C. D.

64323.函数zarcsinxy22的定义域为（ ）.

A.x,y0x2y21 B.x,y0x2y21

C.x,y0x2y2222 D.x,y0xy

24.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

5.函数z2xy3x2y的极大值为（ ）.

A.0 B.1 C.1 D.6.设zx3xyy，则22221

2zx1,2（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

7.若几何级数arn0n是收敛的，则（ ）.

A.r1 B.

r1 C.r1 D.r1

8.幂级数n1xn0n的收敛域为（ ）.

A.1,1 B.1,1 C.1,1 D.

1,1

9.级数sinna是（ ）.

4nn1A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定

10.微分方程xyylny0的通解为（ ）. xA.ye B.yce C.ye D.ycxe

cxxx二.填空题（4分5）

x3t1.直线l过点A2,2,1且与直线yt平行，则直线l的方程为__________________________.

z12t2.函数ze的全微分为___________________________.

3.曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.

22xy4.1的麦克劳林级数是______________________.

21xx15.微分方程xdy3ydx0在y三.计算题（5分6）

1条件下的特解为______________________________.

1.设ai2jk,b2j3k，求ab.

2.设zuvuv，而uxcosy,vxsiny，求22zz,.

xyzz,.

xy3.已知隐函数zzx,y由x3xyz2确定，求32222224.如图，求球面xyz4a与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.

5.求微分方程y3y2y0的通解.

四.应用题（10分2）

1.试用二重积分计算由yx,y2x和x4所围图形的面积.

d2x2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律xxt.（提示：2g.当t0dt时，有xx0，dxv0）

dt

试卷2参考答案

一.选择题 CBABA CCDBA.

二.填空题

1.x2y2z1.

112xy2.eydxxdy.

3.8x8yz4.

n2n1x.

n04.5.yx.

三.计算题

31.8i3j2k.

2.zz3x2sinycosycosysiny,2x3sinycosysinycosyx3sin3ycos3y .

xy3.zyzzxz,.

xxyz2yxyz23232a.

3232x4.

5.yC1eC2ex. 四.应用题

1.16.

312gtv0tx0.

22.

x

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）

4 5

A、10 B、20 C、24 D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（ ）

A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k

3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

4、函数z=xsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（ ）

4A、22222222,

, B、,, C、

 D、

222222225、设x2+y2+z2=2Rx，则zz,分别为（ ）

xy D、A、xRyxRyxRy, B、, C、,zzzzzz22xRy,

zz26、设圆心在原点，半径为R，面密度为xy的薄板的质量为（ ）（面积A=R）

A、R2A B、2R2A C、3R2A D、n12RA

2xn7、级数(1)的收敛半径为（ ）

nn1A、2 B、1 C、1 D、3

28、cosx的麦克劳林级数为（ ） 2n2nx2nx2n1nxnxnA、(1) B、(1) C、(1) D、(1)

(2n)!(2n)!(2n)!(2n1)!n0n1n0n0n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ）

A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶

10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ）

A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1、直线L1：x=y=z与直线L2： 直线L3：x1y3z的夹角为___________。

21x1y2z与平面3x2y6z0之间的夹角为____________。

21222、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

3、二重积分d,D:xDny21的值为___________。

xn的收敛半径为__________。 4、幂级数n!x的收敛半径为__________，n!n0n05、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y2的解为___________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

3、计算

4、问级数

5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成.

D(1)n1n1sin收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？

n1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B

10,A

二、填空题

1、arcos218,arcsin8 2、0.96，0.17365

213、л 4、0，+

5、ycex22,cx11

y三、计算题

1、 -3 2 -8

解： △= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138

1 7 -5 7 -5 1 -5 17 2 -8

△x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138

2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7

同理：

-3 17 -8

△y= 2 3 3 =276 , △z= 414

1 2 -5

所以，方程组的解为x

2、解：因为x=t,y=t,z=t,

所以xt=1,yt=2t,zt=3t，

223xyz1,y2,z3

所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3

故切线方程为：x1y1z1

123法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，

所以

D： 1≤y≤2

y≤x≤2

故：xyd[xydx]dyD1y2221y31(2y)dy1

284、解：这是交错级数，因为

11Vnsin0，所以，Vn1Vn,且limsin0，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。nn111sin发散，从而sin发散。1n1，又级数n又sin当x趋于0时，sinx~x，所以，lim5nn1n1nn1n1n所以，原级数条件收敛。12131xxxn、解：因为

2!3!n!x(,)ew1x用2x代x，得：

e2x1(2x)111(2x)2(2x)3(2x)n2!3!n!2222332nn

12xxxx2!3!n!x(,)6、解：特征方程为r2+4r+4=0

所以，（r+2）2=0

得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z

则2（xy+yz+zx）=a2

构造辅助函数

F（x,y,z）=xyz+(2xy2yz2zxa)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

yz+2(y+z)=0

xz+2(x+z)=0

xy+2(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=26a

66a3所以，表面积为a而体积最大的长方体的体积为Vxyz

362

2、解：据题意

dMMdt其中0为常数初始条件M对于t0M0dMM式dtdMdtM两端积分得lnMtlnC所以，Mcet又因为M所以，M0t0

M0C所以，MM0et由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。

《高数》试卷4（下）

一．选择题：31030

１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．

（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３

２．在空间直角坐标系中，方程x2y22表示 ．

（Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面

３．二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是 ．

（Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１）

４．二重积分的积分区域Ｄ是1x2y24，则dxdy ．

D（Ａ） （Ｂ）4 （Ｃ）3 （Ｄ）15

５．交换积分次序后0dx0f(x,y)dy ．

1x（Ａ）01dyf(x,y)dxy1 （Ｂ）01dyf(x,y)dx01 （Ｃ）01dyf(x,y)dx0y （Ｄ）0xdyf(x,y)dx01

６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ． （Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１

７．对于ｎ元线性方程组，当r(A)r(A)r时,它有无穷多组解,则 ．

（Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定

８．下列级数收敛的是 ．

（Ａ）n1~(1)n1nn3(1)n11

（Ｂ）n （Ｃ） （Ｄ）n12nnn1n1n1９．正项级数un和vn满足关系式unvn，则 ．

n1n1（Ａ）若un收敛，则vn收敛 （Ｂ）若vn收敛，则un收敛

n1n1n1n1（Ｃ）若vn发散，则un发散 （Ｄ）若un收敛，则vn发散

n1n1n1n1１０．已知：11的幂级数展开式为 ．

1xx2，则1x1x2（Ａ）1x2x4 （Ｂ）1x2x4 （Ｃ）1x2x4 （Ｄ）1x2x4

二．填空题：4520

１． 数zx2y21ln(2x2y2)的定义域为 ．

y２．若f(x,y)xy，则f(,1) ．

x(x0,,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)a则 ３．已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点，若fxx当 时，(x0,y0)一定是极小点．

４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式3A

A

５．级数un收敛的必要条件是 ．

n1三．计算题(一)：6530

１．

２．

1３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝2201231012，Ｂ＝，求未知矩阵Ｘ．

1001已知：zxy，求：zz，．

yx计算二重积分4x2d，其中D{(x,y)|0y4x2,0x2}．

D

４．求幂级数(1)n1n1xn的收敛区间．

n

５．求f(x)ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．

四．计算题(二)：

10220

１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．

xyz1设方程组xyz1，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解．

xyz1２．

参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

二．１．(x,y)|1x2y22 ２．四． 1．解：y ３．6a6 ４．２７ ５．limun0

nxzzyxy1xylny

xy24x22．解：4x2d0dx0Dx3164x2dy(4x2)dx4x

0330223．解：B1127210012,AB12415.

001(1)n1４．解：R1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得收敛，

nn1当x1时，得５．解：.因为ex(1)2n11发散，所以收敛区间为(1,1].

nnn1n1xn(x)n(1)nnxx

x(,).

x(,),所以en!n!n!n0n0n0ijk四．1．解：.求直线的方向向量:s121i3j5k,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所211以交线的标准方程为:.x2yz

135111111111111~00110 2．解：A1111110111111110112100(1) 当2时,r(A)2,(A~)3,无解;

(2) 当1,2时,

r(A)(A~)3,有唯一解:xyz12;

x1c1(3) 当1时,

r(A)(~A)1,有无穷多组解:

c2yc1(c1,c2为任意常数)

zc2

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知aij，bk，则ab（ ）

A 0 B

ij C

ij D

ij

2、空间直角坐标系中x2y21表示（ ）

A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面

3、二元函数zsinxyx在（0，0）点处的极限是（ ）

A 1 B 0 C

 D 不存在

14、交换积分次序后dxx,y)dy=（ ）

01xf(11 A

dy1x,y)dx B

dy100f(x0f(x,y)dx

111C

dyyf(x,y)dx D

dyyf(x,y)dx

000(1)(2)15、二重积分的积分区域D是xy1，则dxdy（ ）

DA 2 B 1 C 0 D 4

6、n阶行列式中所有元素都是1，其值为（ ）

A 0 B 1 C n D n!

7、若有矩阵A32，B23，C33，下列可运算的式子是（ ）

A

AC B

CB C

ABC D

ABAC

8、n元线性方程组，当r(A)r(A)r时有无穷多组解，则（ ）

A r=n B rn D 无法确定

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（ ）

A 必等于零 B 必不等于零

C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零

10、正项级数~un1nn和vn1n满足关系式unvn，则（ ）

A 若un1收敛，则vn1n收敛 B 若vn1n收敛，则un1n收敛

C 若vn1n发散，则un1n发散 D 若un1n收敛，则vn1n发散

二、填空题（4分/题）

1、 空间点p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为

2、 函数f(x,y)x4y6x8y2在点 处取得极小值，极小值为

3、

A为三阶方阵，A3 ，则A

220x4、 三阶行列式x0yz5、 级数yz=

0un1n收敛的必要条件是

三、计算题（6分/题）

1、 已知二元函数zy

2、 求两平面：x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。

2x，求偏导数zz，

xy

3、 计算二重积分

Dx2dxdy，其中D由直线x2，yx和双曲线xy1所围成的区域。

2y2234、 求方阵A110的逆矩阵。

121

(x1)n5、 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

n5n1

四、应用题（10分/题）

1、 判断级数

(1)n1n11的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

pnx1x2x312、 试根据的取值，讨论方程组x1x2x31是否有解，指出解的情况。

xxx1231

参考答案

一、选择题（3分/题）

DCBDA ACBCB

二、填空题（4分/题）

1、3 2、（3，-1） -11 3、-3 4、0 5、limun0

n三、计算题（6分/题）

1、zz2xy2x1

2y2xlny，yxx2y0z0

1359 3、

4 2、143 4、A153

1641 5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）

四、应用题（10分/题）

1、 当p0时，发散；

0p1时条件收敛；

p1时绝对收敛

2、 当1且2时，r(A)r(A)3，A0，方程组有唯一解；

当2时，r(A)3r(A)2，方程组无解；

当1时，r(A)r(A)13，方程组有无穷多组解。

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