2023年12月11日发(作者：桐城教师招聘中学数学试卷)

4.5.1 函数的零点与方程的解

教材分析：

（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.

（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.

从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.

从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.

函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.

函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。

（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.

函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。

函数的零点把函数与方程联系起来，是建立函数与方程思想的基础.函数的零点与方程的实数解的关系为函数在解方程方面的应用提供了理论依据.函数零点存在定理为判断方程是否有解提供了具体的方法，为下一步“用二分法求方程的近似解”做好了准备.在这些知

1 识的学习过程中，学生会接触到数形结合、化归转化、函数与方程等数学思想，从而体会到数学的整体性.

函数的应用包括两方面，一是数学内部应用，二是实际应用，其实质都是构造函数模型解决问题，本节课主要任务是利用函数确定方程是否有解，体现出函数在数学内部的应用.学生现有知识不足以严格证明零点存在定理，需要结合具体实例，借助几何直观，归纳一般结论，经历由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程。因此，本节课的学习对发展学生的直观想象、数学抽象、数学建模等核心素养有一定的促进.

本节课的教学重点是：函数的零点与方程的解之间的关系，函数零点存在定理.

学情分析：

学生已经学习了二次函数的零点和一元二次方程的解的关系，由此上升到一般函数的情形困难不大.

函数零点存在定理通过几何直观比较容易理解，但由于定理成立的条件比较多，使用时容易混淆和遗漏，这会为学生正确运用定理解决问题造成一定的困难.

本节课的教学难点是：函数零点存在定理及其应用。

为破解该难点，在得出定理之前，可以从考察二次函数存在零点时，函数图象的特征以及零点附近函数值的变化规律入手，让学生画几个函数的图象，充分感知定理成立的条件；在得出定理之后，让学生举一些反例，强化对定理成立条件的理解.

教学目标：

1.理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程的解之间的关系，体会数学的整体性。

2.结合二次函数的图象，经历由特殊到一般的思维过程，了解函数零点存在定理，发展数学直观想象和数学抽象核心素养。

3.会利用函数判断方程是否有解，了解函数在解决数学问题方面的应用，发展数学建模核心素养。

教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.

教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解.

教学过程：

（一）复习引入

节引言：在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性

2 质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题.本节课我们首先研究如何利用函数判断一个方程存在实数解.

问题1：方程2021x2-2023x+1=0有实数解吗？你的判定依据是什么？

师生活动：学生结合已有经验解决，教师予以整理。

预设的答案：

学生可能有两种解决办法：（1）利用一元二次方程根的判别式；（2）设f(x)=2021x2-2023x+1，注意到f(1)=-1和f(0)=1，画出函数在区间（-1,0）的草图.

追问：上述问题的求解体现了一元二次方程的实数根与相应二次函数怎样的关系？

预设的答案：一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.

设计意图：以一个二次方程是否有解的问题引发学生对本节课所学内容的思考.解法

（2），既复习了二次函数与一元二次方程的关系，对已有知识做了复习,又利用函数图象的特征以及函数值的符号判断函数零点是否存在，对即将学习的内容做了铺垫.

（二）形成定义

问题2：类比问题1及其追问，你会用怎样的办法来判断方程lnx+2x-6=0是否有实数解呢？

预设的师生活动：方程lnx+2x-6=0没有求根公式，因此，也没有根的判别式，要判断这个方程是否有实数解，学生不能类比问题1的解法（1），只能类比问题1的解法（2）.

预设的答案：根据问题1及其追问的答案，可以用类似于二次函数的零点和一元二次方程解的关系，通过判断函数y=lnx+2x-6的图象与x轴是否有交点来判断方程lnx+2x-6=0是否有解.

设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有解的讨论，明确利用函数研究方程的思路.

问题3：对于任意一个方程f(x)=0，你会用怎样的办法来判断它是否有实数解呢？

预设的师生活动：学生经历由特殊到一般的思考之后回答问题，教师在学生回答的基础上形成函数零点的概念.

预设的答案：对于任意一个方程f(x)=0，可以通过判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点来判断方程f(x)=0是否有解.由此形成函数的零点的定义.

定义：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

3 追问：在这个定义中蕴含着哪些等价关系？利用该定义可以解决哪些问题？其中蕴含着怎样的数学思想？

师生活动：学生在教师的引导下自主思考或小组讨论之后回答问题.学生的答案可能比较发散，教师要帮助学生总结和提炼.

预设的答案：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.这些等价关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法，也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解.其中蕴含着数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想.

设计意图：在具体例证的基础上形成概念，最终明确：对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.

（三）确定方法

下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手，研究判断函数在其定义域内的某一区间上存在零点的方法.

问题4：如何利用函数f(x)的取值规律来刻画函数在某个区间内有零点？

追问1：如图1，对于二次函数f(x)=x2-2x-3，观察它的图象，发现它在区间[2,4]上有零点，这一区间内函数图象与x轴有什么关系？相应的f(x)的取值有什么规律？你能用f(x)在区间[2,4]上的两个具体的函数值来刻画它们吗？

4

预设的师生活动：先由学生观察图象，寻找规律。教师予以提示：注意观察在这个连续变化过程中，函数值的符号的变化特点.

预设的答案：函数f(x)=x2-2x-3在区间[2,4]上的图象“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴下方，零点右侧图象在x轴上方，相应的f(x)取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0.由于f(x)的图象在区间[2,4]上是一条连续不断的曲线，所以这一情形可以用f(2)<0且f(4)>0来刻画.

追问2：函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,0]上的图象与x轴有什么关系？相应的f(x)的取值有什么规律？你能用f(x)在区间[-2,0]上的两个具体的函数值来刻画它们吗？

预设的答案：与在区间[2,4]上的情况类似，函数f(x)=x2-2x-3图象在区间[-2,0]上“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴上方，零点右侧图象在x轴下方，相应的f(x)取值在零点左侧大于0，在零点右侧小于0.由于f(x)的图象在区间[-2,0]上是一条连续不断的曲线，所以这一情形可以用f(-2)>0且f(0)<0来刻画.

追问3：追问1和2的共性是什么？由此，你能给出一个确定函数在其定义域的某一区间上存在零点的方法吗？

预设的师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.

预设的答案：

追问1和2答案的共性是：当函数的图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x轴，零点两侧的函数值符号相反，这样的规律可以用这个区间两个端点的函数值乘积小于零来刻画.

由此，可以得到一个确定函数在其定义域的某一区间上存在零点的方法：当一个函数在某一区间上的图象连续不断时，可以通过这个区间两个端点的函数值乘积小于零，来确定函数在此区间上存在零点.

追问4：你能再举一些例子，说明你的方法可行吗？你能举出函数在某一点两侧的函数值符号相反，但函数在这一点是“间断的”，从而函数在这一点附近没有零点的例子吗？

预设的师生活动：学生举例，教师也补充例子，调动学生的深度思考.可以让学生先任意给出一个函数和一个区间，计算区间端点的函数值，当符号相反时，画出图象进行确认.

比如可以举出如下的例子：

5

追问5：研究了这么多的具体例子，我们已经直观地看到什么情况下函数在某个区间上有零点了.你能够用自己的语言描述出怎样判断函数f(x)在区间[a,b]上存在零点吗？

预设的师生活动：学生用自己的语言描述清楚判断方法即可.

预设的答案：形成函数零点存在定理。

函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点，即存在c（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(c)=0的解.

设计意图：经历由特殊到一般的思考，研究判断函数在其定义域内的某一区间上存在零点的方法，得到函数零点存在定理，提升学生的直观想象核心素养.

（四）规则辨析

问题5：关于函数f(x)在区间(a,b)上的零点的存在情况，下列判断正确吗？错误的请举出反例，并增加一些条件使其结论成立.

1.若f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点；

2.若f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点；

3.若f(x)在区间(a,b)内存在零点，则f(a)f(b)<0；

4.若f(x)在区间(a,b)内不存在零点，则f(a)f(b)>0.

师生活动：学生通过思考和回答上述问题，对函数零点存在定理的条件和结论有了更加深刻的认识.教师引导学生深化对定理的理解。

预设的答案：

6

教师讲解：

对于函数零点存在定理要明确以下几点：

（1）根据零点存在定理判断函数f(x)在区间（a,b）上存在零点的依据是“f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断”和“f(a)f(b)<0”，两者缺一不可.

（2）函数零点存在定理的逆命题不一定成立.

（3）函数零点存在定理只能确定零点存在，零点的个数需要结合函数的单调性等性质进一步研究.

设计意图：通过四个判断真假的问题，强化学生对于函数零点存在定理的理解。

（五）定理应用

例 求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.

师生活动：先由学生独立解决，之后展示交流.教师利用软件画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,y的对应值表，进一步明确思路，规范解答.

预设的答案：

7 由f(2)f(3)<0可知，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内至少有一个零点.容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6在是增函数，所以它只有一个零点,即相应方程lnx+2x-6=0只有一个实数解.

设计意图：学会将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数.

练习1:图2中的（1）（2）（3）分别为函数y=f(x)在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数y=f(x)在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

师生活动：学生回答.

预设的答案：不能仅根据其中一个图象，得出函数y=f(x)在某个区间只有一个零点的判断．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x轴有1个交点，从图（2）观察到它与x轴有2个交点，从图（3）观察到它与x轴有3个交点，所以凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．

设计意图：通过一个实例，巩固学生对于函数零点的认识.让学生体会到，根据函数图象判断函数的零点情况虽然直观，但不严谨.

练习2:利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：

师生活动：学生利用GGB软件画出函数图象，并说指出函数零点所在大致区间.

预设的答案：根据图象判断函数零点所在大致区间为：

（1）（1，2）；

（2）（3，4）；

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（3）（0，1）；

（4）（－4，－3），（－3，－2），（2，3）．

设计意图：考查学生结合函数的图象，利用函数零点存在定理确定零点所在区间.

（六）梳理小结

问题6：如何判断一个不能用公式求解的方程是否有解？函数零点存在定理的主要内容是什么？运用它判断函数零点存在时需要注意些什么？在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其他方面的收获？

师生活动：学生回答，学生补充，教师引导.

预设的答案：对于一个不能用公式求解的方程，我们可以通过判断这个方程对应的函数是否存在零点来判断这个方程是否有解.零点存在定理的主要内容是：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点.运用它判断函数零点存在时需要注意：（1）根据零点存在定理判断函数f(x)在区间（a,b）上存在零点的依据是“f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断”和“f(a)f(b)<0”，两者缺一不可.（2）函数零点存在定理的逆命题不一定成立.（3）函数零点存在定理只能确定零点存在，零点的个数需要结合函数的单调性等性质进一步研究.在本节课的学习中，我们经历了由特殊到一般，由具体到抽象的学习过程，其中涉及到数形结合、函数与方程等数学思想.

设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获.

（七）布置作业

教科书习题4.5第1,2,3，7题.

六、目标检测设计

1.已知函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点2，则函数g(x)=bx2+2ax的零点是___ ．

设计意图：加深对函数零点概念的理解.

2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：

那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

设计意图：加深对函数零点存在定理的理解

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3.设函数内存在零点．

，其中x∈R ，当m＞1时，证明函数f(x)在区间(0,m) 设计意图：巩固函数零点存在定理的应用.

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