1993考研数三真题及解析

2023年12月11日发(作者：数学试卷孩子写反思评语)

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

3x252sin . (1)

limx5x3x

(2) 已知yfdy3x22,fxarctanx,则dx3x2 .

x0(ln3)n(3) 级数的和为 .

n2n0(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为 .

(5) 设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

*1xsin,x0,2(1) 设fx则fx在点x0处 ( )

xx0,0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续

(C) 连续但不可导 (D) 可导

(2) 设fx为连续函数,且Fxlnx1xftdt,则Fx等于 ( )

(A)

11111flnx2f (B)

flnxf

xxxxx111flnx2f (D)

flnxxxx1f

x(C)

(3)

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 ( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件

(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

(4) 假设事件A和B满足P(BA)1,则 ( )

(A)

A是必然事件 (B)

P(BA)0.

(C)

AB (D)

AB (5) 设随机变量X的密度函数为(x),且(x)(x).F(x)是X的分布函数,则对任意实数a,有 ( )

(A)

F(a)11a(x)dx. (B)

F(a)(x)dx

020a(C)

F(a)F(a) (D)

F(a)2F(a)1

三、(本题满分5分)

设zfx,y是由方程zyxxe

四、(本题满分7分)

xa22x已知lim4xedx,求常数a的值.

axxaxzyx0所确定的二元函数,求dz.

五、(本题满分9分)

设某产品的成本函数为Caqbqc,需求函数为q21(dp),其中C为成本,qe为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:

(1) 利润最大时的产量及最大利润;

(2) 需求对价格的弹性;

(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.

六、(本题满分8分)

假设:(1) 函数yf(x)(0x)满足条件f(0)0和0f(x)e1;

(2) 平行于y轴的动直线MN与曲线yf(x)和ye1分别相交于点P1和P2;

(3) 曲线yf(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度.

求函数yf(x)的表达式.

七、(本题满分6分)

假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线yf(x)相交于点C(c,f(c)),其中0c1.

证明:在(0,1)内至少存在一点,使f()0.

xx八、(本题满分10分)

k为何值时,线性方程组

x1x2kx34,2x1kx2x3k,

xx2x4312有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.

九、(本题满分9分)

设二次型

22fx12x2x32x1x22x2x32x1x3

22TT经正交变换XPY化成fy22y3,其中X(x1,x2,x3)和Y(y1,y2,y3)是三维列向量,

P是3阶正交矩阵.试求常数,.

十、(本题满分8分)

设随机变量X和Y同分布,

X的概率密度为

32x,0x2,

f(x)8其他.0,(1) 已知事件AXa和BYa独立,且PA(2) 求3B.求常数a.

41的数学期望.

X2

十一、(本题满分8分)

假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布.

(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】6

5223x523x5sin2lim2limx5x3x5x3xx2xx2sin3x256x3sintx洛lim, 极限

limlim1, 而

lim2xxxt025x3x10x5tx【解析】

limsin2x,

3x25236sin21. 所以

limx5x3x55(2)【答案】3

43x212,则

g03,

,则有g01,

gx23x23x2【解析】令gx由复合函数求导法则知

dydx(3)【答案】fg0g03f13arctan1x03.

42

2ln3【解析】利用几何级数求和公式xnn01ln3(x1),令x,即得

1x2(ln3)n12.

nln322ln3n012(4)【答案】0

【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.

*由于rA2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aij0,故A0.

所以秩

rA0.

*若熟悉伴随矩阵A秩的关系式

*n, rAn,rA*1,rAn1,

0,rAn1,易知

rA*0.

注：按定义

A11A*A12A1nA21A22A2nAn1An2,

Ann伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n1阶子式.

(5)【答案】(4.804,5.196)

【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.

因X的方差为1,设X的期望为,则UX/n2N(0,1).

当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知uu0.0251.96.因此用公式：

I(xnu,x2nu).

2将x5,1,n100,u1.96代入上式,得到所求的置信区间为I(4.804,5.196).

2

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(C)

【解析】利用函数连续定义判定.

由于当x0时,sin1为有界变量,2xx0x为无穷小量,则

10,且f00.

x2limfxlimx0xsin于是fx在x0处连续.故(A)(B)不正确.

xsin又因为limx01f0x2limx0x0xsin1x2lim1sin1不存在,所以fxx0xx2x在x0处不可导,所以选(C).

【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续,则有limf(x)limf(x)f(x0).

xx0xx0(2)【答案】(A)

【解析】

Fxflnx1x11flnx11f22f.

xxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：

dxftdtfxxfxx.

dxx(3)【答案】(B)

【解析】AA有n个线性无关的特征向量.

由于当特征值12时,特征向量1,2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.

因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).

(4)【答案】(D)

【解析】P(BA)1的充分必要条件是P(AB)1,即P(AB)P(A).显然四个选项中,P(A)当AB时,ABA,可得P(AB)P(A).因此AB是P(BA)1的充分条件.因此选(D).

(5)【答案】(B)

【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.

由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有

F(a)(x)dx(t)dt(x)dx,

aaxta随机变量X的密度函数为(x),则(x)dx1,又由于(x)(x),所以

12即0(x)dx(x)dx,(偶函数积分的性质)

0a0aa(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx.

a012于是

F(a)a(x)dx(x)dxa01a(x)dx(x)dx(x)dx.

020a

故应选(B).

三、(本题满分5分)

【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得

dzdydxezyxdxxezyxdzdydx0.

整理后得

1xezyxdz1xezyxezyxdx1xezyxdy. 1xezyxezyxdxdy. 由此,得dz1xezyx方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将zyxxezyx0两边分别对x,y求偏导,

zyxzyxz1exezx10,xzyxz1xezy10,y1x1ezyx解之得

z,

x1xezyxzy1.

1x1ezyxdxdy. 故

dzzxdxzydyzyx1xe

四、(本题满分7分)

【解析】

lim令2a2axalim1lim1xxxaxaxxaxxxa2ax2axa,

2at,则当x时,t0,

xa2alim1xxaxa2alim1te,

t02axlimxxa1t2a所以

lim1xxa而

xa2ax2axaee2a.

a4x2e2xdx2ba22x2xx2de2x2xe4xedx

aa22b

lim2be

2ae22a2a2e2a22xaxde2x

2xe2x2edx

aa

2ae22a2b2a2b2alim2be2aelimeeb

b

2ae由e2a22a2ae2ae2a,

2a2e2a2ae2ae2a,得a2a0,所以a0或a1.

五、(本题满分9分)

【解析】(1) 利润函数为 LpqC(deq)q(aq2bqc)(db)q(ea)q2c,

对q求导,并令dLdLdb0,得(db)2(ea)q0,得q.

dqdq2(ea)d2Ldb2(ea)0,q因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利dq22(ea)润的最大值点,所以Lmax(db)2c.

4(ea)(2) 因为q(p)peqd11.

(dp),所以q(p),故需求对价格的弹性为qqeqee(3) 由1,得qd.

2e

六、(本题满分8分)

x【解析】由题设可得示意图如右.设P1(x,f(x)),P2(x,e1),则SPP12,

即

x0f(t)dtex1f(x).

xx两端求导,得f(x)ef(x),即f(x)f(x)e.

由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得

p(x)dxp(x)dxf(x)e(q(x)edxC)

dxdx1e(exedxC)(exexdxC)exCexex.

211xx由初始条件f(0)0,得C.因此,所求函数为f(x)(ee).

22【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的通解公式为:

p(x)dxp(x)dxye(q(x)edxC),其中C为常数.

七、(本题满分6分)

【解析】因为f(x)分别在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在1(0,c),2(c,1),使得

f(1)f(c)f(0)f(1)f(c),f(2),

c01c由于点C在弦AB上,故有f(c)f(0)f(1)f(c)f(1)f(0)f(1)f(0),

c01c10从而

f(1)f(2)f(1)f(0).

这表明f(x)在区间[1,2]上满足罗尔定理的条件,于是存在(1,2)(0,1),使得

f()0.

八、(本题满分10分)

【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,

第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以1k加到第三行上,有

211kA1k11122113

0k12k2041121k1k2411k4k2

448

k2441120k242k2830k1112

02k2(1k)(4k)00248.

k(k4)(1)当k1且k4时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解,即

k22kk22k42kx1,x2,x3.

k1k1k1(2)当k1时,

r(A)3,r(A)2方程组无解.

112(3)当k4时,有A02200041030118000004.

0因为r(A)r(A)23,方程组有无穷多解.

取x3为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0).

T又导出组的基础解系为(3,1,1),所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即r(A)r(A).(或者说,b可由A的列向量1,2,等同于1,2,T,n线表出,亦,n与1,2,,n,b是等价向量组)

设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则

（1） 有唯一解



r(A)r(A)n.

（2） 有无穷多解



r(A)r(A)n.

（3） 无解



r(A)1r(A).



b不能由A的列向量1,2,

九、(本题满分9分)

,n线表出.

1【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为A111101.

,B12由于P是正交矩阵,有PAPB,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有

22A20,0.

EA20.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x1,x2,次的多项式)

,xn的二次齐次多项式(即每项都是二fx1,x2,称为n元二次型,令xx1,x2,,xnaijxixj,其中aijaji,

i1j1nn,xn,Aaij,则二次型可用矩阵乘法表示为

Tfx1,x2,,xnxTAx,

,xn的矩阵. 其中A是对称矩阵AA,称A为二次型fx1,x2,T

十、(本题满分8分)

【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则 PAPXaPYaPB,

又事件AXa和BYa独立,故PABPAPB.

估计广义加法公式：

23PABPAPBPAPB2PAPA.

42313解以P(A)为未知量的方程

得,(因不合题PA2PA0.P(A)P(A)422意).

再依题设条件可知

2311P(A)P{Xa}f(x)dxx2dx(8a3).

aa828再解以a为未知量的方程:8a4,得a334.

(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:

121323312E2fxdxxdxdxxx20x2808X8203.

4

十一、(本题满分8分)

【解析】本题的关键在于理解随机变量Nt的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t(t)kt的时间内发生k次故障,其概率为P{Ntk}e(k0,1,2).

k!由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t0时,FtPTt0;当t0时,事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件Nt0.

(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.

当t0时,FtPTt0;

当t0时,事件Tt与Nt0等价.于是有

FtPTt1PTt1PNt01et.

1et,t0因此

Ft.

0,t计算得知T服从参数为的指数分布.

(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此

QPT16|T8PT81PT81F(8)1(1e8)e8.