2023年12月11日发(作者：万门高中数学试卷)
上海世博会影响力的定量评估
摘要
本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。
在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以我们运用层次分析法，构造成对比矩阵a，找到最大特征值
，运用
进行一致性检验，这样对成对比矩阵a进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。
在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP上，我们直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的GDP的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在1.2%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海GDP的影响。运用公式
可以计算出世博对上海GDP的影响力的大小为
。
关键词：层次分析法 模糊数学 线性回归 城市基础建设 GDP
1 问题重述
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2 问题分析
对于模型一，为了定量评估2010年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个GDP的增长中占有很大的比重，对GDP的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。
对于模型二，直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。
3 模型假设
3.1假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.2 假设不同时期国家的经济实力不同，对城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。
3.3 假设我们查到的数据真实可靠。
4符号说明
为一致性指标；
为随机一致性指标；
为一致性比率；
为成对比较矩阵的最大特征值；
分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010年各项投入金额的理论预测值；
分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010年各项实际投入金额；
分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2009年各项实际投入金额；
分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010年理论投入金额的增长率的理论计算值；
分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设各项2010年实际投入的增长率计算值；
表示无世博情况下2010年GDP的预测值；
表示有世博情况下2010年GDP的预测值；
表示世博对上海GDP的影响率；
5模型的建立与求解
模型一
第一步：我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，运用层次分析法确定世博会的召开对选取城市基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。层次结构示意图如图1所示：
图1层次分析结构图
第二步：构造成对比较阵。我们结合上海统计年鉴（见附录1）中的相关数据，我们对原始数据进行处理，得到表1的相关数据，如下表所示：
2002-2009城市基础设施投资额
年份 电力建设
2002 62.14
2003 66
2004 89.52
2005 124.22
交通运输
63.01
273.77
316.96
385.58
邮电通信
108.23
76.58
54.39
58.32
公用事业
148.42
36.91
26.92
41.33
市政建设
201.69
151.36
184.8
276.28
2006 116.23
2007 163.3
2008 129.53
2009 253.39
合计 1004.33
589.52
840.46
838.91
978.24
4286.45
113.72
101.57
108.59
122.66
744.06
56.23
60.9
112.81
135.95
619.47
249.84
300.11
543.34
623.21
2530.63
表1 2002-2009城市基础设施投资额
结合表1，运用1—9尺度得到电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设两两之间的比，得到权重的两两对比值如下表2所示
电力建设
交通运输
邮电建设
共用设施
市政建设
则成对比较矩阵为
电力建设
1
6
1/2
1/3
4
交通运输
1/6
1
1/7
1/8
1/4
邮电建设
2
7
1
1
4
共用设施
3
7
1
1
4
市政建设
1/4
4
1/4
1/4
1
表2 权重的两两对比值
第三步：计算权向量并做一致性检验。我们使用matlab计算出矩阵A的最大特征值
，并利用和法计算出特征向量，并将特征向量归一化后得到特征向量为
，并利用
计算出一致性指标
=0.050675，并查出
时的随机一致性指标
,计算出一致性比率
,因此一致性检验通过，这时最大特征值对应的特征向量
即为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设这五个因素的权重。
第四步：我们考虑从上海统计年鉴（见附录）表中2002年开始到2009年各项基础设施的投资额的数据进行多项式拟合，就能找到最契合投资额与时间的函数表达式，这样就能预测2010年的各项投资额数据。
为此我们利用表3至表7预测的曲线分别计算出2010年城市基础设施建设中的电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设这五个方面的投入金额
。再与2009年的实际值
进行比较，运用公式计
（1）算出理论上的增长率。
图2电力建设投入-时间关系
根据电力建设投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式
①，我们可以求出2010年电力建设投入的理论值应该是
亿元。从而由公式（1）计算出电力投入的理论增长率是
。
图3 交通运输投入-时间关系
根据交通运输投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式
②，我们可以求出2010年交通运输投入的理论值应该是
亿元。从而由公式（1）计算出交通运输投入的理论增长率是
。
图4 邮电通信投入-时间关系
同理根据邮电通信投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式
③，我们可以求出2010年交通运输投入的理论值应该是
亿元。从而由公式（1）计算出邮电通信投入的理论增长率是
。
图5共用设施建设投入-时间关系
同理根据共用设施建设投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式
④，我们可以求出2010年交通运输投入的理论值应该是
亿元。从而由公式（1）计算出共用设施建设投入的理论增长率是
。
图6市政建设投入-时间关系
同理根据市政建设投入-时间关系趋势线预测曲线的函数表达式
⑤，我们可以求出2010年市政建设投入的理论值应该是
亿元。从而由公式（1）计算出市政建设投入的理论增长率是
。
2010年实际城市基础设施建设的投入与2009年的实际城市基础设施建设的投入进行对比，运用公式
（2）分别计算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设实际增长率。
通过查找相关数据，我们知道了2010 城市基础设施建设中的电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设各项实际投入的金额，如下表3所示
2010年
实际投入（亿元）
根据上表中给的数据，运用公式（2）我们就可以算出电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设各项2010年实际投入相对2009年实际增长率分别是
。
电力建设 交通运输 邮电通信 共用设施 市政建设
349．05
1490.23
258.68
215.37
879.80
表3 各项实际投入的金额 通过上面的
和
计算结果，分别表示2010年没有世博的预测投入的增长率，和有世博的实际增长率。我们可以由这两组数据建立评价指数表如下表4所示。
比
较
内
容
增
长
率
%
指
标
电力建设投入
交通运输投入
邮电通信投入
共用设施投入
市政建设投入
表4评价指数表
将表4中的每一行进行归一化处理，可以得到表5归一化后的评价指数表，如下表所示
比 预测的结果 实际的结果
24.24
6.65
7.64
32.94
30.29
37.75
52.34
63.05
58.42
41.17
预测的结果 实际的结果 较
内
容
数
据
指
标
电力建设投入
交通运输投入
邮电通信投入
共用设施投入
市政建设投入
写成矩阵形式为
0.39
0.11
0.11
0.36
0.42
0.61
0.89
0.89
0.64
0.58
表5归一化后的评价指数表
它的权重向量为
组合权向量为
进一步我们将它们进行归一化后得到
则结果表明召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。
模型二
本模型中，先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。
第一步：根据上海年鉴数据得到1978年至2009年上海市GDP的相关数据（见附录7.2），并对其进行初步处理得到1978年至2002年的上海市GDP的相关数据，由线性回归得到无世博时年份与GDP之间的函数关系，见下图：
图7无世博预测曲线
第二步：由无世博预测曲线的函数关系式：
计算出无世博情况下1998年-2002年的GDP预测值，并与实际数据比较得到下表：
年份
实际GDP（亿元）
预测GDP（亿元）
1998
3801.09
3244.7
1999
4188.73
3739.8
2000
4771.17
4210.4
2001
5210.12
4968.1
2002
5741.03
5726.1
表6 无世博GDP实际值与预测值对比
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