1984年全国统一高考数学试卷(文科)

2023年12月2日发(作者：职教高考数学试卷难度大吗)

1984年全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（ ）

A

．

X⊂Y Y X=Y XB．X

⊃C． D．

≠Y

2．（3分）函数y=f（x）与它的反函数y=f﹣1（x）的图象（ ）

A

． 关于y轴对称 B．关 于原点对称

C

． 关于直线D．关 于直线x﹣y=0对称

x+y=0对称

3．（3分）复数

A

． B．

的三角形式是（ ）

C．

D．

4．（3分）直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）

A

． 一条直线不相B．两 条直线不相交

交

C

． 任意一条直线D．无 数条直线不相交

都不相交

5．（3分）（2010•泸州二模）方程x2﹣79x+1=0的两根可分别作为（ ）

A

． 一椭圆和一双B．两 抛物线的离心率

曲线的离心率

C

． 一椭圆和一抛D．两 椭圆的离心率

物线的离心率

二、解答题（共13小题，满分105分）

6．（4分）已知函数log0.5（2x﹣3）＞0，求x的取值范围．

7．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

8．（4分）已知实数m满足2x2﹣（2i﹣1）x+m﹣i=0，求m及x的值．

9．（4分）求

10．（4分）求的值．

的展开式中x的一次幂的系数．

11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

12．（6分）画出方程y2=﹣4x的曲线．

13．（6分）画出函数的图象．

14．（12分）已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零，求证它们的倒数所组成的数列

不可能成等差数列．

15．（14分）把化成三角函数的积的形式（要求结果最简）．

16．（14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm2，求截得的三棱锥D﹣ABC的体积．

17．（14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）

18．（15分）已知两个椭圆的方程分别是

C1：x2+9y2﹣45=0，

C2：x2+9y2﹣6x﹣27=0、

（1）求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；

（2）求经过这两个椭圆的交点且与直线x﹣2y+11=0相切的圆的方程．

1984年全国统一高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（ ）

A

．

X⊂Y Y X=Y XB．X

⊃C． D．

≠Y

考点： 集合的包含关系判断及应用．

分析： 题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．

解答： 解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}

∴其中的元素是π的奇数倍．

∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}

∴其中的元素也是π的奇数倍．

∴它们之间的关系是X=Y．

故选C．

点评： 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须

对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．

2．（3分）函数y=f（x）与它的反函数y=f﹣1（x）的图象（ ）

A

． 关于y轴对称 B．关 于原点对称

C

． 关于直线D．关 于直线x﹣x+y=0对称 y=0对称

考点： 反函数．

专题： 阅读型．

分析： 原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，直接判定选项即可．

解答： 解：根据反函数的性质，原函数与反函数的图象关于y=x对称，

故选D．

点评： 本题考查反函数的基本知识，是基础题．

3．（3分）复数

A

．

考点：

分析：

B．

的三角形式是（ ）

C．

D．

复数的基本概念．

复数由代数形式化为三角形式，注意实部是，虚部是，思考找一个角是它的余弦是，正弦是解答：

解：∵，这个角是﹣，

，

点评：

∴，

故选A

复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误，特别注意符号问题．

4．（3分）直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）

A

． 一条直线不相B．两 条直线不相交

交

C

． 任意一条直线D．无 数条直线不相交

都不相交

考点： 直线与平面平行的判定．

专题： 压轴题．

分析： 根据直线与平面平行的判断定理，若直线与平面平行则这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，从而求解．

解答： 解：∵直线与平面平行，由其性质可知：

点评：

∴这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，

A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；

B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；

D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故D错误；

故选C．

此题考查直线与平面平行的判断定理：

公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上

公理三：三个不共线的点确定一个平面

推论一：直线及直线外一点确定一个平面

推论二：两相交直线确定一个平面，

这些知识要熟练掌握．

5．（3分）（2010•泸州二模）方程x2﹣79x+1=0的两根可分别作为（ ）

A

． 一椭圆和一双B．两 抛物线的离心率

曲线的离心率

C

． 一椭圆和一抛D．两 椭圆的离心率

物线的离心率

考点： 椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

专题： 综合题；压轴题．

分析： 根据韦达定理可知两根之积等于1，两根之和等于79，故可判断两个根必然是一个大于1一个小于1．根据椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1进而可断定两根可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率．

解答： 解：设两根为x1，x2，x1＞x2，则x1x2=1，x1+x2=79

∴x1＞1，x2＜1

∵椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1

∴两根可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率

故选A

点评： 本题主要考查了椭圆和双曲线的基本性质．属基础题．

二、解答题（共13小题，满分105分）

6．（4分）已知函数log0.5（2x﹣3）＞0，求x的取值范围．

考点： 对数函数的单调性与特殊点．

专题： 计算题．

分析： 原不等式可化为log0.5（2x﹣3）＞log0.51根据对数函数的单调性即可解得结果．

解答： 解：原不等式可化为log0.5（2x﹣3）＞log0.51，

∴O＜2x﹣3＜1，

∴．

点评：

答案：

本题考查对数函数的性质，对数函数的底数大小，影响着函数的单调性，解题时，应注意对底数的观察分析

7．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题： 计算题；分类讨论．

分析：

解答：

圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．

解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，

当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是

当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是

点评：

8．（4分）已知实数m满足2x2﹣（2i﹣1）x+m﹣i=0，求m及x的值．

考点： 复数相等的充要条件．

专题： 计算题．

分析： 由题意知，m和x都使的等式成立，把所给的等式化为两个复数相等的形式，使得两个复数的实部和虚部分别相等，解关于m和x的方程组，得到结果．

解答： 解：∵实数m满足2x2﹣（2i﹣1）x+m﹣i=0，

∴2x2+x﹣2xi=﹣m+i，

∴2x2+x=﹣m，﹣2x=1，

综上所求圆柱的体积是：或．

本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．

点评：

∴m=0，x=﹣

本题考查复系数的方程，这种方程在解得时候不是应用一般的方程的解法，而是根据两个复数相等的充要条件，实部虚部分别相等．

9．（4分）求

考点：

专题：

分析：

极限及其运算．

计算题．

的值．

根据题意，化简可得，原式=解答：

解：

=，由此可知其极限．=

=点评：

=1．

本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细解答．

10．（4分）求

考点：

专题：

分析：

解答：

的展开式中x的一次幂的系数．

二项式定理．

计算题．

利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为1，得展开式中x的系数．

解：的通项为=（﹣1）r26﹣rC6rx3﹣r

点评：

11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

考点： 排列、组合及简单计数问题．

专题： 计算题．

分析： 首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．

解答： 解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有P74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种

所以共有种P74•A66排法，

答案为P74•A66．

点评： 此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．

12．（6分）画出方程y2=﹣4x的曲线．

考点： 函数的图象；抛物线的标准方程．

专题： 作图题．

分析： 本题考查的知识点是方程对应图象的画法，由于已知曲线的方程，故可用描点法进行画图

解答： 解：列表

令3﹣r=1得r=2

故展开式的x的系数为24C62=240，

故答案为240

本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特定项问题的工具．

作图

点评： 描点法作图的步骤：①列表：根据函数的解析式（或曲线的方程）找出满足条件的若干个点的坐标（注意对图象关键部分的点的取值）⇒②描点：在平面直角坐标系中描出对应的点⇒③连线；用平滑的曲线将②中的各点连接起来．

13．（6分）画出函数

考点：

专题：

分析：

函数的图象．

数形结合．

先画出y=解答：

的图象，然后把图象向左平移一个单位即可．

的图象．

解：y=的图象为

然后把次图象向左平移一个单位可得点评：

本题考查了复杂函数图象的画法，作图时先把复杂函数通过平移伸缩变化变为简单函数，作出简单函数图象后，再通过平移伸缩变化变为负债函数图象即可．

14．（12分）已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零，求证它们的倒数所组成的数列

考点：

分析：

不可能成等差数列．

等差关系的确定；反证法与放缩法．

本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．

成等差数列，

，

解答：

证明（反证法）：假设则又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，

∴a﹣b=b﹣c≠0．由以上两式，可知．

两边都乘以ac，得a=c、

这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，

点评：

所以数列不可能成等差数列

本题的证明运用了反证法． 反证法是一种间接证法，一般地由证明转向证明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论．

15．（14分）把化成三角函数的积的形式（要求结果最简）．

考点： 三角函数中的恒等变换应用．

专题： 计算题．

分析： 先根据同角三角函数的基本关系进行化简，再由二倍角公式可得到原式=cos2β﹣sin2αcos2α﹣cos4α，再利用同角三角函数的基本关系化简得到cos2β﹣cos2α，最后根据和差化积得到最后答案．

解答：

解：原式=

=cos2β﹣sin2αcos2α﹣cos4α

=cos2β﹣cos2α（sin2α+cos2α）

=cos2β﹣cos2α

=（cosβ+cosα）（cosβ﹣cosα）

=点评：

=sin（α+β）sin（α﹣β）

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式和和差化积公式．考查基础知识的综合运用．

16．（14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm2，求截得的三棱锥D﹣ABC的体积．

考点：

专题：

分析：

解答：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

计算题．

作△ABC的高CE，连接DE，利用截面三角形ABD的面积为32cm2，求出底面棱长，三棱锥的高CD，求出底面面积，再求它的体积．

解：因为这个三棱锥是正三棱锥， 所以△ABC是正三角形，

且DC所在直线与△ABC所在平面垂直

如图，作△ABC的高CE，连接DE

由三垂线定理，知DE⊥AB，所以

∠DEC是二面角α﹣AB﹣β的平面角，∠DEC=30°

CE=用S截表示△ABD的面积，

则32=S截=，

∴AB=8．

用S底表示△ABC的面积，则

S底=．

∵∠DEC=30°，所以DC=4，

∴V三棱锥=S底•DC=．

点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．

17．（14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）

考点： 数列的应用．

专题： 应用题；压轴题．

分析： 设这家工厂1983年，1984年，1985年的年产量分别是a1，a2，a3，根据题意知an=2×1.2n﹣1．设2×1.2x﹣1=12两边取常用对数，得lg2+（x﹣1）lg1.2=lg12．由此求得．由此能够推导出从1993年开始，这家解答：

工厂生产这种产品的产量超过12万台．

解：设a1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a1=2、

并将这家工厂1984，1985，年生产这种产品的年产量分别记为a2，a3，

根据题意，数列{an}是一个公比为1、2的等比数列，其通项公式为an=2×1.2n﹣1

根据题意，设2×1.2x﹣1=12两边取常用对数，得lg2+（x﹣1）lg1.2=lg12．

因为y=2×1.2x是增函数，现x取正整数，可知从1993年开始，

这家工厂生产这种产品的产量超过12万台

答：从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台．

本题考查数列的性质及其综合运用，解题时要认真审题，仔细解答． 点评：

18．（15分）已知两个椭圆的方程分别是

C1：x2+9y2﹣45=0，

C2：x2+9y2﹣6x﹣27=0、

（1）求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；

（2）求经过这两个椭圆的交点且与直线x﹣2y+11=0相切的圆的方程．

考点： 椭圆的简单性质；轨迹方程；直线与圆的位置关系．

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）先把C1的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．进而可得椭圆C1的中心和焦点坐标；同样把C2的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．而可得椭圆C1的中心和焦点坐标．

（2）把两个椭圆方程联立，可求得交点的坐标．设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A，B两点坐标代入联立方程，即可求得E和F，再利用圆与直线x﹣2y+11=0相切求得D，进而可得所求圆的方程．

解答： 解：（1）把C1的方程化为标准方程，

得C1：可知椭圆C1的中心是原点，

焦点坐标分别是把C2的方程化为标准方程，

得C2：=1∴a=6，b=2，c=4．

．

可知椭圆C2的中心坐标是（3，0），

点坐标分别

（2）解方程组

所以两椭圆C1，C2的交点坐标是A（3，2），B（3，﹣2）

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0、

因为A，B两点在圆上，所以有从而所求圆的方程为x2+y2+Dx﹣3D﹣13=0

解得E=0，F=﹣3D﹣13

点评：

由所求圆与直线x﹣2y+11=0相切，可知方程+Dx﹣3D﹣13=0即5x2+（22+4D）x﹣12D+69=0的判别式为0

就是D2+26D﹣56=0解得D=2，或D=﹣28

从而所求圆的方程是x2+y2+2x﹣19=0，或x2+y2﹣28x+71=0、

本题主要考查了椭圆的性质和椭圆与直线及圆的关系．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．