用数学归纳法证明数列不等式得到的启示

2024年4月4日发(作者：高考数学试卷大放送)

２０１５年　第５４卷　第６期　数学通报　５９　

用数学归纳法证明数列不等式得到的启示　

杨学枝　

（福州第二十四中学３５００１５）　

有一道常见的关于数列的不等式：　

∑　＜２．　

显然，想直接用数学归纳法去证明这个不等　

式有困难，但是，如果我们在其右边添上一项　

寺，这样，用数学归纳法就可以很容易的证明其　

加强后的如下不等式　

１≤２

音．　

笔者曾考虑是否有较上式更强的不等式？于　

是，尝试引入参数，然后应用数学归纳法证明，同　

时，在满足数学归纳法的前提下，再求出参数值，　

从而得到更好的不等式．　

这种方法的成功，给我们开辟了发现与证明　

此类不等式的新思路．为此，笔者将上述设参数一　

应用数学归纳法一求参数一验证的这种解题方法　

给一个名称，叫做“参数一数学归纳法”．　

下面就通过例子说明笔者的这种解法，也许　

读者会从中得到一些启示．　

例１　（自创题）对于任意正整数　，有　

ｉ＝１　

１≤＿耋＿一　＜号．　（１）　

分析与证明　本例应用数学归纳法易证，但　

如何得到式（１）右边式子，这是我们所要探讨的．　

设正参数　，ｚ，Ｙ，使其满足对于任意正整数　

有　

耋　≤　一而１．　①　

根据数学归纳法第一步，当　一１时，式①应有　

１

即　—　＋１．　②　

根据数学归纳法第二步，假设ｎ—ｋ时式①成　

立，即　

砉　∑　≤ｉ≤＝】　１　一　—　，…‘　　

当　一ｋ－９１时应有　

＋　≤　一　

）—ｇ－—ｙ’　

经整理即有　

ｚ（忌－９　１）　≥（ｘｋ－９　）（ｘｋ－９　ｚ－９　），　

展开上式，并整理得到　

（ｘ－－ｘ。）ｋ　－９（２ｘ—　一２ｘｙ）ｋ－９（ｚ—ｘｙ—　

ｙ。）≥Ｏ，　③　

令不等式③中左边ｋ　项系数和ｋ项系数为零，　

得到　

｛

Ｉ　

２ｚ

ｘ　Ｚ２　９－　２ｘｙ。。　

一１，　

解得｛　１将其代回式③，　

得到其左边常数项为÷＞０．　

今将ｚ一１，　一丢代人式②，得到　—　５．　

将　一　５

，　一１，　一丢代人式①即为不等式（１）．　

由以上分析推理过程说明取常数　＝＝＝号，　一　

１，　＝＝＝寺时，用数学归纳法易证明不等式　

塞　１　５一　，　

由此知式（１）成立．　

另外，用同样方法，可证当　≥２时，有　

奎

１　３３

ｉ＝ｌ　

由此易知，对于任意正整数　，总有　

６Ｏ　数学通报　２０１５年　第５４卷第６期　

妻

１

＜　

３３

５

＜　

ｉ＝１　

当　≥３时，有　

奎

１　４１５

ｉ＝１　

由此易知，对于任意正整数　，总有　

塞　１＜　４１５＜嘉＜导．　

般地，当　≥ｍ（ｍ为正整数）时，有　

１≤　＋　

ｃ※　

ｉ＝１　

由此易知，对于任意正整数ｍ、　，　＜ｎ，总有　

塞吉＜妻　＋ｉ　＝　１　ｉ　＝１　　…　．

欧拉（Ｅｕｌｅｒ）在１７３５年利用方程　坚一０，即无穷　

多项方程　

１一Ｘ玎２十Ｘ可４一Ｘ丌６＋…＝。　

的根与系数关系，曾得到等式　

ｔ：１　Ｚ　

一　，

ｂ　

　

由此我们可以得到　

１　１　兀２　

＜　一　，

ｉ　

一　１　ｉ　一　１　－　Ｖ　

因此，宝告＜　的最小正常数Ａ一　．　

１，’　ｎ　

在上面我们所得到的　的值与　很接近．　

由式（※）还可得到，对于任意正整数ｍ，　，　

ｍ＜ｎ，总有　

＋　＋…＋　／　兰　二　

（　＋１）。。（　＋２）２。　　。。、（２ｍ＋１）（２ｎ＋１）‘　

下面用同样方法，可以给出较式（１）更为一般　

的不等式．即下述　

例２　（自创题）数列｛ｎ　｝是首项为ｎ　，公差　

为ｄ的正项等差数列，数列（ｂ　）是首项为ｂ　，公　

差为ｅ的正项等差数列，且１　ｄｇ　１≥１　ｎ　ｅ－－ｂ　ｄ　１．则　

对于任意正整数ｎ，有　

奎　

１　

ｉ　

１

≤　

＋

２

瓣．　

（２）　

分析与证明　我们来探讨式（２）右边式子是　

如何得到的．为此，设正参数　，－ｚ，Ｙ，使其满足对　

于任意正整数ｎ，有　

奎

ｉ＝１

去≤　～而１．　④　

根据数学归纳法第一步，　

当ｎ一１时，式④应有　

口　

１　０１

ＺＴ　Ｖ　

即　一　

＇ｒ　Ｖ　

十　

ａ１ｏ１．　

⑤　

根据数学归纳法第二步，　

假设ｎ—ｋ时式④成立，即　

ｋ　１

≤　一　，　

当ｎ一是＋１时应有　

１　　．１　

＾一—

ｘｋ＋—ｙ十　干　

≤　一　Ｆ１而，　

经整理即有　

ｘ（ａ１＋ｋｄ）（６１＋ｅｋ）≥（ｘｋ＋　）（ｘｋ＋．７Ｃ＋　），　

展开上式，并整理得到　

（ｘｄｅ－－ｘ　）ｋ。一［（ｚ　一（口ｌＰ＋６ｌ　一２ｙ）ｚ］是＋　

［（ａ１ｂ】一ｙ）ｘ－－ｙ　］≥Ｏ，　⑥　

令不等式⑥中左边ｋ。项系数和ｋ项系数为零，　

得到　

ｆｘｄｅ－－ｚ。一０。　

＜　

ｌ　一（ｎ１ｅ＋６１　一２ｙ）ｘ＝＝＝０，　

ｒｚ—ｄＰ·　

解得ｊ　：＝：　（口　＋６。　—　），　注意ｚ≠∽　

将其代回式⑥，并注意到题中已知条件，得到其左　

边常数项为　

１

４（　）　一　１（

ａ￣ｅ－－６ｌ　）。≥０．　

ｒｚ—　

将１　一　（口　＋６　—　）代入式⑤，　

得到　一　

ａｌｂｌ＋　２　

再将以上　，ｚ，Ｙ的值代入式④即为不等式（２）．　

若取口　＝＝＝ｂ　一　一８—１时即得式（１）．　

为进一步了解这种方法，下面再举二例．　

例３（自创题）证明　

２０１５年　第５４卷第６期　数学通报　

即　当　

一　

６１　

耋　≤　一　．㈤　

＋　

由于ｋ为正整数，于是在式⑩中，可令—　三＝＝＝一　

２√１—　

不等式（３）正是应用“参数一数学归纳法”发　

现的，因此，这种方法还有发现新不等式的功能．　

分析与证明　设正参数　，ｚ，Ｙ，ｚ，使其满足　

对于任意正整数　，有　

１≤　

１　

⑦　

根据数学归纳法第一步，　

当　一１时式⑦应有　一　一　Ｆ　，　

即　’　一—　

Ｊ５　１　　Ｉ

一＋１．

ｚ　

　⑧　

根据数学归纳法第二步，　

假设　一忌时式⑦成立，　

１　

２＋　＋ｚ’　

１　．　１　

＾一—

ｘｋ　２＋—ｙｋ＋ｚ十　干　

≤　—　，　

甘　≤　丽　，　

骨（志＋１）。（２ｘｋ＋　＋　）≥（ｘｋ　＋ｙｋ＋２）［ｘｋ。＋　

（２ｚ＋　）ｋ＋（　＋　＋ｚ）］，　

将上式展开式整理得到　

（２ｚ—ｚ　）忌　＋（７ｘ＋Ｙ一２ｘ　一２ｘｙ）志。＋（９　＋　

３　—ｚ。一３ｘｙ一２ｘｚ—　）ｋ　＋（５ｘ＋３ｙ—ｘｙ一　

２　一２　２一　）忌＋（　＋　—　—　ｚ—ｚ。）≥Ｏ，　⑨　

令不等式⑨中左边ｋ　项系数和ｋ。项系数为零，　

得到ｚ一２，Ｙ一２，代人式⑨，并整理得到　

（１一ｚ）ｋ。＋２（１一ｚ）ｋ＋（１一ｚ一　）≥０　

（注意，这时不拟再令ｋ。项系数为零，否则有１一　

ｚ一

譬＜Ｏ）＇　

让参数ｚ满足Ｏ≤ｚ＜１，则上式又可以写为　

ｋ　＋２ｋ＋（１一　）≥０，　

即　

（　＋１－Ｆ～——　

２√１一　

）［　～（——　

２，／１一ｚ　

一１）］≥０．⑩　

１＝＝＝１，取其中满足

∑　时　

０≤ｚ＜１的一个根，得到　

ｚ一一８＋４　

今将　一２，

一　

　一２，　一一８＋４￣／５代人式⑧，　

可求得Ａ＝＝＝　去　，将上述各参数值代入⑦，即得　

不等式（３）．　

由上面分析推理过程可知，对于任意正整数　

总有　

奎

１≤　

ｉ＝１　

２　＋２ｎ一８＋４　’　

且ｐ式（３）成立．故原命越获证．　

由此得到，对于任意正整数／－／，有　

奎

１＜　

ｉ＝１　

若对式⑦在应用数学归纳法证明时，　

取第一个值为２，即　≥２，并取等号，得到　

４　＋２ｙ＋ｚ一　尚，　

以下解法过程同本例，则可以得到对于任意正整　

数Ｉ＂／，当　≥２时，有　

奎

１≤　

ｉ＝１　

由此得到　

１＜　＜　

ｉ＝１　

上式对于任意正整数　都成立．　

用同　≥１时的方法，一般地，当　≥ｍ（ｍ为正整　

数）时，有　

奎

１≤奎

１＋　

ｉ＝１　

ｉ＝１　

：！：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　．．．．．．．．．　．．．　．．．．．．．．．．．．．．．　．．．．一　

２ｎ（　＋１）＋２（　＋１）（￣／—ｍ２＋２—ｍ－＋－２一　一１）‘　

（※※）　

由此易知，对于任意正整数ｍ、　，　＜　，总有　

骞　＜耋　＋　而　

ｉ。‘　、　干　＋１　

笔者认为，上式得到了　（３）一善　上界的　

６２　

较好的结果．　

数学通报　２０１５年　第５４卷　第６期　

≤　

９　

一　．　

如在上式中，取ｍ一９，得到　

分析与证明　用数学归纳法证明本例中的不　

＋　，　

＜　

ｉ＝１　

等式并不难，问题是如何发现这个不等式．下面，　

我们还是用“参数一数学归纳法”给出同时并证明　

本例中的不等式．　

这个结果较文Ｅ　４］中得到的结果∑击＜　

９　

＋　要好一点，因为有　

奎

１＜　９　

＋　＜　

ｉ＝ｌ　

９軎＋　．　

另外，文［４］还给出了比作者在本文引用的那个结　

果更精细的估计．　

对于任意正整数　，如何求得最小的正常数　

使得　

（３）一∑　＜　．　

在两百多年前，欧拉（Ｅｕｌｅｒ）就已对　

（３）一∑吉的结果计算到了小数点后面十多　

位；１９７８年，在芬兰赫尔辛基举行的世界数学家　

大会上，法国数学家阿皮瑞（Ａｐｅｒｙ）宣布他证明　

了　（３）一∑　１的无理性．现在，人们一般把这　

个常数称为Ａｐｅｒｙ常数，对它已有很多研究，包　

括一些速算法．　

同样，由式（※※）还可得到，对于任意正整数　

ｒｒｔ，　，　＜　，总有　

＋　＋．．．＋　

＜　杀辛　

２ｎ（ｎｑ－１）＋２（７７２＋１）（ａ／—ｍ２＋２—ｍ＋２－－ｍ一１）　

［　（　＋１）一ｍ（　＋１）］　

｛２（ｍ＋１）　：　一１）　（　＋１）＋（优＋１）　一ｍ～１）　｝　

（ｎ－ｍ）（ｎ４－ｍｑ－１）（　干　一１）　

２（　＋１）。Ｅｎ（ｎ＋１）＋（ｍ＋１）（￣／—ｍ２＋２—ｍ＋２一ｍ－－１）￣’　

例４　（自创题）记　一１一　１十　１一丢＋…　

＋　１　

１

则有　

丙　１　

２（　西一１）４ｎ￣（２、／，　一６）　

先证明原式右边不等式．即　

”　

≤　７一　

一　。　（４）（４　　

为此，设正参数　，　，　，使其满足对于任意正整数　

有　

ｓ　一１～　１

十　

１

１＋＋　１　

１　

≤　一　

ｚｎｑ－　

．　⑩　

根据数学归纳法第一步，　

当ｎ一１时，式⑩应有１一　１一　一　１　

即　一　十Ｖ　＋丢．　⑩　

根据数学归纳法第二步，　

假设　＝ｋ时式⑥成立，即　

１一　１

十　

１

１＋＋　１　

≤Ａ～　１　

当”一ｋ＋１时应有　

１　

＾一　

十丽１

十　雨

　一　ｉ　

一　

≤　—　

＾一　

１而

而’　

经整理即有　

４ｘｋ　＋６ｘｋ＋２ｘ≥　ｋ　＋（　＋２ｘｙ）走＋（　＋　），　

取隹　２取ｊ　６ｚ—　ｚ＋２　得到　，得到｛　：ｙ一１，　

代入上式，得Ｎ８≥５，　

这说明，取ｚ一４，　一１时上式成立．　

将　一４，　一１代人式⑥，得到　一　·　

再将　一南，ｚ一４，　一１代入式⑩，　

即得原不等式右边的不等式，即式（４）．　

以上推理过程同时也证明了式（４）．　

下面证明原不等式左边不等式，即　

ｓ　一１一　１

１

十　

１＋

＋丽１　一　１　

≥—　一——　一．（５）　

２０１５年第５４卷第６期　数学通报　６３　

为此，设正参数“，　，训，使其满足对于任恿正整数　

ｎ，有　

ｓ　一１一　１

ｉ

十　

再将甜一　一４—２　一６代入式　

丢＋…＋　一　１　

⑩　

⑩右边，即得式（５）．　

以上推理过程同时也证明了式（５）．　

≥“一｛．　

另外，我们知道，由等式∑　

ｌｎ２≈　

Ｚ　１－Ｗ　

根据数学归纳法第一步，　

当ｎ一１时，式⑩应有１一　一　一　干１　

即　一　１＿Ｆ　１

Ｚ一　

Ｗ　．　

⑩　

根据数学归纳法第二步，　

假设ｎ－－ｋ时式⑩成立，即　

１一　１

１

十　

丢＋…＋　一　１　

≥“一　干１　，　

当　一忌＋１时应有　

＋　一　

≥“一　Ｆ１）干　’　

经整理即有　

４ｚｋ　２＋６　＋２　≤Ｚ２ｋ。＋（　＋２ｚｗ）ｋ＋（　＋ｚｗ），⑩　

令４ｚ＝　。，得到　＝４．　

在式⑥中，令尼一１，并将ｚ一４代入式⑩，得到　

Ｗ　＋１２ｗ一１６≥０，　

取上式中的等号，解得正根叫一２￣／１３—６．　

再将所得到的　一４，叫一２ＪＧ一６，代入式⑩，　

并整理得到　

８（２　一７）（　一１）≥０，　

由于２＾／，　一７＞ｏ，　≥１，故上式成立，　

即取　一４，叫＝２￣／，西一６时，式⑩成立．　

于是，将ｚ一４，叫一２￣／，　一６代人式⑩，便得到　

１　．１　１　．１　

Ｍ一　十一２　

４＋２　ＪｉＴ－６十　

￣／１３　

２　￣／　

２。　

２一　

２　一２　

ｉ＝１　

０．６９３１４７…，可得到　

１～　１

１

十　

丢＋…＋　一　１＜ｌｎ２．　

最后，顺便指出，在对上述命题证明的探索　

中，我们发现以下事实：用数学归纳法可以证明　

耋　≤导一　，而由妻ｉ＝１　１　５一　＜　

＿耋＿一　ｌ＿，得到奎

１　５　

一　玎

１　

，但却不能用数

ｉ　

＝１　

学归纳法证明后面这个不等式．　

另外，可以用数学归纳法证明　

１

≤Ｌ　５

ｉ＝ｌ　

丽２　

而　

１　５

≤２一　１

却也可以　

ｉ＝１　

用数学归纳法证明较∑　≤　３一　弱些的　

不等式∑　≤２一音．　

由此可知，在应用数学归纳法证明某个不等　

式行不通时，则可以考虑去证明其加强后的不等　

式，佃｛文个加强式　必须恰当．　

参考文献　

１汪晓勤．欧拉与自然数平方倒数和ＥＪ］．曲阜师范大学学报，　

２００２，４　

２冯贝叶著．多项式和无理数［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出　

版社，２００８，１　

３朱尧辰．无理数引论［Ｍ］．北京：：中国科学技术大学出版社，　

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４朱文辉，张亭．Ｐ级数的求和ＥＪ］．大学数学，２００５，３　

５华东师范大学数学系．数学分析（第三版下）ＥＭ］．北京：高等　

教育出版社，２０１１，３　

６［德］Ｍａｒｔｉｎ　Ａｉｇｎｅｒ，Ｇ／ｉｎｔｅｒ　Ｍ．Ｚｉｅｇｌｅｒ．数学天书中的证明　

（第四版）ＥＭ］．冯荣权，宋春伟，宗传明，译．北京：高等教育出　

版社，２００９，５