2001年考研数学二试题[卷]及的答案解析

2024年1月14日发(作者：2023高考数学试卷青海难度)

完美WORD格式

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）

（1）limx13x1x＝______．

x2x2【答案】2

6【考点】洛必达法则

【难易度】★★

【详解】解析：方法一：

limx12113x1x2(1x)1.

limlim2x1x16x2xx2(x1)(x2)3x1x2方法二：使用洛必达法则计算

limx13x1xlimx1x2x2111123x21x22222.

362x12xy（2）设函数yf(x)由方程e的法线方程为______．

【答案】x2y20

cos(xy)e1所确定，则曲线yf(x)在点(0,1)处【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线

【难易度】★★

【详解】解析：在等式e2xycos(xy)e1两边对x求导,得

e2xy(2y\')sin(xy)(yxy\')0,

将x0,y1代入上式,得y\'(0)2.故所求法线方程为y11x,即

x−2y+2=0.

2（3）π2π2(x3sin2x)cos2xdx＝_______．

范文范例.指导参考

完美WORD格式

【答案】

8【考点】定积分的换元法

【难易度】★★

【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.

在区间[3,]上,x3cos2x是奇函数,sin2xcos2x是偶函数,

22223222故xsinxcosxdx2xcosxsinxcosxdx222212sin2xdx

4212(1cos4x)dx.

882（4）过点(1y1的曲线方程为______．

,0)且满足关系式yarcsinx221x1

2【答案】yarcsinxx【考点】一阶线性微分方程

【难易度】★★

【详解】解析：方法一:

原方程y\'arcsinxy1x21可改写为yarcsinx1,

\'两边直接积分,得yarcsinxxC

又由y()0,解得C.

故所求曲线方程为：yarcsinxx方法二:

将原方程写成一阶线性方程的标准形式

12121.

2y\'11x2arcsinxy1.解得

arcsinx 范文范例.指导参考

完美WORD格式

1dx11x2arcsinx1x2arcsinxyeedxCarcsinx1elnarcsinxCelnarcsinxdx

arcsinx1(Cx),arcsinx1dx又由y()0,解得C.

故曲线方程为：yarcsinxx12121.

2a111x1x1有无穷多个解，则a＝______． （5）设方程1a12x311a2【答案】2

【考点】非齐次线性方程组解的判定

【难易度】★★

【详解】解析：方法一:

利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有

a11A1a111a110a100111a0a11a12201a1aaa1,

2a2232312aa1a2可见,只有当a =−2

时才有秩r(A)r(A)23,对应方程组有无穷多个解.

方法二:

当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a

一定使系数行列式a11为零,即有1a1(a2)(a1)20,解得a2或a1.

11a由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当a1时,原方程无解,因此只能是a2.

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一 范文范例.指导参考

完美WORD格式

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）

（1）设f(x)（A）0．

1,|x|1,0,|x|1,则f{f[f(x)]}等于（ ）

（B）1．

1,|x|1,（C）0,|x|1.【答案】B

【考点】复合函数

【难易度】★

0,|x|1,（D）1,|x|1.

【详解】本题涉及到的主要知识点：

复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。

解析：由题易知f(x)1，所以f[f(x)]1，f{f[f(x)]}f(1)1，选B.

nn（2）设当x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比22(ex1)高阶的无穷小，则正整数n等于（ ）

（A）1．

【答案】B

【考点】无穷小量的比较

【难易度】★★

【详解】解析：由题易知:

n(1cosx)ln(1x2)xsinxlim0limx20nx0x0xsinxe112214xxnx1nxxxlim2lim2020x0xx0xlim2limn1nx0x0xxx1n21n4

n1n3（B）2． （C）3． （D）4．

（3）曲线y(x1)(x3)的拐点个数为（ ）

（A）0．

【答案】C

【考点】函数图形的拐点

范文范例.指导参考

22（B）1． （C）2． （D）3．

完美WORD格式

【难易度】★★

【详解】解析：

y2(x1)(x3)22(x3)(x1)2y2(x3)24(x1)(x3)4(x3)(x1)2(x1)22(x3)28(x1)(x3)2(x1)2y4(x3)8(x3)8(x1)4(x1)24(x2)

由y0得，x1或x3，带入y0，故f(x)有两个拐点.

（4）已知函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且f(1)f(1)1，则（ ）

（A）在(1,1)和(1,1)内均有f(x)x．

（B）在(1,1)和(1,1)内均有f(x)x．

（C）在(1,1)内，f(x)x，在(1,1)内，f(x)x．

（D）在(1,1)内，f(x)x，在(1,1)内，f(x)x．

【答案】A

【考点】函数单调性的判别

【难易度】★★★

【详解】解析：令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)1，

因为在区间(1,1)上，f(x)严格单调减少，

所以当x(1,1)时，F(x)f(1)10，F(x)单调递增，F(x)F(1)f(1)10；

当x(1,1)时，F(x)f(1)10，F(x)单调递减，F(x)F(1)f(1)10；

故在(1,1)和(1,1)内均有F(x)0，即f(x)x.

（5）设函数f(x)在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数yf(x)的图形为（ ）

范文范例.指导参考

完美WORD格式

【答案】D

【考点】函数单调性的判别

【难易度】★★★

【详解】解析：由图可知f(x)有两个极值点，横坐标分别记作x1,x2(x1x2)，故f(x)在且仅在这两处的值为0，故选D。其中，当x0时，f(x)先增后减再增，故f(x)先正再负再正，进一步排除B.

三、（本题满分6分）

求(2xdx221)x1

【考点】不定积分的第二类换元法

【难易度】★★★

【详解】解析：设xtanu,则dxsecudu,

原式2ducosudu(2tan2u1)cosu2sin2ucos2u

dsinu

2sinu1arctan(sinu)C

arctan(x1x2)C

范文范例.指导参考

完美WORD格式

四、（本题满分7分）

sintsintsinx)求极限lim(，记此极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型．

txsinx【考点】两个重要极限、函数间断点的类型

【难易度】★★★

sintsintsinxsintsintsinx)lim(11)【详解】解析：f(x)lim(txsinxtxsinxxsinxsintsinxxsinxsintsinxxexsinx

由此表达式知x＝0及x＝k（k＝±1，±2，…）都是f（x）的间断点．

由于limf(x)limex0x0xsinxe，所以x＝0是f（x）的可去（或第一类）间断点；而

x＝k（k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．

五、（本题满分7分）

设(x)是抛物线yx上任一点M(x,y)(x1)处的曲率半径，ss(x)是该抛物线d2d2()的值．上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算3（在直角坐标系下曲率公式2dsds为K|y|(1y)322)

【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

【详解】解析：y\'12x,y\"14x3,抛物线在点M(x,y)处的曲率半径

31(1y\')1(x)(4x1)2.

Ky\"2xx322抛物线上AM的弧长ss(x)11y\'dx2111dx.

4x3d13(4x1)24ddx226x. 故

dsds11dx4x 范文范例.指导参考

完美WORD格式

d2dd1616().

ds2dxdsds2x114x1dx4x3d2d2162()314x36x9.因此3ds2ds214x

六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,)上可导，f(0)0，且其反函数为g(x)．若

求f(x)．

【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程

【难易度】★★★

f(x)0g(t)dtx2ex,

f(x)【详解】本题涉及到的主要知识点：g(t)dtg(f(x))f(x)

0x2x解析：等式两边对x求导得：g(f(x))f(x)2xexe，

又因为g(x)是f(x)的反函数，故g(f(x))x，

xx所以有f(x)2exe

f(x)(2exxex)dx[ex(exxex)]dxexxexC

又因为f(x)在x0处连续，由limf(x)1Cf(0)0得C1

x0故f(x)exe1.

七、（本题满分7分）

设函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x),g(x)2ef(x)，且f(0)0，g(0)2，求xxxπ0(g(x)f(x))dx.1x(1x)2

【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法

【难易度】★★★★

【详解】解析：因为f(x)g(x),g(x)2ef(x)，所以f(x)2ef(x)

xx 范文范例.指导参考

完美WORD格式

其对应的齐次微分方程为f(x)f(x)0

特征方程为r10，ri

所以齐次微分方程的通解为f(x)C1cosxC2sinx

设非齐次微分方程的特解为f(x)Ce，则f*(x)Cex,f*(x)Cex,代入微分方程得*x2C1，

所以非齐次微分方程的通解为f(x)C1cosxC2sinxe，

又f(0)0,g(0)f(0)0,f(x)C1sinxC2cosxe,

得C11,C21,

故f(x)cosxsinxe

xxx求积分：π0π1g(x)f(x)1f(x)

dxdf(x)f(x)d()d1x(1x)201x001x1xπf(x)f(π)f(0)1eπ

.

1x01π101π八、（本题满分9分）

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(（1）试求曲线L的方程；

（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值

【难易度】★★★

【详解】解析：（1）设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Yyy(Xx)，

令X0,得切线在y轴上的截距Yyxy．

由题设知

xyyxy，

221,0).

2 范文范例.指导参考

完美WORD格式

令uy2,则此方程可化为1uxu.

x分离变量得du1u2dx,

x积分得ln(u1u2)lnxlnC，即

yx2y2C.

代入条件y10得Cx2111222，于是得L的方程yxy, 即yx.

22411x2(0x)在点(x,y)处的切线方程为

421122

Y(x)2x(Xx), 即Y2xXx.

44（2）曲线L∶y11212x(x)与它在x轴与y轴上的截距分别为．

2x441112121(x)2(x2)dx, 所围面积S(x).0422x4令S(x)14x21121112222x2(x)2x(x)(x)(3x)0.

2444x44得S(x)在[0,]内的唯一驻点x123,

6易知x3是最小值点．

6由此，所求切线为Y2九、（本题满分7分）

31331X,即yx.

363643一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时？

8【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念

【难易度】★★★★

【详解】解析：设雪堆在t时刻的体积V23πr，侧面积2r2，雪堆半径rr(t)．

3 范文范例.指导参考

完美WORD格式

dVkS，

dtdr2dr所以有2πrk2πr2,即k.

dtdt由题设知积分得rktC．又由rt0r0，有Cr0，于是rr0kt．

又由V|t3V|t18，即0r2121π(r03k)3πr03，得kr0，从而r0(6t).

66383令r0得雪堆全部融化所需时间为t6小时．

十、（本题满分8分）

设f(x)在区间[a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)0，

（1）写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

3（2）证明在[a,a]上至少存在一点，使af()3aaf(x)dx.

【考点】泰勒中值定理、介值定理

【难易度】★★★★

【详解】解析：（1）对任意x[a,a]，f(x)f(0)f(0)x（2）令F(x)f()2f()2其中在0与x之间．

xf(0)xx，2!2！x0f(t)dt，则F(x)在[a,a]具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开F(0)2F()3xx

2!3!f(0)2f()3f(0)2f()30f(0)xxxxx,

2!3!2!3f(0)2f(1)3f(0)2f(2)3所以F(a)aa，F(a)aa，(a201a)

2!3!2!3!式为F(x)F(0)F(0)x又aaa3a3f(1)f(2)f(x)dxF(a)F(a)[f(1)f(2)]·，

3！32由于[f(1)f(2)]介于f(1)和f(2)之间，由介值定理知存在a,a，使得

121f()[f(1)f(2)]，

2aa3则有f(x)dxf().

a3十一、（本题满分6分）

范文范例.指导参考

完美WORD格式

100011且矩阵X满足AXABXBAXBBXAE，已知矩阵A110,B101，11i110其中E是3阶单位阵，求X．

【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念

【难易度】★★★

【详解】解析：由题设的关系式得AXABBXBAE,

即ABXABE.

111由于行列式AB01010,所以矩阵AB可逆，

101ABE00110100100100100111101100第3行加到第1,2行010001

1第2行加100112到第1行10100111001001125112211所以AB011,故XAB012.

001001十二、（本题满分6分）

已知1,2,3,4是线性方程组Ax0的一个基础解系，若11t2，22t3，33t4，44t1，讨论实数t满足什么关系时，1,2,3,4也是Ax0的一个基础解系．

【考点】齐次线性方程组的基础解系

【难易度】★★★★

【详解】

由于1,2,3,4均为1,2,3,4的线性组合，所以1,2,3,4均为Ax0的解.

下面证明1,2,3,4线性无关.设k11k22k33k440，即

范文范例.指导参考

完美WORD格式

(k1tk4)1(tk1k2)2(tk2k3)3(tk3k4)40，

由于1,2,3,4线性无关，因此其系数全为零，即

1k1tk40,tkk0,t12其系数行列式0tkk0,230tk3k4000t0t1t4

10010t14可见，当1t0，即t1时，上述方程组只有零解k1k2k3k40，因此向量组

1,2,3,4线性无关，又因Ax0的基础解系是4个向量，故1,2,3,4也是Ax0的一个基础解系.

范文范例.指导参考